2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷8

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷8

一、單項選擇題：（每題5分，共40分）

1.函數(shù)產(chǎn)xcosx+sinx在區(qū)間［-兀，7t］圖象大致為（）

2.若把單詞“ermr”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤寫法的種數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

3.（x+f）（x+y）5的展開式中Ty3的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

4.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度

條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（4y）（i=l,2,,20）得到下面的散點圖:

100%

80%

出60%

我40%

20%

0

由此散點圖，在10℃至4（TC之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型

的是（）

A.y=a+hxB.y=a-\-bx2

C.y=a+hexD.y=a+blnx

5.設(shè)函數(shù)為R上的增函數(shù)，a、beR,則a+是+a）+/（—b）的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.充分不必要條件

6.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A為“4個人去的景點不完全相同”,

事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P（8|A）=（）

3456

A.-B.-C.-D.一

7777

7.已知函數(shù)/（力是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+4）=-當(dāng)XG[—2,0）時，f（x）=ex,則

/（2018）+/（2021）+/（2022）等于（）

A.—B.—C.一。D.e

ee

8.已知定義在R上的函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)為廣（X）,滿足/（x）＞/'（x）,且/（0）=2,則不等式

〃力＞2爐的解集為（）

A.（-℃,0）B.（0,+e）C.（-8,2）D,（2,+8）

二、多選題：（選錯不得分，漏選得3分，每題5分，共20分）

9.對于函數(shù)=下列判斷正確是（）

A./(-x+l)+/(x-l)=0

B.當(dāng)Me(O,l)時，方程/(力=加有唯一實數(shù)解

C.函數(shù)“X)的值域為(Y),+8)

“x)-〃嘰0

D.Vx產(chǎn)x2，

xl-x2

10.設(shè)〃％)=》2+改+6,a,8eE.若〃力=%無實根，則下列結(jié)論成立的有()

A.當(dāng)x>0時，/(x)〉0B.VxeR,/(%)>%

C.VxeR,/(/(%))>%D.IreR,使得/(/(x))=x成立

11.如圖，已知直線丫=區(qū)+加與曲線y=/(x)相切于兩點，則尸(x)=〃x)-丘有()

A.1個極大值點，2個極小值點B.2個零點

C.0個零點D.2個極小值點，無極大值點

12.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若0＜玉＜々，則下列結(jié)論正確的是()

A.%/(內(nèi))"/(%)

B.%+/(%)＜尤2+/(%)

C」(七)-/(“2)＜0

西一々

D.當(dāng),＜王＜X2時，X\fM+Xlf(X2)＞2xif(^l)

e

三、填空題：(每題5分，共20分)

13.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

14.已知A為拋物線C:y2=2px(p＞0)上一點，點A到C的焦點的距離為12,到)，軸的距離為9,則

P=

15.某個部件由三個元件按圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工

作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1OOO,5()2),且各個元件能否正常相互

獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為

16.一個盒子里有2個紅I個綠2個黃球，從盒子中隨機取球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)取

球停止時拿出黃球的個數(shù)為隨機變量4,貝”值=0）=_,E《）=.

四、解答題：本大題共6小題.請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.記函數(shù)f（x）=lg（l-辦）的定義域、值域分別為集合A,B.

（1）當(dāng)。=1時，求AB；

（2）若“xwA”是8”的必耍不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

比2v2

18.設(shè)橢圓C：T+方=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別為6，F(xiàn)?,下頂點為A,。為坐標原點，點。到

直線AF,的距離為立，46居為等腰直角三角形.

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若傾斜角為45。的直線經(jīng)過橢圓C的右焦點工，且與橢圓C交于M,N兩點（M點在N點的上方），

求線段“6與NF2的長度之比.

19.班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機抽取一個容

量為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：

學(xué)生序號i1234567

數(shù)學(xué)成績X,60657075858790

物理成績/70778085908693

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績

均為優(yōu)秀的人數(shù)為求4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績%的線性回歸方程(系數(shù)精確到o.oi)；若班上某位同學(xué)的數(shù)

學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

附：線性回歸方程y=+a,

其中匕=-..------------->a-y-bx-

Z（x,-x）2

/=1

7_7__

￡（%-幻2工(七一%)(以一)0

Xy

1=1/=1

7683812526

20.已知函數(shù))>=〃x),若在定義域內(nèi)存在修，使得了(一天))=-/伉)成立，則稱與為函數(shù)/(x)的局

部對稱點.

