浙江省嘉興市2023屆高三下學(xué)期4月教學(xué)測試(二模)數(shù)學(xué)試題 含解析

2023年高三教學(xué)測試

數(shù)學(xué)試題卷

2023.4

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,已知集合“十吟<1}，3={g+T"°},則Nn八()

A.{x∣-2<%<2}B.{x∣-2≤x≤l}

C.{x∣0<X≤1}D.{x∣0<%<2}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得兩個(gè)集合，再根據(jù)交集計(jì)算即可.

【詳解】由題意，可得1082%<1=1。822,;./={》~<》<2}；

f+%一2≤0,6={x卜2≤X41},

則∕∏8={x∣0<x≤l},

故選：C.

2.(x—2y+3z)6的展開式中d/z的系數(shù)為()

A.-60B.240C.-360D.720

【答案】D

【解析】

【分析】將(x-2y+3z)6看成6個(gè)(X-2y+3z)因式，分3步分析X，KZ的取法，由分步計(jì)數(shù)原理以及多

項(xiàng)式乘法分析即可得答案.

【詳解】展開式中的dVz項(xiàng)可以看成6個(gè)因式(x-2y+3z)中，

其中3個(gè)取X,剩下的3個(gè)因式中2個(gè)取(-2回，最后一個(gè)取3z,

即得到e??x3-Cj-(―2yP(3z)=720√y2z.

所以展開式中xiy2z項(xiàng)的系數(shù)為720.

故選：D.

3.已知｛4｝是公差不為O的等差數(shù)列，％=2,若％,生，%成等比數(shù)列，則出023=)

A.2023B.2024C.4046D.4048

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)力,%，生成等比數(shù)列列方程，得到，/=1，再計(jì)算%023即可.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛可｝的公差為d,且dxθ,

2

若生,6,％成等比數(shù)列,WJ03=α1a7,又al=2,

所以（2+2d）2=2（2+61）,化簡4t∕2-4d=0,4√（J-l）=0,

又d≠0,所以d=l,

所以/23=2+2022x1=2024.

故選：B.

4.相傳早在公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯就首次測出了地球半徑.厄拉多塞內(nèi)斯選擇在夏至

這一天利用同一子午線（經(jīng)線）的兩個(gè)城市（賽伊城和亞歷山大城）進(jìn)行觀測，當(dāng)太陽光直射塞伊城某水

井S時(shí)，亞歷山大城某處A的太陽光線與地面成角6=82.8°，又知某商隊(duì)旅行時(shí)測得A與S的距離即劣弧

益的長為5000古希臘里，若圓周率取3.125,則可估計(jì)地球半徑約為（）

A.35000古希臘里B.40000古希臘里

C.45000古希臘里D.50000?占希臘里

【答案】B

【解析】

【分析】利用「圓心角所對應(yīng)的弧長是I=翳即可求解.

【詳解】設(shè)圓周長為C,半徑長為R,兩地間的弧長為/,對應(yīng)的圓心角為〃°,

?.?360°的圓心角所對應(yīng)的弧長就是圓周長C=2πR,

.?.1。的圓心角所對應(yīng)的弧長是I=翳，即哈,

于是在半徑為R的圓中，〃。的圓心角所對的弧長/為：/=皿

180

180/

?！?/p>

當(dāng)/為5000古希臘里,〃=90°—0,即〃=7.2°時(shí),

180/_180x5000

=40000古希臘里.

πn3.125×7.2

故選：B.

5.已知正九邊形44…4,從石,石,…,而中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為

()

I2

L5b?yc.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，列出基本事件求概率即可.

可以和向量構(gòu)成數(shù)量積有44，…，44一共8個(gè)向量，

其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：N，N，N，可一共4個(gè)，

41

由對稱性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：一=一.

82

故選：A

6.已知正方體力3。。一44￡2的棱長為2,P為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足Zpl平面//O,過作與力尸平

行的平面，與4G交于點(diǎn)0,則C。=()

A.1B.√2C.√3D.√5

【答案】D

【解析】

【分析】由題意知平面48。J?平面48。，可先令。為BC中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)。為AG中點(diǎn)時(shí)，滿足平

面46。上平面48。，即可輕易得出C。的值.

【詳解】因?yàn)镻為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足NP人平面48。，過48作與4尸平行的平面，與BG交于點(diǎn)Q,

所以NP〃平面48。,而Z尸人平面48。，故平面48。，平面480.

