高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)高三模擬考試押題卷

高考數(shù)學(xué)高三模擬考試試卷壓軸題高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的?

1.已知集合A,3,C,A=L|X2—3X+2=0±B=U|0<X<5,XGN},則滿(mǎn)足條件

A=8=C的集合c的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【測(cè)量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算.

【考查方式】子集的應(yīng)用.

【參考答案】D

【試題解析】求力=1x1x2—3x+2=0,XCR}={rI（X-1）（X-2）=0,xeR）

={1,2},易知8={》10<%<5/€#={1,2,3,4}.因?yàn)?口。18,所以根據(jù)子集的

定義，集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)，

即有22=4個(gè)做選D.

2.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表:

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

頻數(shù)234542

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻率為（）

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65【測(cè)量目標(biāo)】頻數(shù)分布表的應(yīng)用，頻率的計(jì)算,

對(duì)于頻數(shù)、頻率等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

【考查方式】通過(guò)弄清楚樣本總數(shù)與各區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)，用區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)除以

樣本總數(shù)就可得到相應(yīng)區(qū)間上的樣本頻率.

【參考答案】B

【試題解析】由頻數(shù)分布表可知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間”0,40）內(nèi)的頻數(shù)為2+3+4=9,

9

樣本總數(shù)為2+3+4+5+4+2=20,故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）內(nèi)頻率為詼=0.45.

故選B.

3.函數(shù)/（x）=xcos2x在區(qū)間上10,2d的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)零點(diǎn)求解與判斷.

【考查方式】通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)，要求學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想

【參考答案】D

【試題解析】由/（x）=xcos2x=0,得無(wú)=0或cos2x=0；其中，由cos2x=0,

得2x=kn+^GeZ),故x=^+1(keZ).又因?yàn)閤e[0,2?！?所以

兀3無(wú)5兀7兀.

x=二，丁，=，-7.所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+4=5個(gè).故選D.

4444

4.命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)’的否定是()

A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

【測(cè)量目標(biāo)】命題的否定.

【考查方式】求解特稱(chēng)命題或全稱(chēng)命題的否定，千萬(wàn)別忽視了改變量詞；

【參考答案】B

【試題解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定，需先將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，然后否定結(jié)論，

故該命題的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”.故選B.

5.過(guò)點(diǎn)尸(1,1)的直線，將圓形區(qū)域分為兩部分，使｛(x,y)|X2+y24)｝得這兩部分的

面積之差最大，則該直線的方程為()

A.x+y=OB,y-l=Oc.x-y=OD.x+3y-4=0<

【測(cè)量目標(biāo)】考查直線、線性規(guī)劃與圓的綜合運(yùn)并學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想.

【考查方式】通過(guò)觀察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積之差最大時(shí)，所求直線應(yīng)與直線。尸垂直，利

用這一條件求出斜率，進(jìn)而求得該直線的方程.

【參考答案】A

【試題解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)P的圓的

弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線與直線。尸垂直即可.又已知點(diǎn)P(LD,則攵0P=1,故所求直

線的斜率為-1.又所求直線過(guò)點(diǎn)P(l,l),故由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為

y-l=-G-l),即x+y_2=0.故選A.

2

6.已知定義在區(qū)間(0,2)上的1一一函數(shù)的圖象y=/(x)如圖所示，則y=-/(2-x)的

71

圖象為()

【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)的圖象的識(shí)別.

【考查方式】利用特殊值法(特殊點(diǎn))，特性法(奇偶性，單調(diào)性，最值)結(jié)合排除法求

解

【參考答案】B

【試題解析】排除法：當(dāng)x=l時(shí)，y=-f(2-x)=-f(1-2)=-/(1)=-1,故可排除

A,C項(xiàng)；當(dāng)X=2時(shí)，y=-/G-2)=-/(2-2)=-/(0)=0,故可排除D項(xiàng)；所以由

排除法知選B.

7.定義在(-0o,0)(0,+co)上的函數(shù)/(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{a},

{/(?)}仍是等比數(shù)列，則))稱(chēng)為“保等比數(shù)列函數(shù)現(xiàn)有定義在上的如下

(-oo,0)(0,+00)函數(shù):

①/(X)=X2；②/(x)=2.r；③/(%)=桐；④/(X)=ln|x|.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)''的的/(X)序號(hào)為

A.①②B.③④C.①③D.②④【測(cè)量目標(biāo)】等比數(shù)列的新應(yīng)用，

函數(shù)的概念.