(1)證明：函數(shù)”x)=2*-l在區(qū)間［-1,2］內(nèi)必有局部對稱點;

(2)若函數(shù)/(*)=4'-次2田+〃22-3在R上有局部對稱點，求實數(shù)，〃的取值范圍.

已知函數(shù)/(x)=(x-k)。/,

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對于任意的xe(O,+8),都有求左的取值范圍.

e

22.設(shè)函數(shù)/(工)=111%—“(％—1)，，其中0<a<,.

e

(1)證明：/(x)恰有兩個零點；

(2)設(shè)不為“X)極值點，%為“X)的零點，且百>%,證明3%-蒼>2.

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷8

一、單項選擇題：(每題5分，共40分)

1.函數(shù))fcosx+sinx在區(qū)間［-兀，兀］的圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】

首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在％=乃處的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.

【詳解】因為/(x)=xcosx+sinx,則/(-x)=-xcosx-sinx=-/(x),

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點對稱，

據(jù)此可知選項CO錯誤；

且％=乃時，y=；rcos〃+sin萬=一乃＜0,據(jù)此可知選項8錯誤.

故選：A.

【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，

判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)

從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

2.若把單詞“enw”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤寫法的種數(shù)為()

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合排列組合的知識，利用分步乘法計數(shù)原理求得5個字母排成一排所有可能的寫法的種數(shù)，則可確定錯

誤寫法的種數(shù).

【詳解】解：將5個字母排成一排，可分三步進行：

第一步：排號。，共有&=20種排法；

第二步：排三個r,共有C；=l種排法；

將5個字母排成一排共有20x1=20種排法，

???可能出現(xiàn)的錯誤寫法的種數(shù)為20-1=19種；

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠采用分步的方式，確定所有可能的結(jié)果的種數(shù).

3.（x+E）（x+y）5的展開式中xY的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

求得（x+?展開式的通項公式為J=C"-y（reN且r<5）,即可求得x+匕與（x+4展開式

\X7

的乘積為或C；X4-J「+2形式，對「分別賦值為3,1即可求得1寸的系數(shù)，問題得解

【詳解】（1+丫）5展開式的通項公式為7；+1=。#5-?，（r6"且八45）

所以龍+匕的各項與（x+y）5展開式的通項的乘積可表示為：

Ix）

22

X&=咫產(chǎn)了和匕&尸匕。產(chǎn)了=c>4-y+2

XX

3

在"中，令r=3,可得：XT4=C^y,該項中支/的系數(shù)為第，

22

在21工句=Gx"jr+2中，令廠=1,可得：匕7；=C#3y3,該項中丁,3的系數(shù)為5

XX

所以Yy3的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬

于中檔題.

4.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率〉和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度

條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(4%)(，?=12,20)得到下面的散點圖：

100%

80%

榔

軟60%

取40%

20%

0

由此散點圖，在10℃至40。＜3之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型

的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型的是y=a+〃nx.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)，“、b&R,則。+人之0是〃。)+/伍)2/(—a)+f(—〃)的()

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

先證充分性，^a+b>0,則。2-匕，b>-a,根據(jù)函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求

解，必要性，采用反證法，假設(shè)。<-6,b<-a,根據(jù)函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)結(jié)合不等式的基本性質(zhì)

求解.

【詳解】若。+方20,則〃之一力，h>-af

因為函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)，

所以/(。)2/(")，/伍)2/(-

由不等式的加法得：

/(a)+〃〃)N〃—a)+〃詢,

故充分；

反之，若〃。)+/伍)之/(一。)+/(—/?),假設(shè)〃<一。，b<-a

因為函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)，

所以/(")</(—8),/(〃)</(-?),

由不等式的加法得：

f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),與題設(shè)矛盾，

則假設(shè)不成立，故必要；

故選：C

【點睛】本題主要考查充要條件的判斷以及函數(shù)單調(diào)性，不等式的基本性質(zhì)和反證法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A為“4個人去的景點不完全相同”,

事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(8|力)=()

34「56

7777

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用古典概型概率公式，結(jié)合條件概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A="4個人去的景點不相同”，

事件8="小趙獨自去一個景點”，

44-4_63

則P(A)

44-64

4.3327

P(B)

64

則「網(wǎng)I3

7

故選：A

【點睛】本題主要考查分組分配問題、古典概型概率公式，考查了條件概率的求解，屬于中檔題.

