重難點專題47回歸分析與獨立性檢驗十三大題型匯總（解析版）

重難點專題47回歸分析與獨立性檢驗十三大題型匯總題型1線性回歸方程 1題型2非線性之冪函數(shù)方程 11題型3非線性之指數(shù)函數(shù)方程 20題型4非線性之對數(shù)函數(shù)方程 29題型5殘差相關(guān)模型 43題型6獨立性檢驗 52題型7回歸分析與二項分布 63題型8回歸分析與超幾何分布 72題型9回歸分析與獨立性檢驗 82題型10回歸分析與正態(tài)分布 92題型11獨立性檢驗與正態(tài)分布 103題型12獨立性檢驗與超幾何分布 114題型13獨立性檢驗與二項分布 123題型1線性回歸方程解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對實際問題進行分析.【例題1】（2023上·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程y=(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，2p-1，其中12<p參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxiy【答案】(1)y與x之間的線性相關(guān)程度非常強，y(2)①1750萬元；②1【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性回歸模型的擬合效果越好，即可以根據(jù)直接計算相關(guān)系數(shù)r的值來判斷y與x之間的線性相關(guān)程度的強弱；y關(guān)于x的線性回歸方程直接用參考公式求解.（2）（i）將x=2代入（1）中的線性回歸方程，即可求出E（ii）由X的所有可能取值為0，1，2，并分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出p的取值范圍.【詳解】（1））由題，x=3+4+5+64i=1i=1i=1所以相關(guān)系數(shù)r=因為y與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.b=66.5-4×4.5×3.586-4×故y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7（2）①將x=2代入y=0.7x故估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼總金額為1.75×1000=1750（萬元）.②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，P(P(P(所以E(所以E(1000由1000(3p-1)≤1400又12<p故p的取值范圍為12【變式1-1】1.（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權(quán).在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔(dān)當展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經(jīng)濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運動人數(shù)累計達到3.46億，實現(xiàn)了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產(chǎn)，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經(jīng)濟，以冰雪運動為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強弱；(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計值.附注：參考數(shù)據(jù)：t=16i=16ti=3.5，y=16i【答案】(1)0.55，線性相關(guān)性不強(2)y=0.26t+1.43【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，再進行判斷即可，（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計算y關(guān)于t的線性回歸方程，再將t=4代入回歸方程可求出2019—2020【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計算得i所以r=因為0<r<0.75（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為t'=3.4iib^ay關(guān)于t的線性回歸方程為y令t=4，則y因此，在沒有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計值為2.47億.【變式1-1】2.（2022·甘肅·統(tǒng)考二模）人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造的智能化教育生態(tài).為了解我國人工智能教育發(fā)展狀況，通過中國互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺得到我國2015年－2020年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計圖.如圖所示，若用x表示年份代碼(2015年用1表示，2016年用2表示，依次類推)，用y表示市場規(guī)模(單位：億元)，試回答：(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)關(guān)系的強弱(精確到小數(shù)點后2位)；(2)若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，試求y關(guān)于x的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模(精確到1億元).附：線性回歸方程y=bx相關(guān)系數(shù)r=參考數(shù)據(jù)：i=1【答案】(1)r≈0.96，正相關(guān)很強(2)y=382.86x-386.01【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)計算x,y,i(2)根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)結(jié)合公式即可求出線性回歸方程，將x＝8代入線性回歸方程即可預(yù)測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模.【詳解】（1）∵x=16i=16x∴相關(guān)系數(shù)r=∵相關(guān)系數(shù)r≈0.96>0.75，∴y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且正相關(guān)很強（2）設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為y=其中b=a=∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y=382.86把x=8代入得y≈2677(億元故據(jù)此預(yù)測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模將達到約2677億元.【變式1-1】3.（2021·全國·高三階段練習(xí)）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止．此時花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節(jié)目，某單位組織團建活動，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號x與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計結(jié)果如表：x12345y22334（Ⅰ）女性人數(shù)y與組號x（組號變量x依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：b（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，從10組中隨機抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有X組，求X的分布列與期望；（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為n分的概率為an，求a【答案】（Ⅰ）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（Ⅱ）分布列見解析，EX=910；（【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中表格結(jié)合參考公式即可求解；（Ⅱ）先寫出X的所有可能取值，再求出對應(yīng)的概率，即可求解；（Ⅲ）根據(jù)對立事件列出關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的定義和通項公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）由題可得x=y=2+2+3+3+4i=1則b∧a=∴y=0.5當0.5x+1.3≥5時，∴預(yù)測從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)．（Ⅱ）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，PXPXPXPX則X的分布列為X0123P72171∴EX（Ⅲ）在得分為n-1分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為n分或n+1分，記“合計得n分”為事件A，“合計得n+1分”為事件B，事件∵PA=a∴an∴an【變式1-1】4.