【考查方式】讀懂題意，然后再去利用定義求解，注意數(shù)列的通項(xiàng)

【參考答案】C

[\八f(a)

【試題解析】設(shè)數(shù)列％j的公比為4.對(duì)于①，與一二一二平，是常數(shù)，故①符

于(a)。2

f(a)2?,

合條件;對(duì)于②，===2“““-””，不是常數(shù)，故②不符合條件；對(duì)于③,

/(?)2%

/(Q)J^~\

f(a)JTT

nYn

L……)In1I…

="，是常數(shù)，故③符合條件;對(duì)于④，，^二?，不是常數(shù)，故④不

TI1IZ7I

符合條件.山“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C

8.設(shè)△ABC的內(nèi)4,5，。所對(duì)的邊分別為。力,c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且

A>B>C,3b-20acosA,貝ijsinA:sin8:sinC為()

A.4:3:2B,5:6:7c,5:4:3D,6:5:4

【測(cè)量目標(biāo)】正、余弦定理以及三角形中大角對(duì)大邊的應(yīng)用.

【考查方式】本題需求解三個(gè)角的正弦的比值，明顯是要利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的

比值，因此必須求出三邊長(zhǎng)，注意正余弦定理與和差角公式的結(jié)合應(yīng)用.

【參考答案】D

【試題解析】因?yàn)?。，仇c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>8〉C,可得a〉b〉c,所以

3b

a=c+2,b=c+l①；又因?yàn)橐阎?b=20acosA,所以cosA=—②.由余弦定理可得

,b2+c2-a23bb2+C2—。2

cosA=——-----③，則由②③可得—-=④，聯(lián)立①④，得

7C2-13C-60=0,解得c=4或cy（舍去），貝ija=6,b=5.故由正弦定理可

得，sinA:sinB:sinC-a:b:c-6:5:4.故應(yīng)選D.

111

9.設(shè)a,8,ceR,"abc=1”是“—+—+—a+6+c”的()

y/ayfby/c

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件【測(cè)量目標(biāo)】充

要條件的判斷，不等式的證明.

【考查方式】首先需判斷條件能否推得結(jié)論，然后需判斷結(jié)論能否推得條件

【參考答案】A

【試題解析】abc=1時(shí),

11=>Jab+\/bc+yJca,

而2(a+/?+c)=(a+Z?)+(/?+c)+(c+a)2jab+2y/bc+2jca(當(dāng)且

僅當(dāng)

a=b=且abc=1即a=b=c時(shí)等號(hào)成立）故

111

—+—+—y/ab+>Jbc+>/caa+b+c；但當(dāng)取a=b=c=2,顯然有

■Ja#Jc

111111

—=+—=+—=a+b+c，但abc工1,即由—+—+—a+b+c不可以推得

JaJbyjcyJayjby/c

Miii

abc=1.綜上，abc=1是一產(chǎn)+一萬(wàn)+—尸a+b+c的充分不必要條件，應(yīng)選A.

JayjbJc

10.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中W分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形

OAB

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）

111

A.2-7tB，

71

1二D.2

C.

n無(wú)

【測(cè)量目標(biāo)】古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.

【考查方式】求解陰影部分的面積，將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來(lái)求解

［參考答案】C

【試題解析】如下圖所示，設(shè)。4的中點(diǎn)為。，。8的中點(diǎn)為。，半圓。與半圓。

I2I2

的交點(diǎn)分別為。,尸，則四邊形。。F。是正方形.不妨設(shè)扇形的半徑為2,記兩塊白色區(qū)

12

域的面積分別為一》兩塊陰影部分的面積分別為?

則S+S+S+S=S=—7CX22=7C,①

1234扇形0484

而S+S=-71X12=A7T,5+S=—71X12=2?兀，即S+S+2S=兀，

②

由①②，得5=S.

34

又由圖象觀察可知,S4二s扇形小—S-5-S

扇形扇形QA/正方形oq尸q

=71X12--7CX12--71X12-12=-7CX12-12=-7C-l

4422

故由兒何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率:

S+S2S兀一22

P=34=4-----=1一一.故選C.

SS7171

扇形048扇形。48

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)

的位

置上.答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分.