7.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+4)=—/(%),當(dāng)XG[-2,0)時，“力=",則

“2018)+“2021)+“2022)等于()

11

A.-B.——C.~eD.e

ee

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)滿足〃x+4)=-〃X),得到函數(shù)“X)的周期是8,再由xe[—2,0)時，f(x)=ex,且函數(shù)

/(%)是定義在/?上的奇函數(shù)，將/(2018)+/(2021)+/(2022)轉(zhuǎn)化求解.

【詳解】因為函數(shù)滿足/(x+4)=-/(x),

所以/(x+8)=-/(x+4)=〃x),

所以函數(shù)/(x)的周期是8,

又當(dāng)xe[—2,0)時，/(x)=/,且函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(2018)+〃2021)+/(2022),

=八2)+/(5)+〃6)，

=/⑵-/⑴-42)，

=/(-1)=；-

故選：A

【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),滿足/(x)>r(x),且"0)=2,則不等式

/(力>2/的解集為()

A.(-<?,0)B,(0,+a?)C.(-雙2)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】

分析：先構(gòu)造函數(shù)g(x)=/段，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.

e

詳解：令g(x)=^^,因為g'(x)=<0,g(o)=2

ee

所以/(X)>2ex=>g(x)>g(0)=>x<0

因此解集為(-8,0),

選A.

點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔

助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如:(尤)</(X)構(gòu)造g(x)=/孚，r(x)+/(x)<0構(gòu)造g(x)=e"(x),

e

xf\x)</(%)構(gòu)造g(x)=9,xf\x)+f(x)<0構(gòu)造g(x)=V(x)等

X

二、多選題：(選錯不得分，漏選得3分，每題5分，共20分)

Y

9.對于函數(shù)下列判斷正確的是()

A./(-x+l)+/(x-l)=0

B.當(dāng)初€(0,1)時，方程/(力=現(xiàn)有唯一實數(shù)解

C.函數(shù)/(X)的值域為(f+8)

D.V心豈止3〉。

玉—x2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先根據(jù)奇函數(shù)的定義證得函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)性及值域，逐項判斷即可.

【詳解】解：、+工^=0,故"X)為奇函數(shù)，對于A,令f=1,即〃T)+〃f)=O,

正確，故A正確；

X1

當(dāng)x>0時，/(%)=——=1--------,

l+x1+X

.??/(X)在(0,48)上單調(diào)遞增，

又/(0)=0,外幻=4<1,且/(X)是奇函數(shù)，

???/(X)的值域為(—1,1).

???/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,+8).

故B正確，C錯誤，

?.?/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(7,+8),故V光工X,,〉0正確.D正確；

王一馬

故選：ABD.

【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性值域等性質(zhì)，屬于中檔題.

10.設(shè)/(力=/+以+。，4,/?€/?.若/(尤)=%無實根，則下列結(jié)論成立的有()

A.當(dāng)尤>0時，/(%)>0B.VxeR,/(%)>%

C.VxeR,/(/(x))>xD.HxeR,使得〃〃x))=x成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由題意分析可推出〃龍)的圖像恒在丁=”的上方，即〃x)>x恒成立，可判斷選項A,B；

設(shè)f=〃x),利用〃x)>x恒成立,判斷CD即可.

【詳解】若〃"=，無實根,

因為=+人對應(yīng)的拋物線開口向上，

所以〃x)的圖像恒在y=》的上方,

即成立，故B正確；

當(dāng)x>0時，/(x)>x>0,故A正確；

由/(x)>x成立，

可設(shè)f=/(x),

貝II/?)>「=/(尤)>X,

即VxeR,/(/(%))>%,故C正確；D不正確.