（2021·江蘇南通·二模）網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬?微信或支付寶支付等方式在線匯款，根據(jù)2019年中國消費者信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方APP?品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物，某天貓專營店統(tǒng)計了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)yi和時間第xx12345y75849398100（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系？若可用，估計8月10日到該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算r時精確到參考數(shù)據(jù)：4340≈65.88.附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人，再從這7人中任取3人進行獎勵，求這3人取自不同天的概率.（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：方案一，購物金額每滿100元可減10元；方案二，一次性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為13，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠【答案】（1）可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系，8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109；（2）67；（3）選擇方案二更劃算【分析】（1）利用題中所給數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r的值，由此判斷變量y與x具有很強的線性相關(guān)性，再求出b和a，得線性回歸方程，令x=6（2）先利用分層抽樣得到第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4人，然后由古典概型概率計算公式即可求解；（3）分別求出方案一和方案二所需付款數(shù)，比較即可求解.【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得x=3，y=90，i，i=1所以r=所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系.而b=則a=所以y=6.4令x=6，可得y答：8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109.（2）因為75:100=3:4，所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4，從而3人取自不同天的種數(shù)為C3所以概率P=答：這3人取自不同天的概率為67（3）若選方案一，需付款1000-100=900元.若選方案二，設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600，800，900，1000，則P(P(P(P(所以E(因此選擇方案二更劃算.題型2非線性之冪函數(shù)方程冪函數(shù)型回歸模型的處理方法：冪函數(shù)型y=axn（n為常數(shù)，a，x，y均取正值），兩邊取常用對數(shù)1gy=1g（axn），即lgy=nlgx+lga，令y′=1gy，x′=1gx，原方程變?yōu)閥′=nx′+lga，然后按線型回歸模型求出n，lga.【例題2】（2021上·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀閹椭l(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位：gm3）與樣本對原點的距離x（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計理的值．（表中uixyuiiiii697.900.21600.1414.1226.13-(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷y=a+bx與y=(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：①建立y關(guān)于x的回歸方程；②樣本對原點的距離x=20附：對于一組數(shù)據(jù)t1,s1,t2,s【答案】(1)y=(2)①y=100-10x【分析】（1）分別求出y=a+bx與y（2）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式即可求得y關(guān)于x的回歸方程，根據(jù)回歸方程代入x=20，即可求出金屬含量的預(yù)報值【詳解】（1）由題y=a+y=c+因為r1r2所以y=c+dx更適宜作為平均金屬含量（2）①由（1）y=c+dx則y=所以d=i=1則y=100-10即y=100-②當x=20金屬含量的預(yù)報值y【變式2-1】1.（2023上·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)t=iti17500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(1)賽前小明進行了一段時間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用y=a+bx作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；((2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為23，且各局之間相互獨立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X【答案】(1)y=(2)分布列見解析，均值107【分析】（1）由y=a+bx,ti=（2）根據(jù)隨機變量X的可能取值逐一分析，當X=3時，小明連勝3局或小紅連勝3局；當X=4時，小明前3局勝2局最后一局勝或小紅前3局勝2局最后一局勝；當X=5時，小明前4局勝2局最后一局勝或小紅前4局勝2局最后一局勝；分別求出每個取值的概率.最后代入期望公式計算即可.【詳解】（1）解:因為y=a+因為y=所以b=所以a=所以y=所以所求回歸方程為y=（2）解：隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，P(P(P(所以隨機變量X的分布列為X345P1108E(【變式2-1】2.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.iiii29.2121634.4

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇y=cxd作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對數(shù)，得lny=lnc+(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布N～0.48,0.032，那這種抗體藥物的有效率附：①對于一組數(shù)據(jù)ui,vii=1,2,?,10，其回歸直線②若隨機變量Z~Nμ,σ2，則有③取e≈2.7【答案】(1)y=e(2)0.0228【分析】（1）用最小二乘法求解回歸直線方程，再求非線性回歸方程即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解給定區(qū)間的概率即可.【詳解】（1）將y=cx設(shè)z=lny，t由表中數(shù)據(jù)可知，z=110所以d^=i所以z=1+0.5t，即故y關(guān)于x的回歸方程為y=當x=25mg時，（2）因為z服從正態(tài)分布N0.48,0.032，其中μ所以Pμ所以Pz故這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為0.0228.【變式2-1】3.（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在正常生產(chǎn)條件下，根據(jù)經(jīng)驗，可以認為化肥的有效利用率近似服從正態(tài)分布N(0.54,0.02(1)假設(shè)生產(chǎn)條件正常，記X表示化肥的有效利用率，求P((2)課題組為研究每畝化肥施用量與某農(nóng)作物畝產(chǎn)量之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.其中每畝化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）

