線(xiàn)性平穩(wěn)時(shí)間序列模型

關(guān)于線(xiàn)性平穩(wěn)時(shí)間序列模型Contents

§3.1線(xiàn)性平穩(wěn)時(shí)間序列模型的種類(lèi)§3.2

ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性和可逆性§3.3

ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式第2頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一節(jié)線(xiàn)性平穩(wěn)時(shí)間序列模型的種類(lèi)一、自回歸模型二、移動(dòng)平均模型三、自回歸移動(dòng)平均模型四、求和自回歸移動(dòng)平均模型第3頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天(一).一階自回歸模型，AR(1)1.設(shè){xt}為零均值平穩(wěn)隨機(jī)序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：一、自回歸模型（Autoregressivemodel,AR）其中：εt是白噪聲序過(guò)程（外部沖擊）（1）（2）那么我們就說(shuō)xt遵循一個(gè)一階自回歸或AR(1)隨機(jī)過(guò)程。第4頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天可見(jiàn),AR(1)模型中，xt在t時(shí)刻值依賴(lài)于兩部分，一部分依賴(lài)于它的前一期的值xt-1；另一部分是依賴(lài)于與xt-1不相關(guān)的部分εt可將AR(1)模型寫(xiě)成另一種形式：通過(guò)這一種形式可以看出，AR(1)模型通過(guò)消除xt中依賴(lài)于xt-1的部分，而使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨(dú)立數(shù)據(jù)。第5頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天AR(1)模型的滯后算子形式：第6頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.隨機(jī)游走(RandomWalk)過(guò)程如果一個(gè)時(shí)間序列xt的合適的模型為如下的形式：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱(chēng)xt為隨機(jī)游走過(guò)程?！半S機(jī)游走”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷PearsonK.和RayleighL.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游走問(wèn)題”。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。第7頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)時(shí)間序列證明：對(duì)于設(shè)則于是有因此

的方差隨時(shí)間而改變，因此過(guò)程是非平穩(wěn)的。第8頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天雖然隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的，但是我們看到，它的一階差分卻是平穩(wěn)的：有些研究表明，許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列呈現(xiàn)出隨機(jī)游走或至少有隨機(jī)游走的成分，如股票價(jià)格，這些序列雖然是非平穩(wěn)的，但它們的一階(或高階)差分卻是平穩(wěn)的。Box—Jenkins就是利用差分這種數(shù)學(xué)工具來(lái)使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的。第9頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天(二).二階自回歸模型，AR(2)1.設(shè){xt}為零均值的隨機(jī)序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：εt是白噪聲序列（1）（2）那么我們就說(shuō)xt遵循一個(gè)二階自回歸或AR(2)隨機(jī)過(guò)程。思考：若建立AR(2)模型以后，上述假設(shè)不符合，說(shuō)明了什么問(wèn)題？第10頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天AR(2)模型可寫(xiě)成如下的等價(jià)形式