11.一支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，

若抽取的男運(yùn)動(dòng)員有8人，則抽取的女運(yùn)動(dòng)員有人.

【測(cè)量目標(biāo)】分層抽樣的應(yīng)用.

【考查方式】分層抽樣在生活中的應(yīng)用.分層抽樣時(shí)，各樣本抽取的比例應(yīng)該是一樣的，

即為抽樣比.

【參考答案】6

a8

【試題解析】設(shè)抽取的女運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為“，則根據(jù)分層抽樣的特性，有方=72,解

4256

得。=6.故抽取的女運(yùn)動(dòng)員為6人.

3+歷,

12.若b-~「=a+bi(a,6為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a+b=.

2*-i1-1

【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.

【考察方式】通過(guò)考查復(fù)數(shù)相等來(lái)判斷學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的掌握

【參考答案】3

【試題解析】因?yàn)樽?。+歷，所以3+玩＜+歷)G-i)入+"(又因?yàn)椤Χ?/p>

a+h=3[?=0

為實(shí)數(shù)，故由復(fù)數(shù)的相等的充要條件得，/解得，0,所以a+b=3.

b-a-b也=3

13已知向量0=(1,0),b=(l,l),則

(I)與2a+/同向的單位向量的坐標(biāo)表示為；

(II)向量與b-3a向量a夾角的余弦值為.

【測(cè)量目標(biāo)】單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等

【考查方式】給出兩個(gè)向量，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積來(lái)運(yùn)算求值

(3加聞]2y/5

【參考答案】(II)-5

【試題解析】(I)由。=(l,o),b=(l,l),得2a+b=(3,l).設(shè)與為+，同向的單位向量

_3加__

為c=(x,y),則.：+)-且x,y＞0,解得.=故c=P),咱].即與

[3y-x=0,71011010J

y~———?

I10

2a+，同向的單位向量的坐標(biāo)為恭.

\/

(II)由。=(1,0)力=(1,1),得5-3?=(—2,1).設(shè)向量。一3a與向量a的夾角為0,則

(*-3a)a(-2,1)(1,0)26

COS0=------------=-------=----------=-▼一

|ft-3a||?|"xl5

*.[x-y—1

14.若變量滿(mǎn)足約束條件＜x+y1，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值是.

3x?3

【測(cè)量目標(biāo)】二元線性規(guī)劃求目標(biāo)函藪最小值.

【考查方式】給出約束條件，判斷可彳,或，利用可行域求解.

【參考答案】2

x-y-1

【試題解析】作出不等式組＜x+y1所表示的可行域(如下圖的△AB”及其內(nèi)部)，目

3X-R3

標(biāo)函數(shù)z=2x+3y在AABM的靠個(gè)端點(diǎn)A(2,3),8(0,1),M(1,0)處取的值分別為

13,3,2,比較可得目標(biāo)函數(shù)Z=2x+3)，的最小值為2.

15.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

【測(cè)量目標(biāo)】考查圓柱的三視圖的識(shí)別，圓柱的體積

【考查方式】在生活中要多多觀察身邊的實(shí)物都是由什么幾何形體構(gòu)成的，以及它們的三

視圖的畫(huà)法.

【參考答案】12兀

【試題解析】由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱(底面圓半徑為2,高為

1)與中間一個(gè)圓柱(底面圓半徑為1,高為4)組合而成，故該幾何體的體積是

V=7^x22x1x2+71x12x4=1271.

16.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果

CTO

In=1,0=(),”=1I

卜=、+〃|

心/+2|

是/岬町7

”-，，+1|1

結(jié)束

【測(cè)量目標(biāo)】順序結(jié)構(gòu)框圖和判斷結(jié)構(gòu)框圖的執(zhí)行求解.

【考查方式】對(duì)于循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出問(wèn)題，一步一步按規(guī)律寫(xiě)程序結(jié)果

【參考答案】9

【試題解析】由程序框圖可知:

第一次：a=l,s=O,〃=l,s=s+a=1,。=。+2=3,滿(mǎn)足判斷條件〃<3?；

第二次"=2,a=4,。=5,滿(mǎn)足判斷條件〃<3?

第三次:〃=3,s=9,a=7,此時(shí)不滿(mǎn)足判斷條件〃<3?,故終止運(yùn)行，輸出s的值.

綜上，輸出的s值為9.