參考數(shù)據(jù)：iiiiiiii65091.552.51478.630.5151546.5ti=lnxi，zi=ln（i）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測每畝化肥施用量為27公斤時，糧食畝產(chǎn)量y的值.(附：①對于一組數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1，2，3，…，②若隨機變量X～N(μ,【答案】(1)0.15865(2)（i）y=cxd適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸方程；（ii）【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，結(jié)合P(（2）（i）由散點圖可知y與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，即可得到答案；（ii）由y=cxd，得到lny=dln【詳解】（1）解：由X～可得P(（2）解：（i）由散點圖可知y與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，所以y=cxd適宜作為糧食畝產(chǎn)量（ii）因為y=cxd，所以lny由表可得t=1.5,z=1.5所以lnc=z-d當x=27時，y【變式2-1】4.（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論技術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長期呵護著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻.某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系y=10(1)估計該味中藥的最佳用量與功效；(2)對一批含有這昧中藥的合成藥物進行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標準差為2，估計這批合成藥的藥物功效y的平均值.【答案】(1)該藥物使用量為5克時可達最大功效25.(2)20【分析】（1）根據(jù)用量x與功效y之間具有關(guān)系y=10（2）根據(jù)題意求得1ni=1nxi【詳解】（1）解：由題意，某味中藥的藥用量x與藥物功效y之間具有關(guān)系y=10可得y=10x-x2即該藥物使用量為5克時可達最大功效25.（2）解：由題意，得x=1ni=1則y=1ni=1這批合成藥的藥物功效平均值為20.題型3非線性之指數(shù)函數(shù)方程1.直接設(shè)指數(shù)求解；2.取對數(shù)化簡，再設(shè)對數(shù)求解【例題3】（2023·全國·模擬預(yù)測）一座城市的夜間經(jīng)濟不僅有助于拉動本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時間，帶動當?shù)亟?jīng)濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼x123456中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模y/20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型y=a?bx擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x(2)某傳媒公司預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模將達到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模，若兩個預(yù)測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：viee1.163.36673.28217.251.162.83其中vi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【答案】(1)y=(2)是理想的【分析】（1）通過對所給的的函數(shù)模型取對數(shù)，轉(zhuǎn)換為求回歸直線方程即可，再結(jié)合題中所給的直線方程與數(shù)據(jù)即可得解.（2）利用（1）中求得的函數(shù)模型進行預(yù)測，結(jié)合回歸方程理想的定義判斷即可.【詳解】（1）將y=a?所以v=lna而i=1所以b=i=1lna所以v=2.848+0.148x，即所以y=（2）2023年對應(yīng)的年份代碼為7，當x=7時，y=17.25×1.16所以（1）中求得的回歸方程y=17.25×【變式3-1】1.（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對年盈利額y（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額xi和年盈利額yi(i=1,2,?,10)數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：y=α+βx2；y=eλx+xyuviiiiii(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：相關(guān)系數(shù)r回歸直線y=bx+a【答案】(1)模型y=(2)y【分析】（1）計算出兩個模型的相關(guān)系數(shù)，判斷即可；（2）根據(jù)最小二乘法計算即可.【詳解】（1）設(shè)模型y=α+βx2的相關(guān)系數(shù)為對于模型y=α+βx所以r1對于模型y=eλx+t，有l(wèi)n所以r2因為r1<r2（2）因為λ=i=1所以y關(guān)于x的回歸方程為y=【點睛】本題考查回歸方程的求解，其中第二問中，需要對y=eλx+t取對數(shù)得lny=λx+t【變式3-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當然也影響著我們的旅游習(xí)慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉(xiāng)村抓住機遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文化，開展鄉(xiāng)村旅游．通過文旅度假項目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng)．該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價位的旅游套票，相應(yīng)的價格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號ABCDEF價格x/元394958677786經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點繪圖，發(fā)現(xiàn)價格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=axba>0,b>0，即lny=blnx附：①可能用到的數(shù)據(jù)：i=16viwi=75.3②對于一組數(shù)據(jù)v1,w2，v2,w2，…，(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程．(2)按照相關(guān)部門的指標測定，當套票價格x∈49,81時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為“熱門套票”．現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機變量【答案】(1)y=(2)分布列見解析，EX【分析】（1）將回歸方程線性化處理，應(yīng)用最小二乘法求線性方程，再由已知關(guān)系求回歸方程；（2）由題意確定X的可能取值，并求出對應(yīng)概率，進而寫出分布列，即可求期望.【詳解】（1）散點vi設(shè)回歸直線方程為w=bv+a則b=i=1所以回歸直線方程為w=因為vi=lnxi，wi=lny綜上，y關(guān)于x的回歸方程為y=（2）由題意知B，C，D，E為“熱門套票”，則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，X的可能取值為1，2，3，且PX=1=C4X的分布列如下．X123P131EX【變式3-1】3.（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）為傳承和發(fā)揚淄博陶瓷，某陶瓷公司計劃加大研發(fā)力度．為確定下一年度投資計劃，需了解年研發(fā)資金xi（億元）與年銷售額yi（億元）的關(guān)系．該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y=α+βx2，②y=eλx現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1，2，?，12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令uxyiiuv20667702004604.20iiii3125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（計算過程中保留到0.001，最后結(jié)果精確到0.01）；(3)為進一步了解人們對新款式瓷器喜愛程度（分為“比較喜歡”和“不太喜歡”）是否跟年齡（分為“小于30歲”和“不小于30歲”）有關(guān)，公司從該地區(qū)隨機抽取600人進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：比較喜歡不太喜歡合計年齡小于30歲200100300年齡不小于30歲150150300合計350250600根據(jù)小概率α=0.001附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-②χ2=nα0.150.10.050.0250.010.001x2.0722.7063.8415.0246.63510.828③參考數(shù)據(jù)：308=4×77．【答案】(1)模型y=(2)y(3)該地區(qū)對新款式瓷器喜愛程度與年齡有關(guān)【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)求出兩個系數(shù)，比較大小可得；（2）先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，從而得出y關(guān)于x的回歸方程；（3）計算出χ2的值即可得到判斷【詳解】（1）r1=ir2=i則r1<r（2）先建立v關(guān)于x的線性回歸方程.由y=eλx+t由于λ=t所以v關(guān)于x的線性回歸方程為v=0.02x所以lny=0.02（3）零假設(shè)為H0χ2根據(jù)小概率α=0.001獨立性檢驗，可推斷H即該地區(qū)對新款式瓷器喜愛程度與年齡有關(guān)【變式3-1】4.