大氣中的基本波動(dòng)

第9章大氣中的基本波動(dòng)1第9章大氣中的基本波動(dòng)1§9.1波動(dòng)的基本概念

22§9.2微擾法，基本方程組的線性化

流體力學(xué)：大氣運(yùn)動(dòng)最主要的特征就是波動(dòng)，各種大氣波動(dòng)總可由諧波表示（按照付氏展開(kāi)），由尤拉公式而求解波動(dòng)問(wèn)題的一般步驟是：1）合適的閉合方程組；2）大氣方程以非線性為主要特征，為能求解要用微擾法進(jìn)行線性化；3）對(duì)擾動(dòng)方程組（線性化的）消元合并，當(dāng)然此步也可不要；4）設(shè)波動(dòng)形式解，求解討論~頻率方程（），諧波可以表為復(fù)數(shù)形式；●對(duì)兩個(gè)未知物理量A，B,AB～兩未知函數(shù)乘積項(xiàng)→非線性項(xiàng)！為線性化，設(shè)：其中時(shí)，稱為微擾動(dòng)，則：

這就實(shí)現(xiàn)了線性化?！阎幕玖?；～未知的擾動(dòng)量。3§9.2微擾法，基本方程組的線性化流體力學(xué)：大氣運(yùn)另外地球大氣運(yùn)動(dòng)最基本的是純緯向的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，故基本量常取緯圈平均●對(duì)于基本量如何?。恳灰獫M足微擾法則，二要符合實(shí)況。如對(duì)

，通常取基本流場(chǎng)常數(shù)，甚至0；在討論正壓不穩(wěn)定時(shí)

取，考慮斜壓時(shí)，甚至還要考慮地轉(zhuǎn)風(fēng)關(guān)系的約束，如常數(shù)，注意：基本量形式不同，由此得出的結(jié)果也不同。

●兩點(diǎn)說(shuō)明：（a）微擾法中要求“擾動(dòng)量充分小”，對(duì)于熱力學(xué)變量，是指相對(duì)于基本量很小，即；而對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)變量u,v,w，是指擾動(dòng)量自身足夠小，因可取為0。（b）若擾動(dòng)是波動(dòng)，則“擾動(dòng)量充分小”是指波幅（相對(duì)于波長(zhǎng)）甚?。?/p>

則仍應(yīng)該是小量，那么必須甚小于L.4另外地球大氣運(yùn)動(dòng)最基本的是純緯向的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，故基本量常取緯●基本方程組的線性化：

-----（9.37）由于地球大氣最基本的運(yùn)動(dòng)是純緯向軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)基本量＝緯圈平均量（基本量不隨x變化），且：-----（9.38）絕熱無(wú)摩擦的局地直角坐標(biāo)系下大氣基本方程為：（位渦定義式，實(shí)際上已經(jīng)用了狀態(tài)方程）5●基本方程組的線性化：-----（9.37）由于這就是說(shuō)，對(duì)基本量，有，常數(shù)，將它們及其他基本量代入（9.37）（根據(jù)微擾法假定2，它們應(yīng)該滿足），有：

-----（9.39）這就說(shuō)明：基本運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是定常的，在水平方向上滿足地轉(zhuǎn)風(fēng)平衡，在垂直方向上滿足靜力平衡。以上只是對(duì)基本量而言，下面將采用微擾法進(jìn)行方程組線性化，這里詳細(xì)推導(dǎo)前兩式及⑹式以做示范：●將（9.38）代入（1），有：

6這就是說(shuō)，對(duì)基本量，有，常數(shù)，將它們及其他基本量代入（9.3注意：故上式右端＝

這樣（1）為：

●同樣，對(duì)于（2）有：這樣（2）為：●對(duì)于（6），兩端取自然對(duì)數(shù)，有：

（i）7注意：故上式右端＝這樣（1）為：●同樣，對(duì)于（2）有：令，代入上式，有：

（C為常數(shù)）根據(jù)自然對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式

知：

（ii）另一方面，基本量應(yīng)滿足原方程（i），即有(也可見(jiàn)9.39式)：

（iii）(ii)減（iii），即有：8令，代入上式，有：（C為常數(shù)）根據(jù)自然對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展總之，可以得到線性化后的擾動(dòng)方程組（又稱微擾方程組）：

-----（9.41）9總之，可以得到線性化后的擾動(dòng)方程組（又稱微擾方程組）：

§9.3聲波和拉姆波聲波可壓縮（可壓縮的連續(xù)方程）當(dāng)流體某部分受擾動(dòng)而產(chǎn)生壓縮或膨脹，則其周圍流體也會(huì)依次被壓縮或膨脹，這種疏密程度的擾動(dòng)在流體中的傳播即聲波，故聲波是因流體中輻散場(chǎng)引起的交替絕熱膨脹或者壓縮而轉(zhuǎn)播的，顯然聲波是一種縱波?，F(xiàn)在為簡(jiǎn)化問(wèn)題，考慮聲波沿x方向傳播（，運(yùn)動(dòng)方程只考慮x分量~x向動(dòng)量方程）。故由（9.41），有描述純聲波（不考慮科氏力作用~若考慮，則是Lamb波）過(guò)程的閉合線性化微擾方程組：流體可形成聲波，——（9.42）10§9.3聲波和拉姆波聲波，運(yùn)動(dòng)方程只考慮將4式代入3式，消去，得到如下三聯(lián)方程組：

-----（9.43）設(shè)波動(dòng)形式解：

-----（9.44）將波動(dòng)解（9.44）代入整理后的線性微擾方程組（9.43）有：

11將4式代入3式，消去，得到如下三聯(lián)方程組：消去i，可整理出一個(gè)關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組：

