應用隨機過程課件第05章隨機信號的功率譜密度

CH4隨機信號的功率譜密度

4/4/20241隨機過程的譜分析功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系功率譜密度的性質(zhì)互譜密度及其性質(zhì)白噪聲提綱4/4/20242隨機過程的譜分析頻譜的簡單回憶非隨機信號的傅立葉變換 設s(t)是時間t的非周期實函數(shù)，其傅立葉變換存在的條件為： (1)s(t)在范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 (2) 或備擇條件信號的總能量有限4/4/20243隨機過程的譜分析頻譜的簡單回憶假設s(t)滿足上述條件，其傅立葉變換對存在〔正變換〕〔反變換〕其中S(w)稱為信號s(t)的頻譜，它反映了信s(t)中各頻率成分的分布狀況4/4/20244隨機過程的譜分析頻譜的簡單回憶帕賽瓦爾等式其中被積函數(shù)稱為能量譜密度上式說明，信號的能量也可以由能量譜密度在整個頻率范圍的積分乘以得到

4/4/20245隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度一個問題：隨機過程的持續(xù)時間是無限的，其總能量也是無限的，不滿足傅立葉變換的絕對可積條件，隨機過程的頻譜不存在解決：研究隨機過程的平均功率4/4/20246隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度隨機過程的截斷函數(shù)任取隨機過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)，定義其截斷函數(shù)為4/4/20247隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度截斷函數(shù)的傅立葉變換x(t)是隨機過程X(t)的一個樣本函數(shù)，因此，和都是實驗結果的隨機函數(shù)，表示為和4/4/20248隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度樣本函數(shù)的平均功率4/4/20249隨機過程的譜分析信號的平均功率可以分別由和在時域和頻域內(nèi)積分得到定義功率譜密度函數(shù)4/4/202410隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)(1)當在整個頻率范圍內(nèi)對它積分，得到信號的總功率(2)描述了信號功率在各個不同頻率上分布的情況4/4/202411隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度函數(shù)對所有的樣本函數(shù)的功率譜密度取統(tǒng)計平均，得到的結果不再具有隨機性，而是頻率確實定函數(shù)，稱為隨機過程的功率譜密度函數(shù)4/4/202412隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度隨機過程的平均功率對所有樣本函數(shù)的平均功率取統(tǒng)計平均4/4/202413隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度隨機過程的平均功率隨機過程的平均功率可以由它的均方值的時間平均得到，也可以由它的功率譜密度在整個頻域上積分得到4/4/202414隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度假設隨機過程為平穩(wěn)隨機過程均方值為常數(shù)，與時間t無關，故平穩(wěn)隨機過程的平均功率等于該過程的均方值，它可以由隨機過程的功率譜密度在全頻域的積分得到4/4/202415隨機過程的譜分析隨機過程的功率譜密度假設隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)過程樣本函數(shù)的功率譜密度和隨機過程的功率譜密度以概率1相等4/4/202416隨機過程的譜分析例：隨機過程X(t)為 式中，是常數(shù)，是在上均勻分布的隨機變量，求隨機過程X(t)的平均功率解：4/4/202417隨機過程的譜分析 顯然不是常數(shù)，故這個過程不是平穩(wěn)隨機過程，因此平均功率為4/4/202418功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系自相關函數(shù)是從時間角度描述過程統(tǒng)計特性的最主要的數(shù)字特征功率譜密度是從頻率角度描述過程統(tǒng)計特性的數(shù)字特征可以證明：平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率譜密度之間構成傅里葉變換對4/4/202419功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系維納-辛欽定理平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關函數(shù)為傅里葉變換對4/4/202420功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系證明：根據(jù)

故：4/4/202421功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系

令

4/4/202422功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系

定義為自相關函數(shù)的時間平均

得到：

結論：對于任意隨機過程，它的自相關函數(shù)的時間均值與過程的功率譜密度互為傅里葉變換4/4/202423功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系 當X(t)為平穩(wěn)隨機過程時 故： 于是： 平穩(wěn)過程的功率譜密度就是其自相關函數(shù)的傅里葉變換4/4/202424功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論(1)利用自相關函數(shù)和功率譜密度都是偶函數(shù)的性質(zhì)，維納-辛欽定理可表示成4/4/202425功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論(2)負頻率只是為了數(shù)學上的處理方便，實際中并不存在，定義“單邊譜密度”，也稱“物理功率譜密度”，記為4/4/202426功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論(3)維納-辛欽公式在含有直流或周期性成分的平穩(wěn)隨機過程的推廣平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關函數(shù)互為傅里葉變換對要求絕對可積，即4/4/202427功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論問題：對于直流信號或周期信號，由于有在離散的頻率點上〔零帶寬內(nèi)〕的平均功率存在，這些頻率點上的功率譜密度是無限值，不滿足絕對可積條件解決：將直流分量在各個頻率點上的無限值用一個函數(shù)來表示，借助函數(shù)的性質(zhì)及其傅里葉變換對，將維納-辛欽公式推廣到含直流或周期成分的平穩(wěn)過程中4/4/202428功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論1)如果平穩(wěn)過程有非零均值〔直流分量〕，非零均值可用頻域原點處的函數(shù)表示，該函數(shù)的權值即為直流分量的功率2)如果平穩(wěn)過程含有對應于離散頻率的周期分量時，該成分就在頻域的相應頻率上產(chǎn)生函數(shù)4/4/202429功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系幾點討論3)函數(shù)的傅里葉變換對4/4/202430功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系例：假設隨機過程X(t)的相關函數(shù)為 ，求功率譜密度解：4/4/202431功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系例：假設隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為，求功率譜密度解：4/4/202432功率譜密度與自相關函數(shù)之間的關系4/4/202433功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：非負性性質(zhì)2：是實函數(shù)性質(zhì)3：是偶函數(shù)性質(zhì)4：4/4/202434互譜密度及其性質(zhì)定義互譜密度函數(shù)互平均功率4/4/202435互譜密度及其性質(zhì)互譜密度與互相關函數(shù)的關系對于任意兩個實隨機過程X(t)，Y(t)，其互譜密度與互相關函數(shù)的時間均值成傅立葉變換對對于聯(lián)合平穩(wěn)的X(t)，Y(t)，其互譜密度與互相關函數(shù)成傅立葉變換對4/4/202436互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：互譜密度的實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)4/4/202437互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)3：假設X(t)與Y(t)正交，那么有性質(zhì)4：假設X(t)與Y(t)不相關，X(t)，Y(t)分別具有常數(shù)均值，4/4/202438互譜密度及其性質(zhì)例：平穩(wěn)過程X(t)，Y(t)的互譜密度為 式中，，a,b為實常數(shù)，求互相關函數(shù)解：4/4/202439白噪聲理想白噪聲定義：N(t)為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度均勻分布在的整個頻率區(qū)間其中為正實常數(shù)白噪聲的自相關函數(shù)4/4/202440白噪聲理想白噪聲說明白噪聲在任何兩個相鄰時刻的狀態(tài)都是不相關的，即白噪聲隨時間的起伏很快，其功率譜極寬事實上，白噪聲并不存在，實際中，當我們所研究的隨機過程，在比有用頻帶寬得多的范圍內(nèi)