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）當前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：年份201720182019202020212022編號x123456企業(yè)總數(shù)量y（單位：百個）5078124121137352(1)若用模型y=aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出(2)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為12，甲勝丙的概率為13，乙勝丙的概率為35，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“參考數(shù)據(jù)：i=16參考公式：對于一組數(shù)據(jù)xi,yi【答案】(1)y(2)3【分析】（1）令u=lny（2）由根據(jù)相互獨立事件概率的乘法公式計算即可得到答案.【詳解】（1）令u=x=則b=lna=4.75-0.36×3.5=3.49，所以所以y=（2）設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件A，則PA所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為310題型4非線性之對數(shù)函數(shù)方程1.直接設(shè)對數(shù)求解；2.對指數(shù)型取對數(shù)【例題4】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個服務(wù)環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)xi與該機場飛往A地航班放行準點率yi（ixytiiii2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中ti=(1)根據(jù)散點圖判斷，y=bx+a與y=clnx-2012+d(2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準點率的估計值分別為80%和75（i）現(xiàn)從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30，ln11≈2.40，【答案】(1)y=clnx-2012(2)（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的計算公式，選擇合適的模型計算即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式，即可根據(jù)概率判斷可能性最大的情況.【詳解】（1）由散點圖判斷y=clnx-2012+d令t=lnx-2012，先建立由于c=d=該機場飛往A地航班放行準點率y關(guān)于t的線性回歸方程為y=4因此y關(guān)于年份數(shù)x的回歸方程為y所以當x=2023時，該機場飛往A地航班放行準點率yy=4所以2023年該機場飛往A地航班放行準點率y的預(yù)報值為84%（2）設(shè)A1=“該航班飛往A地”，A2=“該航班飛往B地”，A3=“該航班飛往其他地區(qū)”則PA1=0.2，PPCA1=0.84，（i）由全概率公式得，P=0.84×0.2+0.8×0.2+0.75×0.6=0.778，所以該航班準點放行的概率為0.778.（ii）PAPAPA因為0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8，所以可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大.【變式4-1】1.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀以來第18個指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號文件.文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè)，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(1)利用散點圖判斷，y=a+bx和y(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如表：xyωiiii9.430.323666.6439.266其中令ωi=lnxi，ω=110i=1(3)規(guī)定：觀看人次大于等于120萬人次的主播為優(yōu)秀主播，從這10名主播中隨機抽取3名，記其中優(yōu)秀主播的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)和公式：ln2≈0.69，附：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，…，【答案】(1)y=(2)y=10.3+10lnx(3)分布列見解析，6【分析】（1）觀察散點圖，根據(jù)散點的分布規(guī)律判斷應(yīng)采用的模型；（2）令ω=lnx，先求y與ω的線性回歸方程，由此可得y（3）確定隨機變量的X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得X的分布列，利用均值公式求其期望.【詳解】（1）由散點圖可知，散點分布在一條對數(shù)型曲線附近，所以選擇回歸方程y=（2）令ω=lnx因為i=110ω所以d=又y=30.3，ω所以c=所以y與ω的線性回歸方程為y=10.3+10故y關(guān)于x的回歸方程為y=10.3+10令x=28，代入回歸方程可得y所以預(yù)測觀看人次為280萬人時的銷售量約為43600件.（3）由散點圖可知，這10名主播中，優(yōu)秀主播的個數(shù)有4個，所以X的可能取值為0，1，2，3，所以PX=0=PX=2=所以X的分布列為：X0123P1131數(shù)學(xué)期望EX【變式4-1】2.（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某劇場的座位數(shù)量是固定的，管理人員統(tǒng)計了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價xi（單位：元）和上座率yi（上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值）的數(shù)據(jù)，其中(1)由散點圖判斷y=bx+a與y=(2)根據(jù)（1）所求的回歸方程，預(yù)測票價為多少時，劇場的門票收入最多．參考數(shù)據(jù)：x=240,y=0.5，i=15xi2=365000，i=15xiyi參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2【答案】(1)y=clnx+d能更好地對(2)預(yù)測票價為220元時，劇場的門票收入最多．【分析】（1）由散點圖知，y=clnx+d能更好地對y與x的關(guān)系進行擬合，設(shè)z=lnx，由公式求出c，再將y,z（2）設(shè)函數(shù)fx【詳解】（1）y=clnx+d設(shè)z=lnx，先求y由已知得z=所以c=d=所以y關(guān)于z的線性回歸方程為y=-0.5所以y關(guān)于x的回歸方程為y=-0.5（2）設(shè)該劇場的總座位數(shù)為M，由題意得門票收入為M-設(shè)函數(shù)fx=-0.5x當f'(x)<0，即x>所以f(x)在所以預(yù)測票價為220元時，劇場的門票收入最多．【變式4-1】3.（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）秋天的第一杯奶茶是一個網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達州一位當?shù)孛窬?，民警用“秋天的第一杯奶茶”順利救下一名女孩，由此而火爆全網(wǎng).后來很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼x1234567杯數(shù)y4152226293132(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點圖，并根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預(yù)測要到哪一天售出的奶茶才能超過35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機變量X的分布列.參考公式和數(shù)據(jù)：其中u回歸直線方程y=byuiiie22.71.2759235.113.28.2【答案】(1)圖見解析，y=c+dln(2)y?=5.7+14.2lnx，到第(3)分布列見解析.【分析】(1)根據(jù)散點圖趨勢即可判斷；(2)利用非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的方法求解；(3)根據(jù)超幾何分布求分布列.【詳解】（1）根據(jù)散點圖，知y=c+dln（2）令u=lnx由已知數(shù)據(jù)得d=c=所以y=5.7+14.2故y關(guān)于x的回歸方程為y?進而由題意知，令5.7+14.2lnx>35，整理得ln故當x=9時，即到第9天才能超過35（3）由題意知，這7天中銷售超過25杯的有4天，則隨機變量X的可能取值為0,1,2,3PX=0=PX=2=則隨機變量X的分布列為X0123P112184【變式4-1】4.（2022上·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)校考期末）某創(chuàng)業(yè)者計劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費標準互不相同，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，x為收費標準（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以頻率作為各自的“入住率”，收費標準x與“入住率”y的散點圖如圖．