-----（9.45）根據(jù)線性代數(shù)理論，有非零解的充要條件式系數(shù)行列式為0，得到頻率方程：

，基本量滿足原方程

故有：

（9.47）

其解為：

→此根應(yīng)舍去，因代入（9.45）沒(méi)有意義

-----（9.48）12消去i，可整理出一個(gè)關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組：根據(jù)波參數(shù)的關(guān)系式，有大氣聲波的相速度和群速度：

應(yīng)該注意，大氣聲波是一種高頻，波長(zhǎng)極短的快波，無(wú)天氣意義，常視為“噪音”.必須指出，（9.43）是由（9.42）消元得到的，其實(shí)（9.43）還可以進(jìn)一步消元，當(dāng)然消元越多，方程個(gè)數(shù)越少，階數(shù)越高，而所得的未知數(shù)（中的某一個(gè)），最后可以只剩一個(gè)，方程也就是一個(gè)，可以表示為：（9.43）是常系數(shù)微分方程組，還有一種快捷消元法，稱“算子行列式法”：

稱絕熱聲速，拉普拉斯聲速其中：13根據(jù)波參數(shù)的關(guān)系式，有大氣聲波的相速度和群速度：即有大氣聲波的微分算子：

按照（9.50），該算子可作用于三量中任意一個(gè)，例如對(duì)此，只須設(shè)一個(gè)波動(dòng)解，同樣可得（9.48）！，就有：

2．拉姆波定義：空氣微團(tuán)做水平運(yùn)動(dòng)，位溫?zé)o擾動(dòng)，水平尺度較大，準(zhǔn)靜力平衡成立，同時(shí)考慮地球自轉(zhuǎn)作用的可壓縮流體中產(chǎn)生的一種只在水平方向傳播的聲波。Lamb波：又稱慣性-水平聲波。在中性層結(jié)下，空氣水平擾動(dòng)在大氣可壓縮性及科氏力共同作用下形成的一種特殊聲波，滿足靜力平衡且只沿著水平方向傳播。14即有大氣聲波的微分算子：按照（9.50），該算子將上例稍做改變：（1）擴(kuò)展為二維運(yùn)動(dòng)，設(shè)基本流場(chǎng)靜止，但考慮科氏力的影響；（2）垂直方向靜力平衡，即大尺度運(yùn)動(dòng)；（3）考慮可壓縮性；（4）無(wú)位溫?cái)_動(dòng)。這樣，可得記入科氏力的水平聲波——拉姆波。顯然，由（9.41）其線性擾動(dòng)方程為：

-----（9.53）由最后一個(gè)關(guān)系式（5）可得：

-----（9.54）15將上例稍做改變：（1）擴(kuò)展為二維運(yùn)動(dòng)，設(shè)基本流場(chǎng)靜止，但考慮將上式代入到連續(xù)方程（4）中，“消去”，而在（1）（2）中引用則（1），（2），（4）組成閉合擾動(dòng)量方程組：

-----（9.55）至于靜力方程（3），我們?nèi)詫ⅲ?.54）代入消去，得到一個(gè)確定擾動(dòng)垂直結(jié)構(gòu)的方程：

-----（9.56）按照剛才介紹的方法，對(duì)（9.55）進(jìn)行消元，應(yīng)有：

-----（9.57）16將上式代入到連續(xù)方程（4）中，“消去”，而在（1）（2）中引而相應(yīng)的拉姆波的微分算子應(yīng)為：

算子L作用于之一，則有波動(dòng)微分方程，且有形式的波動(dòng)解。不過(guò)在此為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，再進(jìn)一步設(shè)各擾動(dòng)量均與y無(wú)關(guān)，則若L對(duì)作用，有：

可設(shè)波形解代入上述的三階偏微方程，有頻率方程：

------（9.60）相應(yīng)的解為：

-----（9.61）則拉姆波波速以及群速都可以求得（這里只取正根，實(shí)際上是沿x正負(fù)方向傳播的）：17而相應(yīng)的拉姆波的微分算子應(yīng)為：算子L作用

另外還要說(shuō)明的是，拉姆波各擾動(dòng)量的振幅在垂直方向有變化：將氣壓擾動(dòng)量的形式解代入靜力平衡方程（9.56），得：上式對(duì)z積分即可得到振幅P(z)的函數(shù)形式，若設(shè)大氣是等溫大氣，則常數(shù)，上式可積分：

，其中P(0)指z=0時(shí)的P值，于是有：

-----（9.63）18另外還要說(shuō)明的是，拉姆波各擾動(dòng)量的振幅在垂這就表明：氣壓擾動(dòng)沿x方向傳播，但是擾動(dòng)振幅隨高度指數(shù)衰減。顯然，若地面無(wú)擾動(dòng)氣壓：P(0)＝0，則。故拉姆波是外波形波

動(dòng)（決定于外部條件）。那么，拉姆波的其他擾動(dòng)量有（9.63）的垂直結(jié)構(gòu)？未必！是否也具等溫大氣中，基本量也隨z指數(shù)衰減，基本量應(yīng)該滿足靜力平衡方程：積分得：

-----（9.64）這樣：

-----（9.65）

于是由（9.55）可得：

-----（9.66）

故故實(shí)際上擾動(dòng)隨高度幾乎不變。因?yàn)椋旱臄_動(dòng)幅度隨z而增加，不過(guò)增加的指數(shù)甚小，∵19這就表明：氣壓擾動(dòng)沿x方向傳播，但是擾動(dòng)振幅隨高度指數(shù)衰減。