故選：ABC.

【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式的問題.屬于較易題.

11.如圖，已知直線丫="+加與曲線y=/(x)相切于兩點，則尸(x)=/(x)-乙有()

C.0個零點D.2個極小值點，無極大值點

【答案】AC

【解析】

【分析】

由圖像知，根據(jù)函數(shù)/(x)有一個極大值點，兩個極小值點，判斷尸(力=/(尤)一左的符號即可得出A正

確；f{x}>kx+m,k<0,m>0,則/(x)之/〃>0,則*x)=/(x)沒有零點，C正確.

詳解】解：

直線y=丘+機與曲線y=相切于兩點,

二依+m=/(x)有兩個根，且

由圖象知％<0,m>0,則/(x)-AxN機>0

即F(x)=/(x)-依>0,則函數(shù)F(x)=/(x)-Ax,沒有零點，故C正確.

函數(shù)/(x)有三個極值點，其中一個極大值點，兩個極小值點，

設(shè)/(力的三個極值點分別為a,b,c,不妨設(shè)a<b<c,

則尸(x)=/'(x)—3

①當(dāng)xe(-co,a)時，由圖像知，/(x)圖像上任意一點的切線斜率都小于A,

即/,(x)<A<0,F'(x)=/'(x)-A;<0,所以/(力=/(%)-日在(-8,4)遞減，

②當(dāng)xe(a⑼時，由圖像知，/(x)圖像上任意一點的切線斜率都大于0,

即/(力〉0,尸(力=f'(x)T>0,所以尸(x)=/(x)-依在(a,b)遞增，

③當(dāng)xe伍,c)時，由圖像知，/(x)圖像上任意一點的切線斜率都小于Z,

即/'(x)<%<0,F'(x)=/'(x)-^<0,所以F(x)=/(x)-依(fo,a)遞減,

④當(dāng)xe(c,+oo)時，由圖像知，/(x)圖像上任意一點的切線斜率都大于0,

即/(x)〉0,F'(x)=/'(%)-*>0,所以尸(x)=/(x)-依在(c,+8)遞增，

綜合①②③④有，F(xiàn)(x)=/(x)-依有1個極大值點，2個極小值點，故A正確.

故選：AC.

【點睛】考查函數(shù)零點以及極值點個數(shù)的判斷，函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)或與x軸交點的個數(shù),

函數(shù)的極值點個數(shù)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)變號零點的個數(shù)，中檔題.

12.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若0<玉<々，則下列結(jié)論正確的是()

A.x2/(x1)<x,/(x2)

B.%+/(%)<々+/(工2)

/(%,)-/(%,)<()

,%-々

D當(dāng)，<玉<龍2時，X|/(X|)+x2/(x2)>2x2f(%j)

【答案】AD

【解析】

【分析】

設(shè)g(x)="i=lnx,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,可判斷A；設(shè)/z(x)=/(x)+x,則〃'")=加％+2不是恒

X

大于零，可判斷B；f(x)=xlnx,/'(x)=/nx+l不是恒小于零，可判斷C；當(dāng)x，時，lnx>-\,故

r(x)=/nx+l〉O,函數(shù)/(x)=xlnx單調(diào)遞增，故

-%)[/5)-/(%)]=%J(內(nèi))+)-W(內(nèi))-%J(々)>0,

即罰/(%])+工2/(工2)>工2/(%)+%/(%2)，由此可判斷D.得選項.

【詳解】設(shè)g(x)=/3=lnx,函數(shù)單調(diào)遞增，所以g(x,)>g(x),所以即有

Xx2X)

%了(工2)>*2/(X|)，故A正確；

設(shè)Mx)=f(x)+x,則”(x)=/nx+2不是恒大于零,所以X]+/(%)<*2+/(工2)不恒成立，故B錯誤:

f(x)=xlnx,_T(X)=/TU+1不是恒小于零，所以,/(*)-/"?)<0不恒成立,故C錯誤；

%-%2

當(dāng)x>g時，hvc>—1,故/'(x)=/〃x+l>0,函數(shù)〃無)=xlnx,x>，單調(diào)遞增，

故(々-%)[/(々)-/(h)]=%/(%)+9/“2)72/(內(nèi))-％/(*2)>。,

即尤1/(玉)+々/(工2)>工)(七)+七/(工2)，又Inx?=/(々)>"')=InX],所以%〃%,)>/〃％),

x2X]

所以工2〃%)+%/(X2)>2*2/(%)，所以有』1(丁)+為2/(“2)>2%2/&)，故D正確.