x100150200300450t9065453020(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機抽取兩家深入調(diào)查，記ξ為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個數(shù)，求ξ的概率分布列；(2)令z=lnx，由散點圖判斷y=bx+a與(3)根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計收費標準為多少時，100天銷售額L最大？（100天銷售額L＝100×入住率×收費標準x）參考數(shù)據(jù)：b=i=1nxiyi-nx?yi=1nxi2-n【答案】(1)ξ012P331(2)y(3)150元/天【分析】（1）根據(jù)圖象得出ξ的所有可能情況，利用超幾何分布求得不同ξ下的概率，進而列出分布列.（2）由散點圖判斷出更適模型的回歸方程，分別求出b和a，求出回歸方程.（3）寫出100天銷售額L的表達式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得最大值，即可得出收費標準.【詳解】（1）由題意，抽取兩家深入調(diào)查，ξ可能為0，1，2.Pξ=0=C3∴ξ的分布列為：ξ012P331（2）由散點圖可知,散點并非均勻分布在一條直線的兩側(cè)，而是大致分布在一條曲線的兩側(cè)，不符合線性回歸模型要求，∴y=yb∵z∴a∴回歸方程為：y（3）由題意得，Lx在LxL當L'x=0當L'x<0當L'x>0∴函數(shù)在x=e∴收費標準為150元/天時，100天銷售額L最大.【變式4-1】5.（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中醫(yī)藥在抗擊新冠肺炎疫情中，發(fā)揮了重要作用.中藥可以起到改善平常上呼吸道的癥狀，同時可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以達到治療新型冠狀病毒肺炎的作用.某地種植藥材收到了很好的經(jīng)濟效益．根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的藥材的箱數(shù)x（單位：十箱）與成本y（單位：千元）的關(guān)系如下：x34679y6.577.588.2y與x可用回歸方程y=blgx+(1)若農(nóng)戶賣出的該藥材的價格為500元/箱，試預(yù)測該藥材10箱的利潤是多少元；（利潤=售價-成本）(2)據(jù)統(tǒng)計，4月份的連續(xù)20天中農(nóng)戶每天為甲地可配送的藥材的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這20天的情況來估計相應(yīng)的概率.(i)通過頻率分布直方圖計算農(nóng)戶每天平均可配送的藥材的箱數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）；(ii)一個運輸戶擬購置3輛小貨車專門運輸農(nóng)戶為甲地配送的該藥材，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該藥材，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利400元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．試計算此項業(yè)務(wù)每天的利潤平均值的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)：設(shè)t=tyii0.737.440.530.15參考公式：對于一組數(shù)據(jù)ui,vi乘估計分別為β=i=1【答案】(1)140(2)125；900【分析】(1)根據(jù)公式可求得b=3.53,a=4.86,從而得到y(tǒng)=3.53lgx(2)(i)利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的計算公式可求；(ii)根據(jù)頻率分布直方圖，可求該農(nóng)戶每天可配送的該水果的箱數(shù)的概率分布表，進而求得獲利的分布列，最后根據(jù)均值的計算公式求得此項業(yè)務(wù)每天的利潤平均值.【詳解】（1）∵=∴∵∴∴所以a所以y又t=lg所以10箱藥材，x=1時，y=3.53lg1+4.86=4.86即該水果10箱的成本為4860元，故該水果10箱的利潤為5000-4860=140(元).（2）(i)60×1所以農(nóng)戶每天平均可配送125箱藥材.(ii)根據(jù)頻率分布直方圖，可知該農(nóng)戶每天可配送的該水果的箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)40,8080,120120,160160,200P1111該運輸戶購3輛車時每天的利潤為Y元，則Y的可能取值為1200，600，0，其分布列為：Y12006000P511∴E(Y題型5殘差相關(guān)模型殘差計算思路如下∶先求出回歸方程y=bx+a（b，a直接套公式即可），然后把表格中每一個x值通過方程算出對應(yīng)的每一個y值，最后與表格中的y值對應(yīng)相減即可。數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異yi-yi是隨機誤差的效應(yīng)，稱ei=yi-殘差計算公式∶實際觀察值與估計值（擬合值）之間的差。殘差平方和：i【例題5】（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）云南省統(tǒng)計局發(fā)布《全省旅游業(yè)發(fā)展情況（2015-2022年）》報告，其中2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y（單位：億人次）的數(shù)據(jù)如下表：年份20152016201720182019202020212022年份代號x12345678游客總?cè)藬?shù)y3.34.35.76.98.15.36.58.4為了預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)，根據(jù)2015年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型一，得到回歸方程l1：y=0.556x+3.56，但由于受到2020年疫情影響，估計預(yù)測不準確，若用2015年至2019(1)根據(jù)l1和l2預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測數(shù)據(jù)精確到(2)為了檢驗兩種模型的預(yù)測效果，對兩種模型作殘差分析得到：模型一：總偏差平方和i=18y模型二：總偏差平方和i=15y用R2來比較模型一與模型二的擬合效果（R2精確到(3)根據(jù)2020年至2022年游客總?cè)藬?shù)y的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型三，求回歸方程l3，并根據(jù)l3預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)（預(yù)測數(shù)據(jù)精確到0.1參考公式：R2=1-i=1nyi【答案】(1)8.6億人次，13.0億人次(2)模型二的擬合效果更好(3)y=1.6x+3.6【分析】（1）代入回歸方程求解，（2）由參考公式計算R2（3）由參考公式求解回歸方程．【詳解】（1）根據(jù)l1預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)為y根據(jù)l2預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)為y=1.22×9+2=12.98≈13.0（2）模型一：R2模型二：R2因為0.998>0.591，所以模型二的擬合效果更好.（3）設(shè)2020年至2022年的年份代號x分別為1，2，3，則x=2，y=6.7，1-22+2-22+所以l3：y=1.6x+3.6，所以當所以根據(jù)l3預(yù)測2023年云南省游客總?cè)藬?shù)為10（億人次）【變式5-1】1.（2023下·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投人計劃，收集了近6個月廣告投入量x（單位：萬元）和收益y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：月份123456廣告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y=bx+a