§9.4重力外波重力慣性外波振動(dòng)在空間的傳播就是波，倘流體自由面受了垂直方向的擾動(dòng)，隨著個(gè)別流體柱中水平輻散輻合交替變化而傳播，就形成了重力外波，若再計(jì)入作用，就得到重力慣性外波。●重力外波

設(shè)流體均質(zhì)不可壓（），不計(jì)科氏力作用，擾動(dòng)只限于垂直向上且只在。x方向傳播，即擾動(dòng)與y無(wú)關(guān)：由（9.41）中的(1),(3),(4),有適合于重力外波的線性擾動(dòng)方程組：

-----（9.67）20§9.4重力外波重力慣性外為后邊討論方便，這里加了“示蹤系數(shù)”，當(dāng)靜力平衡。設(shè)下邊界為水平剛壁，上界為自由面，即有本問(wèn)題的邊界條件：＝0，就是垂直方向滿足時(shí)，時(shí)，，線性化處理，可得：

（2）

注意：，再略去二階小量即可得上邊界條件（2）。

設(shè)波動(dòng)形式解：

-----（9.70）所以有此，是因?yàn)椋?1為后邊討論方便，這里加了“示蹤系數(shù)”，當(dāng)靜力平衡。設(shè)下邊界為代入（9.67）以及相應(yīng)的邊界條件（1）（2）有：由[3]得，代入[1]可消去U，得[4]，對(duì)z求導(dǎo)

后代入[2]，又消去P（注意，故得二階齊次常系數(shù)線性常微分方程：

-----（9.73）將[4]代入（9.72）又有：

-----（9.74）22代入（9.67）以及相應(yīng)的邊界條件（1）（2）有：由[3]得下面就分情況加以討論：1.＝0，滿足靜力平衡；由（9.73）→決定A,B：從z=0時(shí)W=0,得A=0,故有：W=Bz——[5]，由兩邊條件（9.74）

時(shí)得：；此B代入[5]，并取從而得到重力外波的波動(dòng)的頻率方程：

故有重力外波的波動(dòng)相速度：——（9.77）又從

23下面就分情況加以討論：1.＝0，滿足靜力平衡；由（9.73）

故（9.77）又可改寫(xiě)為：現(xiàn)在考慮的是均質(zhì)大氣，靜力平衡，對(duì)基本量有，故

-----（9.78）~牛頓聲速兩點(diǎn)討論：(1)由于c與波長(zhǎng)L無(wú)關(guān)，故靜力平衡下的重力外波是非色散波：，另外，將代入相速度公式，可以算出重力外波的，接近于聲速，故為快波型波動(dòng)。波速為：(2)由以上推導(dǎo)知道：

故垂直速度擾動(dòng)的振幅W隨z線性增加；但是水平速度擾動(dòng)的振幅為常數(shù)，且與有的位相差。24故（9.77）又可改寫(xiě)為：現(xiàn)在考慮的是均質(zhì)大氣，靜力平衡2.＝1（非靜力平衡）（9.73）若用r表示特征值，

故：

兩個(gè)積分常數(shù)由（9.74）的邊界條件決定：z=0,W=0,得到

故頻率方程：

故有波動(dòng)相速：

-----(9.81)則特征方程為：252.＝1（非靜力平衡）（9.73）若用r表示特征值，故：○若取短波近似，即則（9.81）簡(jiǎn)化為Stokes深水重力波相速：

——（9.82）○若取長(zhǎng)波近似，即，則（9.81）簡(jiǎn)化為L(zhǎng)agrange淺水重力波相速：——（9.83）26○若取短波近似，即則（9.81）簡(jiǎn)化為Stokes深水重力波—（9.84）●重力慣性外波

地球大氣在重力和科氏力作用下，在自由面或上下界面受擾，可產(chǎn)生慣性重力外波。故：①均質(zhì)不可壓；②科氏力作用；③靜力平衡下，有本問(wèn)題的方程組：27—（9.84）●重力慣性外波27如圖，流體力學(xué)已討論過(guò)，若以表示自由面高度，則（3）在z方向積分

—（9.85）由（9.85）可知，（1）（2）右端均可改寫(xiě)為：

—（9.86）這同時(shí)也表明：水平壓力梯度不隨z變化→（1）（2）右端不隨z變化，由此推知：（1）（2）左端的，即u,v也不隨z變化。最后來(lái)簡(jiǎn)化連續(xù)方程（4），對(duì)（4）作z方向積分：

28如圖，流體力學(xué)已討論過(guò)，若以表示自由面高度，則（3）在z方向按下邊界條件，不可有流體穿過(guò)剛壁：z=0時(shí)，，知而

故連續(xù)方程最終表示為：

——（9.88）故有改寫(xiě)后的淺水理論中均質(zhì)不可壓流體運(yùn)動(dòng)方程組（又稱淺水方程組，正壓原始方程組）：

——（9.89）下面就是線性化，求波動(dòng)解29按下邊界條件，不可有流體穿過(guò)剛壁：z=0時(shí)，，知而故連續(xù)方設(shè)基本流場(chǎng)靜止，即令

——（9.90）代入（9.89）進(jìn)行微擾法線性化處理，可得線性化后的微擾量方程組：

——（9.91）取，用“算子行列式法”進(jìn)行消元，可得對(duì)中任一未知量的方程：

——（9.92）其中可得算符為：30設(shè)基本流場(chǎng)靜止，即令——（9.90）代入（9.89為簡(jiǎn)化問(wèn)題，設(shè)擾動(dòng)與y無(wú)關(guān)，對(duì)于有：