17.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究

過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：1fc

將三角形數(shù)1,3,6,10,b記為數(shù)列｛勺｝,將可修整除的三角形數(shù)按從小到大

的順序組成一個(gè)新數(shù)列嶺｝.同以推眺J武師鹵?S?

（1）6是數(shù)列｛4｝中向第照第I,感'10

2012”

（II）.（用k表示）

2k-\

【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)歸納法.

【考查方式】本題考查歸納推理，猜學(xué)的能々.

5M51）

【參考答案】（I）5030；（II）——-——

【試題解析】易知。=,寫(xiě)出數(shù)列%｝的若干項(xiàng)依次為：

n2〃

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,…,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的

為10,15,45,55,105,120,190,210,故b=10=a,b=15=。.

1425

同理，b=a,b=a,h=a,b=a,b=a,h=a.

39410514615719820

5M5Z+1)

從而由上述規(guī)律可猜想：b=a=——-——

2k5k2

(5I)(5I+1)5M51)

b=a=-----------------（人為正整數(shù)）.

2k-\5k-\22

故6=b=a=a，即6是數(shù)列%｝中的第5030項(xiàng).

20122x10065x100650302012n

三、解答題：本大題共5小題，共65分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

18.(本小題滿(mǎn)分12分)_

設(shè)函數(shù)/(x)=sin2￡Ox+2>/3sina)xcosx-cos?3x+九(xeR)，的圖象關(guān)于直線

x=n對(duì)稱(chēng)，其中3,兀為常數(shù)，且3e(；,l)

(I)求函數(shù)/(X)的最小正周期；.

71

(II)若y=/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(二,0),求函數(shù)/(x)的值域.

【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的圖象的周期性，值域，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.

【考查方式】給出函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最小值和周期.

【試題解析】解：(I)因?yàn)?(x)=sin2(ox-cos23x+2/sin(Dxcos?>x+九

=2sin(2cox--)+A,.

6

由直線犬=兀是y=/3)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，可得$皿(28%一?)=±1,

6

jrJTk1

所以2co?！?E+—(A￡Z),即O=—+—(k￡Z).

6223

又1),kwZ,所以％=1,故co=，.

所以/(X)的最小正周期是M

TTTT

(II)由y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(一,0),得/(一)=0,

44

BPX=-2sin(-x---)=-2sin-=-\fl，BPX=->J1.

6264

故/(x)=2sin(-x--)->/2,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2-￡2-72]?

19.(本小題滿(mǎn)分12分)

某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等

的等腰梯形的四棱臺(tái)ABCD-ABCDBDV,上部是一

個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱

柱ABCD-ABCD

2222

(I)證明：直線3。，平面ACCA；

II22

(II)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理.已知AB=10,

4B=20,AA=30,AA=13(單位：厘米)，每

2221

平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少

第19題圖

元？

【測(cè)量目標(biāo)】線面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運(yùn)算求解以及轉(zhuǎn)化與

劃歸的能力.

【考查方式】通過(guò)線線垂直證明面面垂直，并用公式求體積

【試題解析】解：(I)因?yàn)樗睦庵鵄BC。-ABCD的側(cè)面是全等的矩形，

2222

所以A4J.AB,A4J.AD.又因?yàn)?8AO=A，所以44平面

222

ABCD.。

連接BD,因?yàn)锽Ou平面ABCD,所以A41BD.

2

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC，8。

根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD與B1D1共面.

又已知平面ABCD〃平面A8C。，且平面88。。平面

lilt??

ABCD=BD,A

平面BBDD平面ABC。=BO,所以BlD1〃BD.于是

1I111111

由AA,AC1BD,BlD1〃BD,可得

2

AA1BD,.ACLBD

211II

又因?yàn)锳4AC=A，所以5。_L平面ACCA.

21122

(II)因?yàn)樗睦庵鵄CO-ABCO的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以

2222

S=S+S=(AB)2+4AB-AA=102+4x10x30=1300(cm2)

I四棱柱上底面四樓柱側(cè)面222

又因?yàn)樗睦馀_(tái)43CO-ABC。的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的

iiii

等腰梯形，

所以S=S+S=(AB)2+4x-(AB+AB)h

2四棱臺(tái)卜底面四棱臺(tái)側(cè)面II2II等腰梯形的高

=202+4x1(10+20)J132-[^(20-10)]2=1120(cm2).