xyi=1i=17301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型擬合？并說明理由；(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=18時，（1附：對于一組數(shù)據(jù)x1,y1【答案】(1)選擇模型①，理由見解析(2)（i）y=3x+8.04；（ii【分析】（1）根據(jù)殘差圖的分布比較可得結(jié)論；（2）（i）求出剔除異常數(shù)據(jù)后的平均數(shù)，即可求得b和a，即得回歸方程；（ii）將x=18代入回歸直線方程，即可得答案【詳解】（1）選擇模型①，因為模型①的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報精度高．（2）（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即組號為3的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x'i=1i=1∴b∴所選模型的回歸方程為y=3（ⅱ）若廣告投入量x=18時，該模型收益的預(yù)報值是3×18+8.04=62.04【變式5-1】2.（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）據(jù)統(tǒng)計，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位：億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計量的值.iiiii379.6391247.624568.9m(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x(2)根據(jù)統(tǒng)計量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01(3)根據(jù)（2）的經(jīng)驗回歸方程，計算第1個樣本點32.2,25.0對應(yīng)的殘差（精確到0.01）；并判斷若剔除這個樣本點再進行回歸分析，b的值將變大還是變?。浚ú槐卣f明理由，直接判斷即可）.附：樣本xi,y2.297≈1.516，b=i【答案】(1)線性相關(guān)程度很強(2)y(3)-5.81【分析】（1）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95（2）由br=i=1nyi-y（3）第一個樣本點32.2,25.0的殘差為：25.0-1.44×32.2-15.56，計算即可；由于該點在回歸直線的左下方，故將其剔除后，b的值將變小【詳解】（1）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，可以推斷線性相關(guān)程度很強（2）由r=i=1可得br=i所以b=又因為x=37.96,所以a=所以y與x的線性回歸方程y=1.44（3）第一個樣本點32.2,25.0的殘差為：25.0-1.44×32.2-15.56由于該點在回歸直線的左下方，故將其剔除后，b的值將變小.【變式5-1】3.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┲袊伯a(chǎn)黨第二十次全國代表大會上的報告中提到，新時代十年我國經(jīng)濟實力實現(xiàn)歷史性躍升，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元，我國經(jīng)濟總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就2012-2016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計如下：年份20122013201420152016年份編號12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6(1)求出回歸方程，并計算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；(2)隨著我國打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅戰(zhàn)，該市2017-2022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長，現(xiàn)對這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗回歸模型y=1.017x+1.200、y=3.816x-1.645、y=0.107x2+2.365，它們的R(3)若2012-2022該市的人口數(shù)（單位：百萬）與年份編號的回歸模型為y=0.2x+1.2，結(jié)合（2參考公式：b=i=1【答案】(1)y=0.71x(2)選用y=0.107x2(3)逐年遞增【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線方程即可；（2）由相關(guān)指數(shù)的大小，結(jié)合其的實際意義確定較好模型，進而估計2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；（3）由題設(shè)可得該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值φ=0.535(x+6)+31.085【詳解】（1）由數(shù)據(jù)，x=1+2+3+4+55而i=15x所以b=67.1-5×3×455-5×綜上，回歸方程為y=0.71當x=5時，y=0.71×5+1.87=5.42，故2016年地區(qū)生產(chǎn)總值殘差為（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大擬合越好，由于0.985>0.976>0.880，故y=0.107因2023年對應(yīng)x=12，則y=0.107×（3）由（2）及題設(shè)知：該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值φ=令t=x+6≥18，且y所以y2而t2-t1>0,所以y=0.535t+31.085t在[18,+所以該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值逐年遞增.【變式5-1】4.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模）2021年，黨中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)的意見》，也就是我們現(xiàn)在所稱的“雙減”政策.某地為了檢測雙減的落實情況，從某高中選了6名同學(xué)，檢測課外學(xué)習(xí)時長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.學(xué)生序號123456學(xué)習(xí)時長/分220180210220200230(1)若從被抽中的6名同學(xué)中隨機抽出2名，則抽出的2名同學(xué)課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘的概率；(2)下表是某班統(tǒng)計了本班同學(xué)2022年1-7月份的人均月課外勞動時間（單位：小時），并建立了人均月課外勞動時間y關(guān)于月份x的線性回歸方程y=bx+4，月份x1234567人均月勞動時間y89m12n1922由于某些原因?qū)е虏糠謹?shù)據(jù)丟失，但已知i=1（i）求m，n的值；（ii）求該班6月份人均月勞動時間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測值之差）.附：y=bx+a【答案】(1)2(2)（i）m=10，n=16；（ii【分析】（1）根據(jù)古典概型運算公式，結(jié)合列舉法進行求解即可；（2）（i）根據(jù)題中所給的公式進行求解即可；（ii）利用代入法，結(jié)合殘差的定義進行求解即可.【詳解】（1）用x,y表示從被抽中的6名同學(xué)中隨機抽出2名同學(xué)的序號分別為x和y，則基本事件有1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共將“抽出的2名同學(xué)的課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘”記為事件，由已知，序號為1，3，4，6的同學(xué)課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘，∴事件A中基本事件有1,3，1,4，1,6，3,4，3,6，4,6，共6個，∴PA（2）（i）由表知x=y=∴i=1∴b=i=17∵回歸直線恒過樣本點的中心x,y，∴70+m+由①②，得b=177，∵i=17xiy由③④，得m=10，n（ii）∵線性回歸方程為y=∴當x=6時，預(yù)測值y=17題型6獨立性檢驗獨立性檢驗的步驟（1）根據(jù)實際問題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k.（2）利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計算隨機變量χ2.【例題6】（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男?女同學(xué)各50名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計男生20女生15合計100附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)α=0.005的獨立性檢驗，能否有99.5(2)社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點射門.據(jù)統(tǒng)計，這兩名男生進球的概率均為23，這名女生進球的概率為12，每人射門一次，假設(shè)各人進球相互獨立，求3人進球總次數(shù)X【答案】(1)有99.5%(2)分布列見解析，E【分析】（1）根據(jù)男女生各50名及表中數(shù)據(jù)即可填寫2×2列聯(lián)表，然后根據(jù)計算χ2=（2）根據(jù)題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3，列出分布列，計算出期望從而求解.【詳解】（1）依題意，2×2列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計男生302050女生153550合計4555100零假設(shè)H0χ2的觀測值為χ9.091>7.879=x0.005，根據(jù)小概率值α=0.005所以有99.5%的把握認為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)（2）依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3，PXP所以X的分布列為：X0123P1542數(shù)學(xué)期EX【變式6-1】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）中秋節(jié)起源于我國，是我國的傳統(tǒng)節(jié)日之一，吃月餅是中秋節(jié)的重要習(xí)俗．