——（9.93）類似以往的討論，設(shè)有波形解：，代入（9.93）可得波動(dòng)解頻率：

——（9.96）則重力慣性外波的波速與群速度可求得：

——（9.97）31為簡(jiǎn)化問(wèn)題，設(shè)擾動(dòng)與y無(wú)關(guān)，對(duì)于有：§9.5重力內(nèi)波，慣性內(nèi)波，重力慣性內(nèi)波對(duì)于層結(jié)大氣，若層結(jié)穩(wěn)定，則在重力－浮力的交替作用下，可在流體（大氣）內(nèi)部形成一種重力波，稱為重力內(nèi)波，我們將看到：它既沿水平方向又沿垂直方向傳播。進(jìn)一步，若再加進(jìn)地球旋轉(zhuǎn)作用（當(dāng)然，也只取

下面，本節(jié)分為4方面加以討論：·浮力振蕩，重力內(nèi)波形成的機(jī)制

穩(wěn)定層結(jié)中的流點(diǎn)受垂直方向的擾動(dòng)，有可能形成浮力振蕩。如圖，考察穩(wěn)定層結(jié)的流體中，某高度z處有一氣塊A因受z方向擾動(dòng)而絕熱地位移到高度。由于是層結(jié)流體，故環(huán)境密度要隨z變化，如上圖，微團(tuán)A移動(dòng)過(guò)程絕熱，即位溫守恒，○○32§9.5重力內(nèi)波，慣性內(nèi)波，重力慣性內(nèi)波要變化，增量為：p要不斷調(diào)整與一致，即準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。其實(shí)：變?yōu)?，之所以出現(xiàn)增量但其密度要由，就是微團(tuán)壓力可見(jiàn)，由于p變化，故

←實(shí)際上，對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程還有

總結(jié)：在處，微團(tuán)與環(huán)流的密度分別為：A:

環(huán)境:33要變化，增量為：p要不斷調(diào)整與一致，即準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。其實(shí)：變?yōu)楣试撁芏绕钜鸬膯挝毁|(zhì)量微團(tuán)所受（重－浮）力（~又稱阿基米德浮力項(xiàng)?。┑拇笮椋嚎梢?jiàn)，A受力的大小與位移成正比，比例系數(shù)為。34故該密度偏差引起的單位質(zhì)量微團(tuán)所受（重－?。┝Γㄔ倏词芰Φ姆较?，對(duì)于穩(wěn)定層結(jié)，大氣靜力穩(wěn)定度，故受力的方向與位移相反?？梢?jiàn)A受的正是重-浮力構(gòu)成的恢復(fù)力→所以A要作浮力簡(jiǎn)諧振蕩→振蕩頻率就是比例系數(shù)開(kāi)平方，稱為：Brunt-V?i?s?lla頻率N：

浮力振蕩通過(guò)水平輻散輻合的交替變化得以傳播，從而形成重力內(nèi)波，因此：如果設(shè)水平無(wú)輻散，就可以排除重力內(nèi)波。35再看受力的方向，對(duì)于穩(wěn)定層結(jié)，大氣靜力穩(wěn)定度，故受力的方向與二．Boussinesq近似●Boussinesq近似實(shí)為對(duì)p188的大氣方程組（9.37）或（9.41）進(jìn)行熱力學(xué)簡(jiǎn)化，。首先注意它們同樣可表示為基本量＋擾動(dòng)量，熱力學(xué)變量有但對(duì)層結(jié)流體，基本量應(yīng)是z的函數(shù)：

——（9.104）對(duì)基本狀態(tài)，若設(shè)其垂直厚度為H，則由靜力方程和狀態(tài)方程：

——（9.105）均質(zhì)大氣高度8km.36二．Boussinesq近似●Boussinesq近似實(shí)為對(duì)身有相同量級(jí)，故有：注：尺度分析一章曾提到：熱力學(xué)變量，在垂直方向變化與其本

-----（9.106）以上是對(duì)基本量而言。那么擾動(dòng)量呢？對(duì)于大中尺度運(yùn)動(dòng)，科氏力與梯度力量級(jí)相當(dāng)：

①而另一方面，②比較①、②，得到

-----（9.109）熱力學(xué)變量的一個(gè)重要性質(zhì)熱力學(xué)變量的另一個(gè)重要特征37身有相同量級(jí)，故有：注：尺度分析一章曾提到：熱力學(xué)變量，在垂推廣到，有：對(duì)大中尺度系統(tǒng)，熱力學(xué)變量擾動(dòng)量比基本量小兩個(gè)量級(jí)左右?！袼竭\(yùn)動(dòng)方程：由以上討論知，，故在運(yùn)動(dòng)方程右端取代替，作為近似簡(jiǎn)化：

-----（9.110）表明：在水平運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，忽略了擾動(dòng)密度的作用?！翊怪边\(yùn)動(dòng)方程如果說(shuō)只要不計(jì)作用就是Boussinesq近似，那就太容易了！實(shí)際上，在垂直運(yùn)動(dòng)方程中扮演重要角色！它構(gòu)成由浮力振蕩的討論中知道，阿基米德浮力，形成了垂直振蕩！38推廣到，有：對(duì)大中尺度系統(tǒng)，熱力學(xué)變量擾動(dòng)量比基本量小兩個(gè)量垂直運(yùn)動(dòng)方程為：將（9.104）代入該方程右端，則右端變?yōu)椋?/p>

故有簡(jiǎn)化后的垂直方向的動(dòng)量方程：

-----（9.111）~表明：垂直運(yùn)動(dòng)方程中必須考慮●由位溫表示的狀態(tài)方程：直接利用p189（9.41）的最后一式：

-----（9.112）（=g）(=-g)(=0,二階小量)39垂直運(yùn)動(dòng)方程為：將（9.104）代入該方程右端，則右端變?yōu)椋河捎?，故有?/p>