故選：AD.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷不等式是否成立，屬于較難題.

三、填空題：(每題5分，共20分)

13.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

【答案】y=2x

【解析】

【分析】

設(shè)切線的切點坐標為(%,%)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用y1=2,求出毛,代入曲線方程求出先，得到切線的

點斜式方程，化簡即可.

【詳解】設(shè)切線的切點坐標為(/,%)，y=Inx+x+1,V=!+1,

X

y|,v『=」-+1=2,%=1,%=2,所以切點坐標為(1,2),

xo

所求的切線方程為y-2=2(x-l),即y=2x.

故答案為：y=2x.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知A為拋物線C：y2=2px(〃>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12,到)，軸的距離為9,則

P=.

【答案】6

【解析】

【分析】

根據(jù)點A到C的焦點的距離為⑵由拋物線的定義得到|A同=4=12,然后由點A到y(tǒng)軸的距離為9,

得到％=9求解.

【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,因為點A到C的焦點的距離為12,

所以由拋物線的定義知=4+曰=12,

又因為點A到y(tǒng)軸的距離為9,

所以4=9，

所以￡3,

2

解得26.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查拋物線的定義，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.某個部件由三個元件按圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工

作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1O()O,5()2),且各個元件能否正常相互

獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為

元件1

【答案】不

【解析】

設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A,B,C,顯然P（A）=P（B）=P（C）=g,

二該部件的使用壽命超過1000的事件為（A耳+4B+AB）C.

該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P=U-xi+lxl+lxi|x■L=3

（222222）2-8

16.一個盒子里有2個紅1個綠2個黃球，從盒子中隨機取球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)取

球停止時拿出黃球的個數(shù)為隨機變量小，則P（€=0）=_,E（J）=.

【答案】（1）.1（2）.|

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求得4的取值，結(jié)合題意，求得其分布列，則P（4=0）,七偌）得解.

【詳解】根據(jù)題意可知,4可取0,1,2,

]_

2

（此時取球情況是：第一次取紅球；第一次取綠球，第二次取紅球）

^=1)=2X1+2X1X2+1X1X2=1

,,525435233

（此時取球情況是：第一次取黃球，第二次取紅球;

第一次取綠球，第二次取黃球，第三次取紅球;

第一次取黃球，第二次取綠球，第三次取紅球）

外=2)=1-2(=1)-。(=。)=，

故E(J)=Ocx—1+,lx-1+2Cx—12.

2363

12

故答案為：-；—.

23

【點睛】本題考查隨機變量分布列的求解，以及隨機變量數(shù)學(xué)期望的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

四、解答題：本大題共6小題.請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.記函數(shù)/(乃=坨(1一G：2)的定義域、值域分別為集合A,B.

(1)當(dāng)(7=1時，求AB；

(2)若"xeA”是“xw8”的必要不充分條件，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)(-1,0];(2)(?,()].

【解析】

【分析】

(1)由對數(shù)函數(shù)的定義域和值域求得集合A,正根據(jù)集合的交集運算可得答案；

(2)由已知條件可得B是A的真子集，從而可求得a的取值范圍.

【詳解】(1)a=l時，/(X)=lg(l-X2)'由1一/>0得-1<x<1,即A=(-1,1),

由0<1—％2<1得8=(—,0],

(2)“xwA”是“xwB”的必要不充分條件，則8是A的真子集，若a>0,

則由1—辦2>。得一JI<x<產(chǎn)，即A=(-與(1)類似得8=(-8,0],不合題意，

若a=0,則〃x)=lgl=0,即4=尺3={0},滿足題意，

若。<0,貝門—辦221，A=R,8=[0,-)，滿足題意.

綜上a的取值范圍是(-8,0].

