2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章：解析幾何（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章：解析幾何學(xué)生版

1.(2022?南通模擬)已知P為拋物線C：V=4x上位于第一象限的點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，尸尸與

C交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)P).直線/與C相切于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)過點(diǎn)尸作/的垂線交C于

另一點(diǎn)N.

(1)證明：線段的中點(diǎn)在定直線上；

(2)若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2/)，試判斷Q,N三點(diǎn)是否共線.

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2.(2023?石家莊模擬)已知Ef/，0),從5'點(diǎn)N滿足幀￡]=/|/尸點(diǎn)/的軌跡為曲線

C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線/：尸丘+加與雙曲線：亍一彳=1交于N兩點(diǎn)，且/此加=至。為坐標(biāo)原點(diǎn)),

求點(diǎn)A到直線/距離的取值范圍.

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，提=1(心6>0),點(diǎn)F(l,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)下且斜

3.(2023?廣州模擬)已知橢圓C：

率不為0的直線厶交橢圓于N兩點(diǎn)，當(dāng)厶與x軸垂直時(shí)，|AW]=3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)A?4分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線小/，分別與直線厶x=l交于P,。兩點(diǎn),

證明：四邊形。山2。為菱形.

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4.(2022?衡陽模擬)設(shè)橢圓氏｝+本=1(。*0)的左頂點(diǎn)為小上頂點(diǎn)為8.已知橢圓的離心

率為最\AB\=yjl.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)P,。為橢圓E上異于點(diǎn)/的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線/P,的斜率之積為一：

①證明直線尸。恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；

②求厶42。面積的最大值.

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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章：解析幾何教師版

1.(2022?南通模擬)已知P為拋物線C：V=4x上位于第一象限的點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，PF與

C交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)尸).直線/與C相切于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)過點(diǎn)尸作/的垂線交C于

另一點(diǎn)N.

(1)證明：線段的中點(diǎn)在定直線上；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2啦)，試判斷Q,N三點(diǎn)是否共線.

解(1)設(shè)尸(X0,加),則完=4X0,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在第一象限，

所以yo=24i),

對(duì)y=24兩邊求導(dǎo)得V=),

所以直線/的斜率為3,

令y=0,則x=-xo,

所以M(一刈,0),

所以線段M尸的中點(diǎn)為(°,3,

所以線段的中點(diǎn)在定直線x=0上.

(2)若尸(2,23)，則M(-2,0).

所以k,wp=也,左依=2也，

2

因?yàn)槭琋丄/,

所以kpN=—価，

所以直線尸F(xiàn)：y=2業(yè)xT),

直線尸N：y=-^2(x-4).

產(chǎn)=4x,

由,廠得2J2—5X+2=0,

y=2v2(x—1),

所以x=1或2,

2

所以第一回，

儼=4x,

由，廠得N—10x+16—0,

y=—W(x—4),

所以x=2或8,

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所以N(8,—46

因?yàn)镸(—2,0),,N(8,-4/),

2s

所以ksiQ—kMN

5，

所以“，Q,N三點(diǎn)共線.

0),點(diǎn)4滿足|4￡|=必|力尸點(diǎn)力的軌跡為曲線

2.(2023?石家莊模擬)己知?dú)W應(yīng),0),

C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若直線厶y=履+機(jī)與雙曲線：^=1N兩點(diǎn)，且NMON=g。為坐標(biāo)原點(diǎn)),

“49

求點(diǎn)/到直線/距離的取值范圍.

解(1)設(shè)4(x,y),因?yàn)?用=/玄尸|,

所以N(x一啦)2+&-0)2

2+(y—0)2,

將等式兩邊平方后化簡(jiǎn)得，+v=l.

y=Ax+〃?，

(2)將直線/：y=kx-\-m與雙曲線^—匕=1聯(lián)，得‘￡_以=]=(4居-9.2+8燈內(nèi)+4m2

4949~

+36=0,

設(shè)A/gyi),Ng,yi)9

所以有L7.