某超市為了解月餅銷售情況，隨機調(diào)研了某日來店購買月餅的200位顧客，并將調(diào)研結(jié)果整理如下：年齡購買袋裝月餅購買禮盒月餅50歲及以上8020不超過50歲6040(1)根據(jù)已知條件，試判斷是否有99%(2)假設(shè)A表示事件“在該超市購買月餅禮盒贈送玉兔望月掛件”，B表示事件“顧客在該超市購買月餅禮盒”，P(A)>0附：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】(1)有(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，計算出K2后，與6.635比較大小即可判斷是否有99（2）根據(jù)條件概率計算公式，結(jié)合事件間的基本關(guān)系證明即可.【詳解】（1）補全2×2列聯(lián)表如下：年齡購買袋裝月餅購買禮盒月餅總計50歲及以上8020100不超過50歲6040100總計14060200K2∴有99%（2）由題知，PB∴P∴P∴P∴P∴P∴P即P【變式6-1】2.（2023·全國·模擬預(yù)測）某平臺為了解當代大學(xué)生對“網(wǎng)絡(luò)公序良俗”的認知情況，設(shè)計了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可．為了調(diào)查當代大學(xué)生對④、⑥、⑧、⑩四道選答題的答題情況，從同濟大學(xué)在④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)20303020(1)從這100名學(xué)生中任選3名，求他們選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量之和為5的概率；(2)從這100名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望；(3)學(xué)校還調(diào)查了這100位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：（規(guī)定同時選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達人）性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性8女性25總計100請完成上述2×2列聯(lián)表，并計算回答是否有95%的把握認為“公序良俗”參考公式：χ2=n附表：α0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.828【答案】(1)48(2)38(3)列聯(lián)表見解析，有【分析】（1）根據(jù)3人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量之和為5的情況有(1,1,3),(1,2,2)，結(jié)合組合知識進行求解；（2）求出X的可能取值和相應(yīng)的概率，求出分布列，數(shù)學(xué)期望；（3）完善列聯(lián)表，計算出卡方，與3.841比較后得到結(jié)論.【詳解】（1）記“所選取的3名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量之和為5”為事件A，則3人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量之和為5的情況有(1,1,3),(1,2,2)，故P(（2）由題意可知X的可能取值為0，1，2，3．當X=0時，2人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量的情況為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故P(當X=1時，2人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量的情況為(1,2)，(2,3)，(3,4)故P(當X=2時，2人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量的情況為(1,3)，(2,4)故P(當X=3時，2人選答④、⑥、⑧、⑩題目數(shù)量的情況為(1,4)故P(則X的分布列為X0123P251488數(shù)學(xué)期望E(（3）由題意可得列聯(lián)表為性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性85563女性122537總計2080100χ2故有95%的把握認為“公序良俗”【變式6-1】3.（2023下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識競賽，其中男生250人．為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識競賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，分數(shù)分布在450~950分之間．將分數(shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值，并估計該校學(xué)生分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生女生合計參考公式：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)a=0.0035，670(2)列聯(lián)表見解析，有【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于“1”可以求a的值；根據(jù)平均數(shù)的定義求平均數(shù)；（2）根據(jù)獨立性檢驗的方法求解.【詳解】（1）100×(0.0015+a+0.0025+0.0015+0.0010)=1，解得平均數(shù)估計值為500×0.0015×100+600×0.0035×100+700×0.0025×100+800×0.0015×100+900×0.001×100=670（分）．（2）由題意可知，樣本中男生有100×2501000=25屬于“高分選手”的有(0.1+0.15)?×100=25人，其中男生則高分中女生為25-10=15人，不屬于“高分選手”的男生為25-10=15人，不屬于“高分選手”的女生為75-15=60人，因此，得到2×2列聯(lián)表如下：屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生101525女生156075合計2575100因此，K2的觀測值k所以有95%的把握認為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)．【變式6-1】4.（2023上·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）體育強則中國強，國運興則體育興，體育強國是新時期我國體育工作改革和發(fā)展的目標與任務(wù)，銀川某學(xué)校體育老師決定檢驗高三學(xué)生的1km水平，隨機抽取了100位學(xué)生進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按60,70，70,80，80,90，90,(1)求a的值，并估計評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本評價指標的平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），若平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值小于1，則認為學(xué)生1km水平有顯著穩(wěn)定性；否則不認為有顯著穩(wěn)定性，請依數(shù)據(jù)給出答案；(3)在選取的100位學(xué)員中，其中男生人數(shù)與女生人數(shù)相同，若規(guī)定評價指標不低于80為優(yōu)秀，低于80為良好，經(jīng)統(tǒng)計男生中有40個學(xué)員評價指標為優(yōu)秀，請列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“評價指標是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”附：K2=nP0.100.050.010k2.7063.8416.635【答案】(1)a=0.042，中位數(shù)為(2)平均數(shù)為81.6，學(xué)生1km水平有顯著穩(wěn)定性；(3)列聯(lián)表見解析，有99%的把握認為“評價指標是否優(yōu)秀與性別有關(guān)【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，求解a，再代入中位數(shù)公式，即可求解中位數(shù)；（2）首先求解平均數(shù)，再結(jié)合中位數(shù)和題意，確定是否具有穩(wěn)定性；（3）首先根據(jù)頻率分布直方圖計算優(yōu)秀和良好的人數(shù)，再根據(jù)題意，列出列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算K2，并與臨界值比較，即可作出結(jié)論【詳解】（1）由頻率和為1，可得0.012+0.028+a+0.018×10=1設(shè)中位數(shù)為x，0.012×10+0.028×10+x-80所以中位數(shù)為82.4；（2）由頻率分布直方圖得到平均數(shù)為，65×0.012+75×0.028+85×0.042+95×0.018×10=81.6平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值為82.4-81.6=0.8<1所以學(xué)生1km水平有顯著穩(wěn)定性；（3）由頻率分布直方圖可知，優(yōu)秀的頻率為0.042+0.018×10=0.6所以100名學(xué)生有100×0.6=60人為優(yōu)秀，40人為良好，如圖，列出2×2列聯(lián)表男生女生合計優(yōu)秀402060良好103040合計5050100K2所以有99%的把握認為“評價指標是否優(yōu)秀與性別有關(guān)題型7回歸分析與二項分布【例題7】（2023下·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）為促進全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足人民群眾的健身和健康需求，國家相關(guān)部門制定發(fā)布了《全民健身計劃（2021—2025年）》.相關(guān)機構(gòu)統(tǒng)計了我國2018年至2022年（2018年的年份序號為1，依此類推）健身人群數(shù)量（即有健身習(xí)慣的人數(shù)，單位：百萬），所得數(shù)據(jù)如圖所示：