-----（9.113）故（9.112）：

-----（9.114）′熱膨脹效應(yīng)可壓縮效應(yīng)下面的分析將表明，可壓縮效應(yīng)比之于熱膨脹效應(yīng)來(lái)可以略去，因而密度擾動(dòng)得以簡(jiǎn)化：在（9.111）中，擾動(dòng)氣壓梯度力與阿基米德浮力量級(jí)相當(dāng)：

③而另一方面又有：

④比較③，④，有：---（9.114）

可表為尺度關(guān)系：40由于，故有：-----（9.113）故（9.112）由于D不會(huì)超過(guò)H:下面分兩種情況討論：深層運(yùn)動(dòng)（），則因，由（9.114）′估計(jì)出：

-----（9.116）表明：對(duì)于深層運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成擾動(dòng)密度的熱膨脹效應(yīng)和可壓縮性作用是同等重要的。b.淺層運(yùn)動(dòng)（實(shí)際上，我們可以比較一下可壓縮項(xiàng)與熱膨脹項(xiàng)的相對(duì)大小：）則（9.114）’中的可壓縮項(xiàng)相對(duì)而言不重要了！

-----（9.117）41由于D不會(huì)超過(guò)H:下面分兩種情況討論：深層運(yùn)動(dòng)（），則因，由表明：對(duì)于淺層運(yùn)動(dòng)，熱膨脹效應(yīng)是主要的，故（9.112）中可壓縮項(xiàng)可略去而得以簡(jiǎn)化：

-----（9.118）~密擾之壓縮項(xiàng)可以略去●連續(xù)方程（深層運(yùn)動(dòng)D~H）：

，將代入，可整理得：

-----（9.119）由于，故上式(9.119)左端頭兩項(xiàng)可以略去，得：

注意：

-----（9.121）~準(zhǔn)B故有：42表明：對(duì)于淺層運(yùn)動(dòng)，熱膨脹效應(yīng)是主要的，故（9.112）中可進(jìn)一步，對(duì)于淺層運(yùn)動(dòng)，由于則連續(xù)方程簡(jiǎn)化為不可壓縮形式：，故（9.119）左第三項(xiàng)也可以略去，

-----（9.122）●熱力學(xué)能量方程對(duì)此，我們不加證明地指出：絕熱方程中的作用是不可忽略的，故不能作簡(jiǎn)化。干絕熱的，位溫形式的熱力學(xué)方程為：即：密擾完全不計(jì)，加淺層條件則進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三維無(wú)輻散，可以濾去聲波。43進(jìn)一步，對(duì)于淺層運(yùn)動(dòng)，由于則連續(xù)方程簡(jiǎn)化為不可壓縮形式：，故將代入，有：故有：

------（9.123）（9.123）式下有一段敘述，什么是Boussinesq近似？什么是準(zhǔn)Boussinesq近似？總之，Boussinesq近似的基本方程組如下：

-----（9.124）44將代入，有：故有：------（9.123）（9三．重力內(nèi)波考慮：①不計(jì)科氏力作用；②擾動(dòng)與y無(wú)關(guān)；③取Boussinesq近似；④基本，即；⑤基本密度有重力內(nèi)波基本方程組（注意，已將第六式代入第三式，從而消去）：流場(chǎng)靜止常數(shù)；則由（9.124）

------（9.125）將代入（9.125）進(jìn)行線性化，這里只推最后一式，其余自己看：~穩(wěn)定層結(jié)流體中的浮力振蕩在空間的傳播45三．重力內(nèi)波考慮：①不計(jì)科氏力作用；②擾動(dòng)與y無(wú)關(guān)；③取Bo考察上式，可以湊出一個(gè)來(lái)：兩端除以，第二項(xiàng)乘以，可得：

總之，有線性擾動(dòng)方程組：

用“算子行列式法”消元，可得以下4變量之一的高階線性微分方程：

-----（9.127）-----（9.126）46考察上式，可以湊出一個(gè)來(lái)：兩端除以，第二項(xiàng)乘以，可得：總其中，重力內(nèi)波的算子為：例如，算子L作用于，有：

-----（9.128）在無(wú)界區(qū)域內(nèi)其波動(dòng)形式解，設(shè)：

-----（9.129）代入（9.128）可得頻率方程：

-----（9.131）進(jìn)而求出二維重力內(nèi)波的圓頻率：47其中，重力內(nèi)波的算子為：例如，算子L作用于，有：方向的波數(shù)。，中性層結(jié)下也無(wú)重力內(nèi)波，這與P.202是一致的時(shí)必有，設(shè)運(yùn)動(dòng)水平無(wú)輻散，則可排除重力內(nèi)波。，則對(duì)于，可得重力內(nèi)波的相速矢量，以及群速矢量：分別是x,z方向的單位矢量；顯然，而當(dāng)N=0時(shí)同樣有取，

-----（9.132）其中，二維波數(shù)矢量，二維波數(shù)矢量的模；k,m分別是48方向的波數(shù)。，中性層結(jié)下也無(wú)重力內(nèi)波，這與P.202是一致的綜上所述，純重力內(nèi)波有如下特點(diǎn)：（1）非靜力平衡的層結(jié)大氣中，若是穩(wěn)定層結(jié)，就可產(chǎn)生純重力內(nèi)波，它既沿水平方向又沿垂直方向傳播，其水平相速是：