通過(guò)等價(jià)形式可以看出，AR(2)模型通過(guò)將xt中依賴(lài)于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨(dú)立數(shù)據(jù)εt。第11頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天(三).一般自回歸模型，AR(p)1.設(shè){xt}為零均值的時(shí)間序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：εt是白噪聲序列(2)(3)那么我們就說(shuō)xt遵循一個(gè)p階自回歸或AR(p)隨機(jī)過(guò)程。(1)第12頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：如果{xt}是一個(gè)非零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列，怎么對(duì)其建立模型？今后在分析AR模型時(shí)，都簡(jiǎn)化為對(duì)它的中心化模型進(jìn)行分析。設(shè)：于是：則可對(duì)序列建立ARMA模型：例如AR模型的一般形式可寫(xiě)為：若μ未知，可估計(jì)如下模型：其中：第13頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)滯后算子，中心化模型又可以為從而有：記：則模型可以表示成：例如，二階自回歸模型，可寫(xiě)成第14頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、移動(dòng)平均模型（Movingaveragemodel,MA）（一）一階移動(dòng)平均模型，MA(1)如果關(guān)于零均值隨機(jī)序列xt的合適的模型如下：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱(chēng)xt滿(mǎn)足一階移動(dòng)平均過(guò)程，記作MA(1)使用滯后算子，MA(1)模型可以寫(xiě)成：第15頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）一般移動(dòng)平均模型，MA(q)如果關(guān)于零均值時(shí)間序列xt的合適的模型如下：其中：(1)εt為白噪聲過(guò)程(2)那么就稱(chēng)xt滿(mǎn)足q階移動(dòng)平均過(guò)程，記作MA(q)使用滯后算子，MA(q)模型可以寫(xiě)成：第16頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、自回歸移動(dòng)平均模型,ARMA(p,q)如果零均值序列｛Xt｝的當(dāng)前值不僅與自身的過(guò)去值有關(guān)，而且還與其以前進(jìn)入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系，那么它可以用如下的線(xiàn)性模型來(lái)描述：其中：（1）（2）為白噪聲過(guò)程，即（3）則稱(chēng)Xt滿(mǎn)足自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為ARMA(p,q)。第17頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用滯后算子，ARMA(p,q)模型可寫(xiě)為：其中：且，之間不出現(xiàn)公共因子。第18頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果序列xt是均值非平穩(wěn)的，對(duì)其進(jìn)行d次差分后，變成了平穩(wěn)的序列Δdxt，這個(gè)差分后的平穩(wěn)序列的適應(yīng)性模型為ARMA(p,q)，此時(shí)就稱(chēng)對(duì)原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q)模型。其中：p為自回歸部分項(xiàng)階數(shù)，q指移動(dòng)平均部分階數(shù)，d為使序列平穩(wěn)之前必須對(duì)其差分的次數(shù)。四、求和自回歸移動(dòng)平均模型（ARIMA,IntegratedAutoregressiveMovingaveragemodel）第19頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天ARIMA(2,1,2)表示先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行一階差分，使之轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，然后對(duì)平穩(wěn)序列建立ARMA(2,2)模型。例如：ARIMA(p,0,q)就相當(dāng)于ARMA(p,q)。ARIMA(p,0,0)就相當(dāng)于AR(p)。ARIMA(0,0,q)就相當(dāng)于MA(q)。對(duì)于一個(gè)ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下其中：第20頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中：思考：如果{xt}是一個(gè)非零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列，怎么對(duì)其建立ARIMA(p,d,q)模型？第21頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性和可逆性一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列模型的可逆性三、AR模型的平穩(wěn)性條件四、MA模型的可逆性條件五、ARMA模型的平穩(wěn)性條件和可逆性條件第22頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性(Stationarity)如果一個(gè)時(shí)間序列模型可以寫(xiě)成如下形式：其中，εt為白噪聲過(guò)程。且滿(mǎn)足：就稱(chēng)該模型是平穩(wěn)的。上式稱(chēng)為wold展開(kāi)式。如果一個(gè)時(shí)間序列模型可以寫(xiě)成上述形式，則稱(chēng)該模型具有傳遞形式。系數(shù)｛Gj｝稱(chēng)為格林函數(shù)。它描述了系統(tǒng)對(duì)過(guò)去沖擊的動(dòng)態(tài)記憶性強(qiáng)度。第23頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：第24頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天且：對(duì)于上式，可以證明如下結(jié)論：由于平穩(wěn)過(guò)程的方差存在。因此必須有這是平穩(wěn)過(guò)程的條件。第25頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于一個(gè)有限階的MA(q)模型總有：所以，一個(gè)有限階的MA(q)模型總是平穩(wěn)的。一個(gè)有限階的MA(q)模型本身就是一種傳遞形式。第26頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果一個(gè)時(shí)間序列的模型可以寫(xiě)成如下形式：二、時(shí)間序列模型的可逆性(invertibility)其中，εt為白噪聲過(guò)程。且滿(mǎn)足：則稱(chēng)｛xt｝具有逆轉(zhuǎn)形式（或可逆形式）。系數(shù)｛πj｝稱(chēng)為逆函數(shù)。第27頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于一個(gè)有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個(gè)有限階的AR(P)模型本身就是一種逆轉(zhuǎn)形式。第28頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天AR(p)MA(q)ARMA(p,q)可逆性平穩(wěn)性????√√第29頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于一個(gè)有限階的AR(P)模型：三、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件序列｛xt｝平穩(wěn)的充要條件是：的根全在單位圓外。即如果B1，B2，…，Bp是如下特征方程的根，那么它們的絕對(duì)值必須大于1第30頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)照前面平穩(wěn)性的定義可知，上述過(guò)程若要平穩(wěn)，必須滿(mǎn)足：第32頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天上述兩個(gè)條件是等價(jià)的。第34頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天可見(jiàn)：一個(gè)有限階的平穩(wěn)的AR(P)模型，可以表示成一個(gè)無(wú)限階的MA模型第35頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天方程1的根在單位圓外?；蚍匠?：的根在單位圓內(nèi)。AR模型平穩(wěn)性判別判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的判別方法特征根判別法平穩(wěn)域判別法