(1)若每年健身人群中放棄健身習(xí)慣的人數(shù)忽略不計，從2022年的健身人群中隨機抽取5人，設(shè)其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人數(shù)為X，求E((2)由圖可知，我國健身人群數(shù)量與年份序號線性相關(guān)，請用相關(guān)系數(shù)加以說明.附：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi-xyi-y【答案】(1)290(2)相關(guān)系數(shù)約為1，說明見解析【分析】（1）求出從2022年的健身人群中隨機抽取1人，其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人被抽到的概率，確定X～（2）計算相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義即可說明結(jié)論.【詳解】（1）由圖中數(shù)據(jù)可知從2018年開始就有健身習(xí)慣的人數(shù)有232百萬，2022年的健身人數(shù)為324百萬，故從2022年的健身人群中隨機抽取1人，其中從2018年開始就有健身習(xí)慣的人被抽到的概率為232324則X～B(5,（2）由題意知x=3r==229故我國健身人群數(shù)量與年份序號正線性相關(guān)且相關(guān)性很強.【變式7-1】1.（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型的無人運輸機操作成功的概率分別為23和1(1)該公司分別收集了甲型無人運輸機在5個不同的地點測試的兩項指標數(shù)xi，yi（地點1地點2地點3地點4地點5甲型無人運輸機指標數(shù)x24568甲型無人運輸機指標數(shù)y34445試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若r>0.75(2)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作．方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．附：參考公式及數(shù)據(jù)：r=i=1【答案】(1)r≈0.95(2)方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式計算求解，判斷即可．（2）分析X，Y的取值，對于方案一，利用相互獨立事件的概率逐個求概率，再求期望；對于方案二，利用二項分布的概念求期望，比較即可．【詳解】（1）x=2+4+5+6+85i=15xi相關(guān)系數(shù)r=因為r>0.75，所以y與x（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為X，Y，則X，Y的所有可能取值均為0，1，2，方案一：PXPXPX所以EX方案二：選擇其中一種操作設(shè)備后，進行2次獨立重復(fù)試驗，所以EY所以EX【變式7-1】2.（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）純電動汽車、混合電動汽車及燃料電池電動汽車均為新能源汽車，近幾年某地區(qū)新能源汽車保有量呈快速增長的態(tài)勢，下表為2018~2022年該地區(qū)新能源汽車及純電動汽車的保有量（單位：萬輛），其中2018~2022年對應(yīng)的年份編號依次為1~5：年份編號x12345該地區(qū)新能源汽車保有量y1.52.63.44.97.8該地區(qū)純電動汽車保有量z1.32.12.84.06.4(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a?bx擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出2018~2022年，該地區(qū)新能源汽車保有量中純電動汽車保有量占比均超過80%，說明純電動汽車一直是新能源汽車的主流產(chǎn)品．若甲、乙、丙3人從2018~2022年中各隨機選取1個年份（可以重復(fù)選取），記取到滿足y-z>0.8的年份的個數(shù)為X參考數(shù)據(jù)：viee1.51.2522.621.11.511.4其中vi=ln參考公式：對一組數(shù)據(jù)u1,v1，u2,v2，?，【答案】(1)y=1.1×1.5x，預(yù)測2023(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為6【分析】（1）設(shè)lny=v，由已知可得∴（2）由條件確定隨機變量X的所有可能取值，由條件可得X~B【詳解】（1）由y=a?設(shè)lny=v因為x=1+2+3+4+55=3v=1.25，i所以lnb又v=lna所以lna=0.089，故所以lny則y=e0.089+0.387x，又所以y=1.1×即y關(guān)于x的回歸方程為y=1.1×當x=6時，y所以預(yù)測2023年該地區(qū)新能源汽車保有量能超過10萬輛．（2）X的所有可能取值為0,1,2,3，易知2018~2022年中滿足y-z>0.8則每人取到滿足y-z>0.8故X~∴P(XP(X=2)=∴XX0123P2754368∴E【變式7-1】3.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域，由有關(guān)高校結(jié)合自身辦學(xué)特色，合理安排招生．強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試才能進入面試環(huán)節(jié)．(1)某研究機構(gòu)為了更好地服務(wù)于高三學(xué)生，隨機抽取了某校5名高三學(xué)生，對其記憶力測試指標x和分析判斷力測試指標y進行統(tǒng)計分析，得到下表數(shù)據(jù)：x79101113y34567請用線性相關(guān)系數(shù)判斷該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系是否可用線性回歸模型進行擬合；（精確到0.01）(2)現(xiàn)有甲、乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，某考生參加每門科目考試是否通過相互獨立．若該考生報考甲高校，每門筆試科目通過的概率均為35；該考生報考乙高校，每門筆試科目通過的概率依次為m?，?1參考數(shù)據(jù)：i=15xi2參考公式：線性相關(guān)系數(shù)：r=i=1【答案】(1)y與x之間的線性相關(guān)性較強，可用線性回歸模型進行擬合(2)m【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式直接計算即可；（2）利用二項分布期望公式可得甲高?？荚囃ㄟ^科目數(shù)的期望，分別求出通過乙高校的考試科目數(shù)各種可能值的概率，然后由期望公式計算，最后根據(jù)期望之間的關(guān)系求解即可.【詳解】（1）由題意，可得：x=7+9+10+11+135i=1i=1n所以r=所以y與x之間的線性相關(guān)性較強，可用線性回歸模型進行擬合．（2）通過甲高校的考試科目數(shù)X~B?設(shè)通過乙高校的考試科目數(shù)為Y，則Y的可能取值為0,1,2,3，則：P（P（P（P(則E（由題意知，E（X）<E又因為0<m<1，綜上，m【變式7-1】4.（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）防疫抗疫，人人有責(zé)．隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴峻，防疫物資需求量急增．下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：月份x12345訂單yyyyyy(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并估計該廠6月份的訂單金額；(2)已知甲從該口罩廠隨機購買了4箱口罩，該口罩廠質(zhì)檢過程中發(fā)現(xiàn)該批口罩的合格率為34，不合格產(chǎn)品需要更換．用X表示甲需要更換口罩的箱數(shù)，求隨機變量X參考數(shù)據(jù)：i=1參考公式：回歸直線的方程是y=bx【答案】(1)y=8.3x+10.1(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)已知和參考數(shù)據(jù)求出a,b即可得出經(jīng)驗回歸方程，代入x=6（2）由題意可得X的取值可能為0，1，2，3，4，且X～B4,【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可得xib=i故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y當x=6時，估計該廠6月份的訂單金額為59.9萬元．（2）依題意，隨機變量X的取值可能為0，1，2，3，4，且X～P(X=0)=P(X=2)=P(隨機變量X的分布列為X01234P81272731E(題型8回歸分析與超幾何分布【例題8】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中