全國通用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯題-易錯點4 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

易錯點04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

易錯分析

易錯點1：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微

積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

易錯點2：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值

求函數(shù)F(x)在［a,6］上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(a,6)內(nèi)的極值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),fS；

(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),F(6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。

易錯點3：對“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚

1f(x)>0oxwAUBU…。/(幻增區(qū)間為4,8和...

f\x)<0oxeCUDU…o/(幻增區(qū)間為C,。和…

xem/'(x)>0=>/(尤)在區(qū)間。上為增函數(shù)

xe。時「(x)<0n/(x)在區(qū)間。上為減函數(shù)

xw。時f(x)=On/(x)在區(qū)間。上為常函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問題的討論.

易錯點4：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點

研究函數(shù)圖像的交點、方程的根、函數(shù)零點，歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等。

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，借助零點村子性定理判斷；另一方面,

也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決。

錯題糾正

1.對任意的王,々?1,3］,當(dāng)4<三時，恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.[3,+co）B.（3,-KO）C.[9,+oo）D.（9,+oo）

【答案】C

xx

【詳解】依題意，\~2—>0<=>x]—^Inx,-(x2--1lnx2)>0,令f(x)=*-=lnx,xe(l,3|,

3x2333

則對任意的再再€(1,3],當(dāng)不<毛時，f(X])>f(x2),即有函數(shù)/(x)在(1,3]上單調(diào)遞減，

因此，Vxe(l,3],尸(x)=l-*40oa23x,而(34”=9,則/9,

所以實數(shù)。的取值范圍是[9,y).

故選：C

2.若函數(shù)/(x)=x2+?xe，_aeRae/?)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

()

【答案】D

【詳解】由M+ore'-aeZ'O得=令g(x)=j,

由/(加M=。，得E因此函數(shù)g(x)在(5)上單調(diào)遞增,在(…)上單調(diào)遞減，且

g(O)=O,當(dāng)x>0時，g(x)=￡>0,則g(x)=￡的圖像如圖所示：

即函數(shù)g(x)的最大值為g6=:,

令"三,41)，則咐)=r+S-a=0,

由二次函數(shù)的圖像可知，二次方程的一根工必在(0，)內(nèi)，另一-根或12=°或“(fO)匕

當(dāng)右=工時，。=」一,則另一根乙=二匚，不滿足題意，

ee~-e1-e

當(dāng)3=0時，a=0,則另一根”0,不滿足題意，

2

02+。0—。<0

le

當(dāng)2(一8,0)時，由二次函數(shù)刈/)=/+)-。=0的圖像可知,1T+”M>0'

⑴e

解得0<〃<^5——，

e--e

則實數(shù)。的取值范圍是(0,J—

Vl-e

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x)=：d+cosx,尸(x)是函數(shù)，(x)的導(dǎo)函數(shù)，則尸(x)的圖像大致是

【詳解】/(x)=(x2+cosx則/'(x)=；x-sinx,則函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)，排除BD；

=排除A；

故選：C.

4.已知函數(shù)f(x)=-3(lnx)2+以，若上￡口,/]時，/3)在x=l處取得最大值，則實數(shù)的取值

范圍是()

A.18,/B.(-8,0]C.(。假

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意得fM<AD當(dāng)x￡[1,，]時恒成立

3

貝Ij-3(lnx)2+tzxKa,即a(x-l)43(lnx)2

.?.當(dāng)xw[l,e[時，y=a(x—1)在g(x)=3(lnx『圖像的下方

g〈x)=等，則g'(l)=0,貝ij“vo

故選：B.

J?...鼠…?????，?

I?;、.e*

5.已知尸(x)是定義在"上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，且〃x)-f'(x)<0,則下列不等式一定成立的

是()

A.e3/(-2)>/(l)B./(-2)<e3/(l)

C.d〃2)D./(l)<eA(2)

【答案】C

【詳解】設(shè)8(“=冬，則g，⑺/“丁力

因為f(x)—/'(x)<0,所以g'(x)>0,則g(x)在月上單調(diào)遞增.

因為一2<1,所以g(—2)<g⑴，即與'<#,

所以e3/(-2)</(1),則A錯誤；

因為〃-2),/(1)的大小不能確定，所以〃-2),e"(l)的大小不能確定，則B錯誤；

因為1<2,所以g⑴<g⑵，則所以y⑴</(2),則C正確；

ee

因為〃1),/(2)的大小不能確定，所以/(1),寸(2)不能確定，則D錯誤.

故選:C

4

舉一反三?