AR(P)的平穩(wěn)域：使的根全在單位圓外的AR系數(shù)向量（）的全體形成的集合。第36頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例：求AR(1)模型的平穩(wěn)性條件這就是AR(1)模型的平穩(wěn)域即：方法一：方法二：AR(1)模型對(duì)應(yīng)的滯后算子多項(xiàng)式的特征方程為：AR(1)模型對(duì)應(yīng)的差分方程的特征方程為：第37頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，AR(1)可表示為一個(gè)無(wú)限階的MA過(guò)程，即：此時(shí)有：顯然，當(dāng)時(shí)，AR(1)模型是平穩(wěn)的。第38頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天重新分析隨機(jī)游走過(guò)程，判斷其是否平穩(wěn)？第39頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例：求AR(2)模型的平穩(wěn)性條件對(duì)于AR(2)模型其對(duì)應(yīng)的差分方程的特征方程為：差分方程的特征根為：為滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，必須有：注，如果則特征根為復(fù)根：為滿(mǎn)足平穩(wěn)性，要求：第40頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第41頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天AR(2)過(guò)程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示第42頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第43頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.1:考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性第44頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第45頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、MA(q)模型的可逆性條件類(lèi)似前面的結(jié)論，一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)程也不一定是可逆的。同樣，對(duì)于一個(gè)有限階的MA(q)模型：它是可逆過(guò)程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果B1，B2，…，Bq是的根，那么它們的絕對(duì)值都必須大于1第46頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天上述兩個(gè)條件是等價(jià)的。類(lèi)似的：第48頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天可以得出如下結(jié)論：一個(gè)有限階的可逆的MA(q)模型，可以表示成一個(gè)無(wú)限階的AR模型第49頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天MA(1)過(guò)程的可逆性條件：對(duì)于MA(1)過(guò)程：或其可逆性條件是要求：的根在單位圓內(nèi)，即：在根在單位圓外，即：方法二：要求差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程：方法一：滯后算子多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的特征方程：或第50頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，MA(1)可表示為一個(gè)無(wú)限階的AR過(guò)程，即：第51頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天MA(2)過(guò)程的可逆性條件：對(duì)于MA(2)過(guò)程：其可逆性條件是：要求特征方程的兩個(gè)特征根在單位圓內(nèi)。即：類(lèi)似AR(2)過(guò)程的平穩(wěn)性條件，可以證明MA(2)模型的可逆域如下：第52頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天例:考察如下MA模型的可逆性第53頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）（2）（3）（4）第54頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天總結(jié)：(1)一個(gè)平穩(wěn)的AR(p)過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階移動(dòng)平均過(guò)程。(2)一個(gè)可逆的MA(q)過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階的自回歸過(guò)程。(3)對(duì)于AR(p)過(guò)程只須考慮平穩(wěn)性問(wèn)題，不必考慮可逆性問(wèn)題。(4)對(duì)于MA(q)過(guò)程，只須考慮可逆性問(wèn)題，不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。第55頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件和可逆性條件(一)平穩(wěn)性對(duì)于一個(gè)ARMA(p,q)模型服從ARMA（p,q）模型的序列xt平穩(wěn)的充要條件是：的根全在單位圓外。ARMA（p,q）序列的平穩(wěn)性?xún)H與自回歸系數(shù)有關(guān)，而與滑動(dòng)平均系數(shù)無(wú)關(guān)。而且平穩(wěn)條件與AR(p)的平穩(wěn)條件相同。第56頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天(二)可逆性ARMA（p,q）可逆的條件僅與滑動(dòng)系數(shù)有關(guān)，而與自回歸系數(shù)無(wú)關(guān)。而且可逆條件與MA（q）的可逆條件相同。

服從ARMA（p,q）模型的序列xt，其具有可逆性的條件是：θ(B)=0的根全在單位圓外。第57頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天為滿(mǎn)足可逆性，的根必須在單位圓外，即：舉例：ARMA(1,1)過(guò)程的平穩(wěn)性和可逆性ARMA(1,1)模型的一般形式為：或?yàn)椋簽闈M(mǎn)足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，即：第58頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三節(jié)ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式一、傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式的概念二、AR(P)的傳遞形式三、ARMA(p,q)的傳遞形式四、ARMA(p,q)的逆轉(zhuǎn)形式第59頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式所謂傳遞形式：就是將序列xt的當(dāng)前值，表示為當(dāng)前沖擊值εt

與過(guò)去沖擊值εt-i(i=1,2,3…)的線(xiàn)性組合。即:其中，系數(shù)函數(shù)Gj叫做記憶函數(shù)，又叫格林函數(shù)(Green’sfunction)。第60頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天可見(jiàn)，純移動(dòng)平均模型MA(q)本身就是傳遞形式。第61頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天所謂逆轉(zhuǎn)形式：就是以序列的當(dāng)前值和過(guò)去值的線(xiàn)性組合去表示當(dāng)前的沖擊值εt。第62頁(yè),共78頁(yè)，2024年2月25日，星期天可見(jiàn)，純自回歸模型AR(