-----（9.133），大小不同，

（2）由（9.132）知，即相速矢量與群速矢量相互垂直。（3）從水平方向看，相速矢量與群速矢量

方向一致，均向東（的正方向）。但垂直分量正好相反：相速矢量：，群速矢量：。（4）可以推算出，而但群速則是向東又向上傳。，則波動(dòng)會(huì)向東又向下傳，49綜上所述，純重力內(nèi)波有如下特點(diǎn)：（1）非靜力平衡的層結(jié)大氣中●首先，速度擾動(dòng)與氣壓擾動(dòng)同位相，出現(xiàn)向西向下速度擾動(dòng)時(shí)氣壓擾動(dòng)為低，出現(xiàn)向東向上速度擾動(dòng)同時(shí)氣壓擾動(dòng)為高；而位溫?cái)_動(dòng)則與它們有的位相差?！?/p>

這就表明，一個(gè)相速度具有向下又向東分量的重力內(nèi)波，將向上輸送正的緯向動(dòng)量，從群速度或能量觀點(diǎn)來(lái)看，就意味著能量向東向上傳播。為正相關(guān)：為正時(shí)出現(xiàn)上升，●

其次，為負(fù)時(shí)出現(xiàn)下沉。如圖，給出了一個(gè)理想的向東向下傳播的重力內(nèi)波結(jié)構(gòu)圖中，短粗箭頭為相速度方向，細(xì)箭頭表示擾動(dòng)速度場(chǎng)u′，w′

。Holton就曾對(duì)以上分析進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如下：50●首先，速度擾動(dòng)與氣壓擾動(dòng)同位相，的位相差。●這就表明，作用,對(duì)淺層運(yùn)動(dòng)就是不可壓;;但垂直方向則必須考慮

四.慣性內(nèi)波,重力慣性內(nèi)波在Boussinesq近似之前提下,加入科氏力(但)并取中性層結(jié)(可得慣性內(nèi)波;而考慮由前幾節(jié)的討論,不難寫(xiě)出線性化后的三維擾動(dòng)方程組為:),作用并取穩(wěn)定層結(jié),就有重力慣性內(nèi)波.

-----(9.134)水平運(yùn)動(dòng)方程中不計(jì)即將位溫公式代入;連續(xù)方程中也不計(jì),具體表現(xiàn)為熱脹效應(yīng),絕熱方程不能對(duì)

（此即

）簡(jiǎn)化。51作用,對(duì)淺層運(yùn)動(dòng)就是不可壓;;但垂直方向則必須考慮四.慣用算子行列式法消元后,有:

-----(9.135)相應(yīng)的算子應(yīng)能得出:

例如,L運(yùn)算于,有:

-----(9.136)設(shè)三維波形解為:

-----(9.137)代入(9.136)可得頻率方程,解之,有:

-----(9.139)52用算子行列式法消元后,有:-----(9.135)下面就分別加以討論:取大氣為中性層結(jié),即,排除了純重力內(nèi)波,得到慣性內(nèi)波:

-----(9.140)(i)時(shí),

,大氣作慣性振蕩(慣性圓運(yùn)動(dòng))(ii)當(dāng),對(duì)于,慣性內(nèi)波的相速矢和群速矢分別是:

-----(9.141)53下面就分別加以討論:取大氣為中性層結(jié),即,排除了純重力內(nèi)波,綜上所述,慣性內(nèi)波有以下特征:非靜力平衡大氣中又取中性層結(jié)條件,則可以形成慣性內(nèi)波,其x方向波速為:

-----(9.142)(2)易證,,即慣性內(nèi)波同樣

與的垂直分量方向相同,大小差(3)穩(wěn)定層結(jié),同時(shí)考慮取,就得具體推導(dǎo)從略,直接給出結(jié)果:

-----(9.144)有相速矢量與群速矢量相互垂直.比例系數(shù);水平分量大小相等,方向相反.慣性重力內(nèi)波,其波動(dòng)的微分算子為:54綜上所述,慣性內(nèi)波有以下特征:非靜力平衡大氣中又取中性層結(jié)條重力內(nèi)波性質(zhì),反之,如果其中,是為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便取的兩個(gè)符號(hào),特別要注意的正負(fù)決定于。由此可得:(1),對(duì)于重力慣性內(nèi)波,同樣有相速矢量與群速矢量相互垂直.(2)重力慣性內(nèi)波是穩(wěn)定層結(jié)與科氏力共同作用下產(chǎn)生的混和波,這兩個(gè)因子中哪一個(gè)強(qiáng),混和波的性質(zhì)便可接近于該因子所產(chǎn)生的波:如果,即,則與的水平分量方向相同,垂直分量方向相反.故主要體現(xiàn)出純,即垂直分量方向相同,主要表現(xiàn)為慣性內(nèi)波的性質(zhì);的水平分量方向相反,(3)與重力慣性外波一樣,這種波動(dòng)一定是非地轉(zhuǎn)的,且水平輻散輻合很重要.重力內(nèi)波、慣性重力內(nèi)波分別與大氣的小尺度或中尺度運(yùn)動(dòng)有關(guān)。55重力內(nèi)波性質(zhì),反之,如果其中,是為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便取的兩個(gè)符號(hào),特別

§6Rossby波

觀測(cè)事實(shí):北半球中緯度高空氣壓場(chǎng)冬3夏4,稱大氣長(zhǎng)波(行星波,渦旋慢波)是地物流體中最重要的波動(dòng).1939年Rossby率先予以解釋:它是一種水平方向單向且向西傳播的慢波.具有準(zhǔn)水平,準(zhǔn)水平無(wú)輻散性質(zhì).β效應(yīng),故稱Rossby波.為什么向西傳播?下面先予以簡(jiǎn)要說(shuō)明：1949年，Biel,Charney和羅斯貝在芝加哥大學(xué)旁邊的密執(zhí)安湖岸邊。56§6Rossby波