1.若直線/與曲線片石和/+都相切，則/的方程為()

A.片2廣1B.產(chǎn)2A+/C.片/爐4DC.y=—1^-―1

J22

【答案】D

【詳解】設(shè)直線/在曲線y=4上的切點為后)，則％>0,

函數(shù)y=?的導(dǎo)數(shù)為卜'=大，則直線/的斜率%=東，

設(shè)直線/的方程為丫-后=E^(x-x0),即X-26y+M=O,

ce1Xn1

由于直線/與圓*+y-=g相切，則正+4.'=百

兩邊平方并整理得5年-4%-1=0,解得%=1,x0=-1(舍),

則直線/的方程為x-2y+l=0,即y=；x+g.

故選：D.

2.設(shè)a*0,若x=a為函數(shù)〃x)=a(x—a)2(x-/>)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D?ab>cT

【答案】D

【詳解】若a=b，則〃X)=“(》-”為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故/b.

.??/(X)有x=a和x=b兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=b左右附近是變號的.

依題意，x=a為函數(shù)/(x)=a(x-0)'(x-b)的極大值點，二在x=a左右附近都是小于零的.

當(dāng)"0時，由x>b,/(x)<o,畫出f(x)的圖象如下圖所示：

5

當(dāng)。>0時，由x>b時，，/(%)>0,畫出“X)的圖象如下圖所示:

由圖可知人〃，a>0,故出>>/.

綜上所述，.:成立.

故選：D

3.設(shè)「一|是函數(shù),的導(dǎo)函數(shù)，將，和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不

6

y

【答案】D

【詳解】解析：檢驗易知A、B、C均適合，不存在選項D的圖象所對應(yīng)的函數(shù)，在整個定義域

內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f(x)和丫=廣(x)在整個定義域內(nèi)具有完全相同的走勢，不具有這

樣的函數(shù)，故選D.

4.已知|,設(shè)函數(shù)若關(guān)于H的不等式1—恒成立,

則.的取值范圍為

-

【答案】C

【詳解】???，即［一

(1)當(dāng)廠時,

當(dāng)L1時,二

故當(dāng)［I時,二在匚一〔上恒成立;

若

令

當(dāng)匚二口函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減,

故,所以匚二.當(dāng)廠一I時,］在1一I上恒成立;

綜上可知，口的取值范圍是1,

故選C.

5.已知正四棱錐的側(cè)棱長為1,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且

則該正四棱錐體積的取值范圍是(

二B.C.D.

【答案】C

7

【詳解】V球的體積為匚1,所以球的半徑匚二1，

設(shè)正四棱錐的底面邊長為口,高為口,

則

所以

所以正四棱錐的體積

所以

當(dāng)時，匚二］,當(dāng)時，一,

所以當(dāng)時，正四棱錐的體積口取最大值，最大值為，

時，口

又口時,

故選：C.

)

8

A.

C.D.

【答案】D

［詳解］_____________,則―

當(dāng)匚二］時，匚口，

所以切線方程為I,即

故選：D.

2.已知［一且.則實數(shù)&的值為（)

A.口B.口C.口

D.

【答案】D

【詳解】：

故選：D.

3.設(shè)函數(shù)一在定義域內(nèi)可導(dǎo)，,二的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是

9

【答案】A

【詳解】解：由口的圖象可知，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；

當(dāng)「|時「先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于匚再大于口,

最后小于白，故排除B；

故選：A

4.已知函數(shù)恒

成立，則實數(shù)A的取值范圍是（

A._____B.

C.D.

【答案】D

【詳解】

當(dāng)時,

若匚I，f1>[1恒成立,則|即「-I，

所以廠所以實數(shù)在的取值范圍是.

故選:D.

5.已知函數(shù)「一若「1時，處取得最大值，則實數(shù)a的取

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值范圍是（)

D.

【答案】B

故選：B.

6.已知函數(shù),，則不等式的解集為（）

【詳解】］r的定義域為廠:

因為廠|口,所以廠＞「"|上單調(diào)遞減,

7.如圖所示為某“膠囊”形組合體，由中間是底面半徑為1,高為2的圓柱，兩端是半徑為1

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的半球組成，現(xiàn)欲加工成一個圓柱，使得圓柱的兩個底面的圓周落在半球的球面上，則當(dāng)圓柱

)

C.。?口

【詳解】設(shè)該幾何體的內(nèi)接圓柱的底面半徑為,則其高為

該內(nèi)接圓柱的體積為

因為

所以當(dāng)時體積有最大值;

故選：A.

所以單調(diào)增區(qū)間為］_單調(diào)減區(qū)間為