【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的值域和定義域，以及集合間的交集運算，充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

V-22

18.設(shè)橢圓。：二+占v=1(。>。>0)的左、右焦點分別為耳，B，下頂點為A,。為坐標原點，點。到

crb"

直線4月的距離為絲，居為等腰直角三角形.

2

(1)求橢圓C的標準方程;

（2）若傾斜角為45。的直線經(jīng)過橢圓C的右焦點工，且與橢圓C交于M,N兩點（M點在N點的上方），

求線段MF2與NF2的長度之比.

【答案】⑴⑵景

【解析】

【分析】

（1）寫出直線A入的方程，由點。到直線A8的距離可得&=&兒，為等腰直角三角可得b=c,

結(jié)合即可得到橢圓標準方程.

（2）寫出經(jīng)過右焦點與，傾斜角為45。的直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，可得為,和y”從而得到所求長度

之比.

【詳解】（1）由題意可知：直線AF,的方程為二+2=1,即一反+cy+bc=O,

c-b

「bebe*/2

點。到直線AE）的距離為—,則/==—=——>a=y/2bc

2^lb2+c2。2

因為八4百工為等腰直角三角形，所以h=c,可得a=?2,

又a2=〃+c2,可解得&=&，b=l,c=l,

所以橢圓C的標準方程為三+y2=l.

2

（2）傾斜角為45。的直線經(jīng)過橢圓。的右焦點與，則直線方程為y=x-1,

V=x-1,1

聯(lián)立c2C，得3y2+2y—1=0,所以y=-1或二，

x+2y=23

所以M瑪=H=1.

-

NF2|-1|-3

【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析能力和計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

19.班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機抽取一個容

量為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表:

學(xué)生序號i1234567

數(shù)學(xué)成績X,60657075858790

物理成績必70778085908693

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績

均為優(yōu)秀的人數(shù)為J，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績）'關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)

學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

附：線性回歸方程丁=加+〃，

_

工（七一龍）（》7）

其中人=旦~^------------，a=y-bx

之（西-九）2

i=\

7_7__

￡（七7）2

Xy

1=1i=\

7683812526

【答案】（1）不同的樣本的個數(shù)為c；4cl

9

（2）①分布列見解析，E^）=-.

②線性回歸方程為y=0.65%+33.60.可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.

【解析】

【分析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數(shù).

（2）7名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生，任取3名學(xué)生，都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)J服從超幾何分布，

故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預(yù)

測該同學(xué)的物理成績.

7

【詳解】（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為一x24=4名,

42

7

18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為一xl8=3名，

42

故不同的樣本的個數(shù)為C。二

（2）①名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，

二4的取值為0,1,2,3.

，叱。）噌《P（X）=等嗤

C：C；=12「31

P(DP(J=3)=T=—

~C[~~35'7C；35

???J的分布列為

0123

418121

P

35353535

八c4,18c12cl9

/.E(j)=0x--F1x---F2x---F3x—=一.

'，353535357

②?.?/,=當(dāng)。0.65,a=y-bxx=83-0.65x76=33.60.

912”

...線性回歸方程為y=0.65x+33.60-

當(dāng)x=96時，y=0.65x96+33.60=96.

可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分.

【點睛】在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超凡何

分布等）.

20.已知函數(shù)y=〃x）,若在定義域內(nèi)存在%,使得/（一與）=-/（%）成立，則稱X。為函數(shù)/（X）的局

部對稱點.

（1）證明：函數(shù)/（x）=2，-1在區(qū)間11,2］內(nèi)必有局部對稱點；

（2）若函數(shù)/（*）=4'-“2川+〃22-3在7?上有局部對稱點，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）及

【解析】

【分析】

(1)設(shè)f=2'(-l?x?2),可求出f+-=2的解為，=le5M，從而可知當(dāng)升=0時，

2』T=一2%+1成立，即可證明函數(shù)"X）=2',-1在區(qū)間［-1,2］內(nèi)必有局部對稱點；

（2）由題意知f（T）+〃x）=O在R上有解,令2'+2--，則『一2〃〃+2加一8=0在f?2,物）上

有解，結(jié)合二次函數(shù)零點的分布，分別討論方程在fe［2,+0。）上根的個數(shù)，得到關(guān)于加的不等式，從而可

求出實數(shù)〃?的取值范圍.