考如圖的水平面(xoy平面)，為討論簡(jiǎn)單,設(shè)初始時(shí)刻只有速度的南北分量v，且v在x方向呈正弦波分布。實(shí)際上，v的這種波狀分布與渦度ζ的波狀分布是一致的:,故有如圖渦度這時(shí)ζ分布場(chǎng),那么未來(lái)將如何變化?因此，下面可以從渦度場(chǎng)變化來(lái)分析問(wèn)題57考如圖的水平面(xoy平面)，為討論簡(jiǎn)單,設(shè)初始時(shí)刻考慮正壓渦度方程:

-----(9.145)Β效應(yīng)項(xiàng)水平無(wú)輻散

這實(shí)際上就是一個(gè)絕對(duì)渦度守恒式?？梢?jiàn)圖中的渦度分布與變化實(shí)際上取決于β作用。類似,Ⅱ區(qū)相對(duì)渦度要增加.總效果:原有的負(fù),正渦度區(qū)均在在Ⅰ區(qū),故,所以,由于向x軸負(fù)向即西移。（實(shí)際觀測(cè)到的大氣長(zhǎng)波還會(huì)有準(zhǔn)靜止的,因?yàn)槲黠L(fēng)平均氣流的作用。）效應(yīng),Ⅰ區(qū)相對(duì)渦度要減小;正壓、水平無(wú)輻散羅斯貝波58考慮正壓渦度方程:-----(9.145)Β效應(yīng)項(xiàng)水平無(wú)設(shè)基本氣流為平直西風(fēng)：下面予以正式討論:(9.145)進(jìn)行線性化,有:,代入正壓水平無(wú)輻散渦度方程

-----(9.147)流體力學(xué)中講過(guò),無(wú)旋就有勢(shì),二維無(wú)輻散就有流函數(shù),故現(xiàn)在可引入代入(9.147)可得關(guān)于的常系數(shù)偏微分方程:擾動(dòng)流函數(shù)

-----(9.149)設(shè)緯向基本氣流為常數(shù)59設(shè)基本氣流為平直西風(fēng)：下面予以正式討論:(9.145)進(jìn)行線

故可設(shè)二維波動(dòng)解:

代入上式得到頻率方程:

-----(9.151）即有Rossby波動(dòng)角頻率:

------(9.152)進(jìn)而可得x方向(緯向)波動(dòng)傳播速度及群速度:

60故可設(shè)二維波動(dòng)解:代入上式得到頻率方程:注意:Rossby波的基本控制方程是正壓水平無(wú)輻散渦度方程:,實(shí)際上科氏力參數(shù),故該方程又可寫(xiě)為:

→

絕對(duì)渦度守恒方程,因此,可有以下結(jié)論:正壓大氣中的Rossby波由絕對(duì)渦度守恒所控制,波動(dòng)傳播的主要擾動(dòng)就是效應(yīng)，因此它是渦旋性波動(dòng);(2)Rossby波相對(duì)于基本氣流向西傳播,若取,對(duì)于地區(qū),有

則,故Rossby波相對(duì)于緯向基本氣流的傳播速度為左右,是慢波.(3)對(duì)于Rossby波,c與k有關(guān),故是色散波,其能量頻散有重要的天氣意義.(4)Rossby波是大尺度運(yùn)動(dòng),故有準(zhǔn)地轉(zhuǎn)性.61注意:Rossby波的基本控制方程是正壓水平無(wú)輻散渦度方程天氣預(yù)報(bào)員可以據(jù)此做簡(jiǎn)單的估算62天氣預(yù)報(bào)員62

§7噪音與濾波總結(jié)本章前幾節(jié)的內(nèi)容,可知:(3)對(duì)于某種尺度運(yùn)動(dòng),天氣意義較小并能計(jì)算不穩(wěn)定的快波,稱為”噪音”.除去噪音的方法叫做濾波.途徑:修改方程組,使之不含產(chǎn)生噪音的物理機(jī)制.(2)不同尺度的運(yùn)動(dòng),起主要作用的波動(dòng)是不一樣的:小尺度大氣基本方程組中含有各種波動(dòng),主要有4中基本類型:聲波,重力波,慣性波,大氣長(zhǎng)波.不同類型波動(dòng)形成和傳播的物理機(jī)制不同,且其性質(zhì)及天氣影響有不同.通常,快波能量頻散快,因而振幅小,生命史短.中尺度慣性重力內(nèi)波。大尺度主要決定于長(zhǎng)波.中期(3~10天)天氣過(guò)程主要決定于長(zhǎng)波與超長(zhǎng)波.重力內(nèi)波。大氣長(zhǎng)波.短期(1~3天)天氣過(guò)程