于是該實(shí)心零部件的表面積為S=S+S=1300+1120=2420(cm2),

12

故所需加工處理費(fèi)為0.25=0.2x2420=484(元).

20.(本小題滿(mǎn)分13分)

已知等差數(shù)列僅｝前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.

n

(1)求等差數(shù)列M｝的通項(xiàng)公式；

n

(II)若%,4,成等比數(shù)列，求數(shù)列｛|。｝的前"項(xiàng)和.

【測(cè)量目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，求和等.

【考查方式】考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力求等差數(shù)列的通項(xiàng)一般利

用通項(xiàng)公式a=a+("—Dd求解；有時(shí)需要利用等差數(shù)列的定義：a-a=c(c為

n1nn-\

常數(shù))或等比數(shù)列的定義：￡-二c'(C’為常數(shù)，c'wO)來(lái)判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或

a

M-I

等比數(shù)列，然后再求解通項(xiàng)；有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但它含有無(wú)數(shù)項(xiàng)

卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列，這時(shí)求通項(xiàng)或求和都需要分段討論.

【試題解析】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,則a+d,a=a+2d,

n2131

3a+3d=-3,a=2,或、3T

由題意得1

a[a+d)(a+2d)=8.d=-3,

iii

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

a=2-3(九一1)=一3〃+5,或。=-4+3(〃-1)=3〃一7.

nn

故。=一3〃+5,或。=3〃一7.

(II)當(dāng)a=-3n+5時(shí)，afa,。分別為T(mén),-4,2,不成等比數(shù)列；

n23I

當(dāng)a=3〃一7時(shí)，aa,。分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列，滿(mǎn)足條

ti231

件.

—3n+7,〃=12

故I〃1=13n-71=

n3〃一7,n>3.

記數(shù)列｛la1｝的前〃項(xiàng)和為S.

nn

當(dāng)〃=1時(shí)，S=\a1=4；當(dāng)〃=2時(shí)，S=\a\+\a1=5；

1I212

當(dāng)力23時(shí)，

=5+4產(chǎn)想央一9。當(dāng)7時(shí)，滿(mǎn)足此式.

[4,〃=1,

綜上，S=<3

“一〃2—n+10,n>1.

2

22.(本小題滿(mǎn)分14分)

設(shè)函數(shù)/(幻=如"(1一幻+人)+》=1,/。)<」-,〃為正整數(shù)，a,b為常數(shù).曲線

ne

y=f(x)在(L/(D)處的切線方程為.x+y=1

(1)求a,b的值；

(II)求函數(shù)/(x)的最大值；

(III)證明:/(%)<1.

ne

【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及單調(diào)性的應(yīng)用，還考查不等式的證明.

【考查方式】通過(guò)轉(zhuǎn)化與劃歸，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.導(dǎo)數(shù)的幾何

意義一般用來(lái)求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一般用來(lái)求解函數(shù)的極值，最值，證明不等

式等.

【試題解析】解：(I)因?yàn)閒(D=b,由點(diǎn)(1切在x+y=l上，可得1+〃=1,即

b=0.

因?yàn)榱?(1)=-Q(〃+1)X”,所以/'(1)=一。.

又因?yàn)榍芯€x+y=l的斜率為—1,所以一。=一1,即。=1.故。=1,

b=0.

.n

(II)由(I)知，f(x)=x?(1-x)=X"-X?+1,f(x)=(n+l)x?-i(-----x).

/?+l

nn

令_fa)=o,解得x=^—即r(x)在(o,+—；)(o,+8)上有唯一零點(diǎn)

n+ln+\

fl

在(0,+—j)上，f'M>0,故/(x)單調(diào)遞增；

rt+1

幾

而在(1--^，+8)上，f(X)<0,f(X)單調(diào)遞減.

〃+1

,nn?

故/(x)在(0,+s)上的最大值為了(——-)=---.

n+1(n+1)?+i

(III)令中'?)=lnf—l+l(f>0),則<p'⑺=1-_L=￡11Q>0).

tt12t2

在(0,1)上，<p'(f)<0,故<p(f)單調(diào)遞減;

而在(L+oo)上<p'Q)>0,(p⑴單調(diào)遞增.

