新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修2習(xí)題第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.1

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.在長方體ABCDA1B1C1D1中,下列線段不是平面ABCD的垂線的是()A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1答案:D2.下面條件中,能判定直線l⊥α的是()A.l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B.l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直答案:D3.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.則能保證該直線與平面垂直的是()A.①③ B.①② C.②④ D.①④解析:三角形的兩邊,圓的兩條直徑一定是相交直線,而梯形的兩邊,正六邊形的兩條邊不一定相交,所以保證直線與平面垂直的是①③.答案:A4.在正方體ABCDA1B1C1D1的六個(gè)面中,與AA1垂直的面的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.6解析:僅有平面AC和平面A1C1與直線AA1垂直.答案:B5.已知直線a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,則b與α所成的角等于()A.40° B.50° C.90° D.150°解析:根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等,知b與α所成的角也是50°.答案:B6.已知線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍,則AB所在的直線與平面α所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.120°解析:如圖,AC⊥α,AB∩α=B,則BC是AB在平面α內(nèi)的射影.因?yàn)锽C=12AB,所以∠ABC=60°,它是AB所在的直線與平面α所成的角答案:C7.如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為正方形且邊長為3,BD1與底面所成角的正切值為23,則該四棱柱的側(cè)棱長等于.解析:由題意得tan∠DBD1=DD因?yàn)锽D=32,所以DD1=23BD=23×32=2答案:228.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD一定是.(形狀)

解析:由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.答案:菱形9.如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=2.求證:PD⊥平面ABCD.證明∵PD=DC=1,PC=2,∴PD2+DC2=PC2,∴PD⊥CD.∵PD⊥BC,BC∩CD=C,且BC?平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.10.有一根旗桿高12m,在它的頂端處系兩條長13m的繩子,拉緊繩子,并把它們的下端固定在地面上與旗桿底端不共線的兩點(diǎn)處,測得這兩點(diǎn)和旗桿底端相距5m,問能否由此斷定旗桿與地面垂直,為什么?解:能.如圖,設(shè)地面為平面α,PO表示旗桿,PA,PB表示兩條繩子,A,B,O三點(diǎn)不共線.∵PO=12m,PA=13m,OA=5m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可證OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA?α,OB?α,∴PO⊥α.故由此能斷定旗桿與地面垂直.能力提升1.如圖,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析:連接AC,因?yàn)锳BCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面,因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.答案:C2.若空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩條對(duì)角線AC,BD的位置關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交解析:取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO.因?yàn)锳O∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC異面,故選C.答案:C★3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.23 B.33 C.23解析:如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接D1O,由于BB1∥DD1,所以DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即為所求.設(shè)正方體的棱長為1,則DD1=1,DO=22,D1O=62,所以cos∠DD1O=DD1D1O=26答案:D4.如圖,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為.

解析:PA?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.答案:45.如圖,已知△ABC為等腰直角三角形,P為空間一點(diǎn),且AC=BC=52,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中點(diǎn)為M,連接PM,CM,則PM與平面ABC所成的角的大小為.

解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC為PM與平面ABC所成的角.因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形,M是AB的中點(diǎn),所以AB=(52)2+(5又PC=5,所以∠PMC=45°.答案:45°6.如圖,ABCDA1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是.(只填序號(hào))

①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④異面直線AD與CB1所成的角為60°.解析:由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,則BD∥平面CB1D1,所以①正確;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正確;可以證明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正確;由于AD∥BC,則∠BCB1=45°是異面直線AD與CB1所成的角,所以④錯(cuò)誤.答案:④7.如圖,已知四棱錐PABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn),連接AE,AC.求證:AE⊥PD.證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.因?yàn)锽C∥AD,所以AE⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA?平面PAD,AD?平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AE⊥PD.★8.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求證:AE⊥平面PCD.(1)解:在四棱錐PABCD中,因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,即∠APB為PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.