(4)為什么要濾波?對(duì)某一種運(yùn)動(dòng),都有主要和次要波動(dòng),保留次要波動(dòng)似乎也無(wú)不可,但是實(shí)際應(yīng)用于數(shù)值預(yù)報(bào)時(shí),會(huì)出問(wèn)題:①增加運(yùn)算次數(shù);數(shù)值計(jì)算時(shí)為使計(jì)算穩(wěn)定,須,顯然,對(duì)固定的空間步長(zhǎng)(例如300km),若是c=300的快波,則分鐘,而對(duì)于c=30慢波,63§7噪音與濾波總結(jié)本章前幾節(jié)的內(nèi)容,則小時(shí),那么作24小時(shí)數(shù)值預(yù)報(bào),若含快波須100次重復(fù)運(yùn)算,而只含慢波時(shí)僅10次重復(fù)運(yùn)算.②計(jì)算不穩(wěn)定;③激發(fā)出虛假的聲波和重力波,完全擾亂大尺度運(yùn)動(dòng)的真正圖像,對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng),垂直方向滿足靜力平衡,水平方向接近于地轉(zhuǎn)平衡,故垂直方向與水平方向的加速度都是二大量間的小差值.若不進(jìn)行濾波而直接用未經(jīng)簡(jiǎn)化的方程,將觀測(cè)值作為初始場(chǎng)代入方程,則由于誤差可引起虛假波.(5)過(guò)濾一種噪音的時(shí)候有可能對(duì)諧音構(gòu)成一定的歪曲,過(guò)濾的方法也可以有多種,如擾動(dòng)量滿足靜力平衡可濾去垂直聲波,擾動(dòng)滿足地轉(zhuǎn)關(guān)系可濾去水平聲波,而設(shè)水平無(wú)輻散同樣可濾去水平聲波.再比如,設(shè)中性層結(jié)可濾去重力內(nèi)波,而設(shè)擾動(dòng)滿足地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系,同樣可濾去重力波.因此,如何既濾去噪音又保持最小的歪曲,是很重要的.下面,以一個(gè)慣性重力外波和羅斯貝波的動(dòng)力學(xué)模式為例,加以具體分析:考慮不可壓并具有自由面的流體,z方向滿足靜力平衡,同時(shí)計(jì)入f隨y的變化,效應(yīng),這樣,基本方程組就是P199(9.89),慣性重力外波的淺水方程,只不過(guò)即這里f隨y變化:

64則小時(shí),那么作24小時(shí)數(shù)值預(yù)報(bào),若含快波須100下面就是微擾法線性化,設(shè)波動(dòng)解。順便指出,淺水方程有一個(gè)重要性質(zhì):位渦守恒推導(dǎo)如下:鑒于,作運(yùn)算得到渦度方程:

------(9.156)由于f只是y的函數(shù),故連續(xù)方程(3)代入上式,可有:

易證,上式左端=,故上式最終可以表示為位渦守恒式:

-----(9.157)

-----(9.155)65下面就是微擾法線性化,設(shè)波動(dòng)解。順便指出,淺水方程有一個(gè)重要設(shè)其中基本量滿足地轉(zhuǎn)平衡,常數(shù),代入(9.155)有微擾方程組:

-----(9.160)線性化后的擾動(dòng)渦度方程也不難得出::

-----(9.161)66設(shè)其中基本量滿足地轉(zhuǎn)平衡,常數(shù),代入(9.155)有微擾方程現(xiàn)以(9.161)取代(9.160)的y分量式,除(3)體現(xiàn)效應(yīng)的項(xiàng)外,其余f又為簡(jiǎn)便,且進(jìn)一步設(shè)與y無(wú)關(guān),則有等價(jià)的微擾方程組:均取為

-----(9.162)若取,表示(1)中滿足地轉(zhuǎn)關(guān)系,而(2)滿足準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似.取,表示(3)中左端最后一項(xiàng)為0,由(9.160)可知,實(shí)為水平無(wú)輻散.設(shè)(9.162)有波動(dòng)形式解:

-----(9.163)67現(xiàn)以(9.161)取代(9.160)的y分量式,除(3)體現(xiàn)代入(9.162),有關(guān)于的一個(gè)三聯(lián)齊次代數(shù)方程組:

-----(9.164)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式必為0,故可得頻率方程:

-----(9.166)下面分3種情形討論:

(1),原方程不取任何近似簡(jiǎn)化,這時(shí)(9.166)寫(xiě)為:

-----(9.167)68代入(9.162),有關(guān)于的一個(gè)三聯(lián)齊次代數(shù)方程組:這是關(guān)于c的一個(gè)三次代數(shù)方程,應(yīng)該有三個(gè)根,從物理上講,淺水方程的前提是均質(zhì)不可壓,排除了聲波;而考慮了g(重力外波,因有自由面),(慣性波)及(Rossby波,亦即書(shū)上稱的渦旋慢波),故這三個(gè)根是一對(duì)慣性重力外波解,以及一個(gè)渦旋慢波解.

進(jìn)而得到慢波相速:

-----(9.169)與Rossby波緯向相速相比較可見(jiàn),(9.169)是一個(gè)受重力和慣性()修正后的Rossby波,或者是計(jì)入水平散度影響的正壓Rossby波,甚大,可認(rèn)為,故(9.167)可作簡(jiǎn)化,它近于實(shí)況.對(duì)于快波解,因c(1)Β項(xiàng)可略；（2）也比小可略，即保留，進(jìn)而有快波相速:

-----(9.171)~這正是重力慣性外波69這是關(guān)于c的一個(gè)三次代數(shù)方程,應(yīng)該有三個(gè)根,從物理上講,淺水以上討論告訴我們,通常的3個(gè)根就是一個(gè)慢波(9.169),兩個(gè)快波(9.171),且(9.169)是近于實(shí)際情況的.(2),設(shè)運(yùn)動(dòng)水平無(wú)輻散,這時(shí)(9.166)變?yōu)?

解之,得到:

-----(9.173)結(jié)論:取水平無(wú)輻散的濾波法可以排除重力慣性波而保留渦旋性慢波,但同時(shí)也去掉了g與對(duì)渦旋慢波的影響,而只能得到純Rossby波,這與實(shí)際相差很大.(3)

,取準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近似,(9.166)(9.174),解之,得到:

------(9.175)70以上討論告訴我們,通常的3個(gè)根就是一個(gè)慢波(9.169),兩聲波,重力波,慣性波和重力慣性波都將被消除.結(jié)論:取準(zhǔn)地轉(zhuǎn)近