故(P(t)在(0,+oo)上的最小值為(P(1)=0.所以(p(f)>0Q>1),

即Inf〉1」Q〉1).

t

A.1./?+11n4-1.1

令/=1+—，得In---->----,HPln(----)H+I>Ine,

nn〃+1n

/〃+1、.幾〃1

所以(——)用>1,即:~~—<—.

n(〃+l)"+ine

n

由(II)知，工=--，故所證不等式成立.

〃+1

.21.(本小題滿(mǎn)分14分)

設(shè)A是單位圓"+>2=1上的任意一點(diǎn)，/是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，。是直線/

與X軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線/上，且滿(mǎn)足|DM|=m|DA|(M>0,且MW1).當(dāng)點(diǎn)A在

圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(II)過(guò)原點(diǎn)斜率為大的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y

軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)”.是否存在m，使得對(duì)任意

的，K>0都有PQ_LPH?若存在，求，"的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【測(cè)量目標(biāo)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【考查方式】考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.本題是一個(gè)橢圓模型，求

解標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意對(duì)焦點(diǎn)的位置分類(lèi)討論.

【試題解析】解：(I)如圖1,設(shè)M(x,y),A(x,y),則由

00

|DM|=m|DA|(m>O,fim^1),

可得x=卜|二機(jī)聞，所以x==①

因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以通+^2二=1(m>0,且加W1)②

m2

將①式代入②式即得所求曲線C的方程為.X2+23=1(加>0,且機(jī)k1)

m2

因?yàn)榧觘(0,1)(1,+8),所以

當(dāng)0<相<1時(shí),朋線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-J1-小2,0),(V1-W2,0)；

當(dāng)陽(yáng)>1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,--1)>(0,-7/722-1).

(II)Vxe(0,1),設(shè)P(x,y),H(x,y),貝(lQ(-x,-y),

1)122I1

N(0,y),

I

因?yàn)槭?，〃兩點(diǎn)在橢圓C上，所以產(chǎn)鬣+)；=機(jī)2,兩式相減可得

\ni2x2+y2=機(jī)2,

I22

/?72(X2-X2)4-(y2-V2)=0.③

12I2

依題意，由點(diǎn)尸在第一象限可知，點(diǎn)H也在第一象限，目尸，“不重合，

故(尢-x)(x+x)工0.于是由③式可得

1212

(y「八)()；+)?=_仙④

(X-X)。+尤)

1212

又Q,N,"三點(diǎn)共線，所以k=k,即雙=工E.

QNQHxX+X

I12

于是由④式可得左-k=工.2^4」.2_2必3=-”

PQPHXx-X2(X-X)(x+x)2

1I21212

而PQ1PH等價(jià)于kk=-1,即-絲=-1,又加>0,得機(jī)=JI,

PQPH2

故存在機(jī)=正，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓心+21=1上，對(duì)任意的2>0,都有

2

PQPH

高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分:150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的

3+z

1.------=()

1+i

A.1+2/B.1-2/C.2+iD.2-i

2.設(shè)集合A={1,2,4},B={]x2-4x+機(jī)=()}.若AB={1},則8=()

A,{1,-3}B.{1,0}C,{1,3}D.Q5}

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百

2x+3y-3<0

5.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,2x—3y+3N0,則z=2x+y的最小值是（）

y+320

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共

有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，

2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家

說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則()

A.乙可以知道四人的成績(jī)［開(kāi)始］

B.丁可以知道四人的成績(jī)

/輸入a/

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的。=-1,則輸出的

S=()

A.2B.3C.4D.5

Y2丫2

9.若雙曲線C:—一二=1(。>0,6>0)的一條漸

近線被圓G-2>+>2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則c的

離心率為()

［結(jié)束］

A.2B.6C.6D.2f

10.若x=-2是函數(shù)/(》)=(4+辦-1)分-「的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值為()

A.-lB.-2<?-3C.5e-3D.l

U?已知直三棱柱ABC-ARC￥NABC=12。，AB=2,BC=CC「1,則異面直線AB1

與Eg所成角的余弦值為()

A.

25

12.已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA-(P8+PC)的最小值是

()

c34,

A.—2B.——C.——D.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一批產(chǎn)品的二等品率為OS,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取10。次，X表示抽

到的二等品件數(shù)，則DX=.

函數(shù)c兀

14,/(x)=sin2x+v/Jcosx—-XG0,y）的最大值是.

4

15.等差數(shù)列M