2即皿2+9>4公且上片3,

1=(8癡?)2—4?(4斤一9)(4涼+36)>0,2

匕匕］、),8km4〃/+36

所以汨+%2=一—二,X1X2=--；----,

4店一94公一9

因?yàn)镹MON口,

2

所以血丄赤，即而M?蘇=0,所以X|X2+_nV2=0=XlX2+(丘|+機(jī))1公^+⑼二。，

化簡(jiǎn)得(N+1)x1x2+km(x\+x2)+=0,

/8km]

把X1+X2=一一娶L,X1X2=4”'+36代入得/+]).坦_士亜+%”14產(chǎn)一9J+機(jī)2=0,化簡(jiǎn)

4R-94"94F-9

得旭2=36(產(chǎn)+1)因?yàn)閙2+9>4/(2且厶力色

52

所以有36(4+1)+9>4尸且左之白，解得《

522

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圓N+y2=i的圓心為(0,0),半徑為1,

66+1

圓心(0,0)到直線/：y^kx+m的距離為"=*===^_=8區(qū)1,

M師5

所以點(diǎn)/到直線/距離的最大值為竽+1,最小值為卓一1,

-6#63[J

所以點(diǎn)4到直線/距離的取值范圍為L(zhǎng)5'5

3.(2023?廣州模擬)已知橢圓C：，+捺=36>0)，點(diǎn)/(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜

率不為0的直線厶交橢圓于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)厶與x軸垂直時(shí)，|AW|=3.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)小，4分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線小/，4N分別與直線厶：x=l交于P,。兩點(diǎn)，

證明：四邊形。以2。為菱形.

(1)解由題可知c=l.

當(dāng)厶與X軸垂直時(shí)，不妨設(shè)”的坐標(biāo)為[1'3，

a2=b2+1,

9

所以丄+4=1,

中京

解得〃=2,b=y[3.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+且=1.

43

(2)證明設(shè)厶的方程為1,M(x\,y\),Ng玖)，

1,

聯(lián)立也丄上—i消去x得(3m2+4?2+6〃少-9=0,

易知/>0恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得川十次=—丄，KP2=——,

3/w2+43/n2+4

由直線4M的斜率為3”=一匸，得直線小"的方程為y=—(x+2),

1x\+2x\+2

當(dāng)x=l時(shí)，yp=~^~,

xi+2

由直線4N的斜率為kAv=—?圧一，得直線42N的方程為y-(x—2),

2X2_2X2-2

當(dāng)x=l時(shí)，yQ=―

X2-2

若四邊形。為20為菱形，則對(duì)角線相互垂直且平分，下面證抄+陽=0,

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因?yàn)?臺(tái)器+言3y1(工2-2)-F2(x】+2)=2即必-3(yi+聞

(xi+2)(x2—2)(〃吵1+3)(叩2—1)

-9c—6rn-18m+1八

則2my必—3(y1+及)=2”3.—：—=----------------=0

3〃於+437w2+43zn2+4

所以|PF|=|0E|,即尸0與。兒相互垂直且平分，所以四邊形?？?0為菱形.

4.(2022?衡陽模擬)設(shè)橢圓E：=1(心/A0)的左頂點(diǎn)為兒上頂點(diǎn)為8.己知橢圓的離心

率為:，網(wǎng)=近

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)P,。為橢圓E上異于點(diǎn)4的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線/P,/。的斜率之積為一丄

4

①證明直線產(chǎn)。恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；

②求△/產(chǎn)。面積的最大值.

⑴解|/用=百，

/.a2=4c2,a2+b2=l,

又〃2=人2+02,.?.〃2=4,b2=3,

橢圓E的方程為#+比=1.

43

⑵①證明當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,

殍+￥=1,

由—3消去y得(3+442)%2+8左〃a+4加-12=0,

\y=kx+m,

、兒~、八/Xn,i,-8km4陽2—12

攻「(X[,yi)0(%2?玫)，則Xl+X2=1；,X\X2=-,

93+4F3+4F

又4(—2,0),由題知匕P?匕°=一^一?)；=—，

xi+2X2+24

則(xi+2)6+2)+4yly2=0,且xi,迫#—2,

則xiX2+2(xi+X2)+4+4(kx\+m)(kx2+⑼=(1+4k2)x\X2+(2+4k〃?)(xi+xi)+4/??2+4—

(1+4左)2(4加2—12)

+■(2+4km)———-+4w2+4=0,

3+4F3+4R

則m2—km—2k2=0,

/.(m—2kxm+k)=0,

??tn—2k或m——k.

當(dāng)加=2左時(shí)，直線尸0的方程為歹=東+2左=碓+2),

此時(shí)直線P0過定點(diǎn)(-2,0),顯然不符合題意；

當(dāng)加=一女時(shí)，直線尸。的方程為