數(shù)學高一專題-平面向量

數(shù)學高一專題平面向量1.非零向量a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。

零向量平行于任何向量。

非零向量

a⊥b的充要條件是a?b=0。

零向量0垂直于任何向量.

2.向量的加法

:向量的加法滿足平行四邊形法那么和三角形法那么。

3.向量的減法滿足三角形法那么。

4.數(shù)乘向量

實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量對于數(shù)的分配律〔第一分配律〕：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律〔第二分配律〕：λ(a+b)=λa+λb.

5.

向量的數(shù)量積的運算律

a?b=b?a〔交換律〕；

(λa)?b=λ(a?b)(關于數(shù)乘法的結合律)；

〔a+b)?c=a?c+b?c〔分配律〕；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|2。

a⊥b〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

向量的數(shù)量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；

向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=a?c(a≠0)，推不出b=c。

由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

6.向量的向量積

a×b=|a|?|b|cos

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a//b〈=〉a×b=0。

題型一：根底回憶1、設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，那么eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))2、如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，那么λ＝________．變式練習3、點A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)4、在平面直角坐標系中，正方形的對角線的兩端點分別為，，那么 . 5、在直角坐標系xOy中，點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)假設m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．6、如圖，O，A，B三點不共線，,,設

(1)試用a，b表示向量；

(2)設線段AB，OE，CD的中點分別為L，M，N，試證明L，M，N三點共線．

題型二：技能拓展1、向量a=(2,1),a?b=10,|a+b|=，那么|b|=〔〕.A.B.C.D.2、向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，假設ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，那么m－n的值為________變式練習3、平面向量a與b的夾角為600，a=(2,0)，|b|=1那么|a+2b|=〔〕〔A〕(B)(C)4(D)124、設a、b、c是單位向量，且a·b＝0，那么(a-b)·(b-c)的最小值為()〔A〕〔B〕〔C〕(D)5、a=(-3,2),b=(-1,0)，向量a+b與a-2b垂直，那么實數(shù)的值為〔〕〔B〕〔C〕〔D〕6、a＝(1，1)，向量a與b的夾角為eq\f(3π,4)，且a·b＝－1.(1)求向量b；(2)假設向量b與向量p＝(1，0)的夾角為eq\f(π,2)，向量q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA，2cos2\f(C,2)))，其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A＋C＝eq\f(2π,3)，求|b＋q|的最小值．1、〔2016年天津高考〕△ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，那么的值為〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕2、〔2016年北京高考〕向量，那么a與b夾角的大小為_________.3、〔2016年山東高考〕向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．假設a⊥(ta+b)，那么實數(shù)t的值為________．4、〔2016年全國II卷高考〕向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，那么m=___________.5、(2016·四川雅安模擬)向量a＝(2sinx，eq\r(3)cosx)，b＝(－sinx，2sinx)，函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2eq\r(3)，a＞b，求a，b的1.(2016·四川，10)在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝－2，動點P，M滿足|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，那么|eq\o(BM,\s\up6(→))|2的最大值是()A.eq\f(43,4)B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4)D.eq\f(37＋2\r(33),4)2.(2016·山東，8)非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).假設n⊥(tm＋n)，那么實數(shù)t的值為()A.4B.－4C.eq\f(9,4)D.－eq\f(9,4)3.(2016·全國Ⅱ，3)向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，那么m＝()A.－8B.－6C.6D.81.(2015·安徽，8)△ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，那么以下結論正確的選項是()A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))2.(2015·四川，7)設四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，假設點M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，那么eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A.20B.15C.9D.63.(2015·重慶，6)假設非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，那么a與b的夾角為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D.π4.(2015·陜西，7)對任意向量a，b，以下關系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)(a－b)＝a2－b25.(2014·新課標全國Ⅱ，3)設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，那么a·b＝()A.1B.2C.3D.56.(2014·天津，8)菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.假設eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，那么λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)7.(2016·浙江，15)向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.假設對任意單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，那么a·b的最大值是________.8.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，那么|eq\o(AE,\s\up6(→))|·