【詳解】證明：（1）設(shè)1=2%—l〈xW2）,則會〈W4,令仆_=2,則/_2"1=0,

解得r=le；,4,即當(dāng)/=。時，2-廂-1=一2廚+1，即/（一%）=一/（%）成立，

即函數(shù)/（無）=2、-1在區(qū)間［-1,2］內(nèi)必有局部對稱點

解：（2）f（-x）=4-x-m-rx+'+m2-3,則/（一x）+〃x）=0在R上有解.

xv

即AT-m-2-M+加2-3+4-m-2田+加？一3=（）在R上有解，

于是（4'+4-'）—2加-（2'+2-4+2（機2-3）=（）（*）在R上有解.

令2，+2-*=，，則4*+4一』2一2,所以方程（*）變?yōu)椤阂??川+2//-8=（）,

設(shè)玉＜/＜0，貝12*1+2-r,-（2七+2T2）=22*+1-2?"+1=Q】TQ1-2一）,

\/2A'I2*22V|+A'2

由王＜工2＜。，y=2”在R上單調(diào)遞增知，2苦一2&＜0，2?*＜1，2g＞o，

即此時2』+2一為—（2處+2』）＞0,所以函數(shù)y=2,+2-工在（-oo,0）上單調(diào)遞減；

設(shè)0＜玉＜々，則2為+2一為一（2*+2-通）=2"+1_2"+1=（2'—，

\/2J|2眼2為+.

由0＜玉＜々，y=2”在R上單調(diào)遞增知，2"—2應(yīng)＜0，2*計為＞1，2t|+X2＞0,

即此時2H+25-（2應(yīng)+『）＜0,所以函數(shù)y=2x+27在（0,+力）上單調(diào)遞增；

故fe［2,xo）,從而已知即『一2就+2加2一8=0在r?2,+co）上有解.

設(shè)義（。=/―2機r+2w?-8（?＞2）,分為兩種情況:

①當(dāng)方程有在te[2,+co）唯一解時：

g（2）=4-4m+2m2-8=0

2

則g(2)=4-4/72+2m一8<0或〈-^<2

2

g⑵=4-4m+2/-8=0

解g⑵<0得，-V3+1<m<V3+1；解<-2m得,m--V3+1，

W2

12

則-百+1</?z<V3+1；

②當(dāng)方程在，e[2,+。。）有兩個解時:

^(2)=4-4/?Z+2W2-8>0m>V3+1或m<1-V3

,A=W-4(2m2-8)>0=<-242<m<2A/20V3+l<m<2>/2.

-2m.m>2

----->2

綜上得1—百W加

【點睛】本題考查了換元法的應(yīng)用，考查了由二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的取值范圍.在第二問中，通過換

元將函數(shù)在R上有局部對稱點問題，轉(zhuǎn)化為「一2mt+2加2—8=0在fe[2,zo）上有解.已知二次函數(shù)的零

點求參數(shù)的取值范圍時，常依據(jù)/與0的大小關(guān)系，對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值列關(guān)于參數(shù)的不等式.

21.

、，—

已知函數(shù)/（尤）=（元,

（D求/（幻的單調(diào)區(qū)間；

（ID若對于任意的XC（0,48）,都有/（x）s,,求上的取值范圍.

e

【答案】（I）當(dāng)我〉0時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（―8,—心和伏,+8）：單調(diào)遞減區(qū)間是（一左,外，當(dāng)上<0

時，/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（T&Q和（―k+8）：單調(diào)遞減區(qū)間是出一左）.

1

（II）[——,01，

2

【解析】

【分析】

12

【詳解】f'(x)=-(x2-k2)ek,令/'(x)=0,x=土跖當(dāng)2>0時,/(X)J'(x)的情況如下:

k

XS,-k)—k(-k,k)k伏,+oo)

f'M—

+00十

fM4k2e-i

0

所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(…，―左)和(幺+8):單調(diào)遞減區(qū)間是(―左/)，當(dāng)攵＜0時，f(x)與/'(X)

的情況如下：

X(-co,Qk(k,-k)