在正方體力8。。一44￡〃中，如圖所示，取44中點(diǎn)為尸，48中點(diǎn)為E,連接0E,QF,4C，

假設(shè)。為AG中點(diǎn)，則AZRQ為等腰三角形，48中點(diǎn)為E,所以

又因?yàn)?。_LA1C1,FQ??A1C1,所以8。_L/。，

中點(diǎn)為F,中點(diǎn)為E,所以EF//BB],而BBl上BD,所以EFd.BD，EFcFQ=F,EF,FQu

平面跖。，

所以8。人平面EFQ,EQU平面EFQ所以80LE。；

9

因?yàn)锽DLEQ,8OΓ∣48=8,8D,48U平面48O,

所以EQJ.平面480,EQU平面48。，所以平面//。J_平面，符合題意，

故。為Sg中點(diǎn)，CQ=JeCl2+*=拉+F=收

7.已知α=1.1∣~,Z）=12',c=1.3",則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用中間值1.2「2比較0,6的大小，再讓b,c與中間值13比較，判斷Ac的大小，即可得解.

【詳解】a=l,ll2<1,2'2<1,2'3=∕>>又因?yàn)橥ㄟ^計(jì)算知1.2"〈I人所以〈。刃"，即

1.2I-2<1,30?9.

X1.2o?'<1,30?'.所以1.23<1.3∣<1.3LI=c,所以α<6<c.

故選：B

8.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),若/'(—X)=/'(X)J(2x)+∕(2-2x)=3,則下列

結(jié)論不一定正確的是()

A./(l-x)+∕(l+x)=3B./'(2-x)=r(2+x)

c.Γ(∕(l-x))=∕,(∕(l+x))D./(Γ(?+2))=∕(∕,(x))

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意令x=2X可得/(x)+∕(2-x)=3,即函數(shù)/(χ)圖象關(guān)于U)對稱，即可判斷A；根

據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對稱性可得函數(shù)/'(X)的周期為2,即可判斷BD；由/'(2-x)=∕'(2+x)知函數(shù)

f?x)圖象關(guān)于直線X=2對稱，舉例說明即可判斷C.

【詳解】A：/(2x)+∕(2-2x)=3

令x=2x,得/(x)+∕(2-x)=3,則函數(shù)/(χ)圖象關(guān)于點(diǎn)(Ia對稱.

若/(l-x)+∕(l+x)=3,則函數(shù)/(χ)圖象關(guān)于點(diǎn)(I,?對稱，符合題意，故A正確；

B：由選項(xiàng)A的分析知/(x)+∕(2-x)=3,等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，

得了'(X)—/'(2-x)=0,即/(X)=Jf(2—x)①，

又/'(x)=/'(—X)，/'(x)為偶函數(shù)，所以r(2-x)=AX-2)②,

由①②得/'(X)=∕'(X-2),所以函數(shù)∕'(x)的周期為2.

所以f'(2-x)=∕'(x)=∕'(2+x),即/'(2—x)=∕'(2+x),故B正確;

C：由選項(xiàng)B的分析知/'(2-x)=∕'(2+x),則函數(shù)/(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱.

令/(lτ)=5—A(x),∕(l+x)='+A(x),若八5—A(x))=∕q+A(x)),

3

則函數(shù)/'(X)圖象關(guān)于直線x=5對稱，不符合題意，故C錯(cuò)誤；

D：由選項(xiàng)B的分析可知函數(shù)/'(X)的周期為2,則/'(x)=∕'(x+2),

所以/(/'(x))=∕(∕'(x+2)),故D正確.

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=Sin(3》+三卜0〉0),則()

A.若/(x)的最小正周期為兀，則0=2

B.若8=4,則/(x)在OT上的最大值為￡

「πl(wèi)1

c.若/(χ)在［o,R上單調(diào)遞增，則o<0≤5

-TT3

D.若/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則⑦的最小值為5

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A,若/(x)的最小正周期為兀，則T=f=π,所以0=2,故A正確;

/JC1兀κ,j4x+r[rτj'所以

對于B,若ω=4,則/(x)=Sin[4x+§J,當(dāng)XW0,-

3

Tl

,則/(x)在0,-上的最大值為1,故B不正確;

O

π

對于C,當(dāng)XG0,y則①X4∈—,一CDΛ,由于/(X)在0,—上單調(diào)遞增，所以一CO≤一，

3323v7L2J232

解得0<G≤!,故C正確;

3

對于D,/（x）的圖象向右平移1個(gè)單位得/[x-^J=sinIoX-Io+]J,因?yàn)槠錇榕己瘮?shù)，所以

兀ππI/r

---69+—=—+kit,Λ∈Z7,

3-32

所以。=一；一3左,左eZ,又切>0,則0的最小值為g,故D不正確.

故選：AC.

10.已知一組樣本數(shù)據(jù)%,》2,…，演（否<》2<…<X"），現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)W1'

和玉七五,則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)（）

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變

C.極差變小D.方差變小

【答案】ACD

【解析】

【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的概念計(jì)算即可.

【詳解】對于A項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的總數(shù)為：上產(chǎn)玉…+%|上=%+々+...+怎，與原數(shù)據(jù)總數(shù)一樣,

且數(shù)據(jù)數(shù)量不變都是〃，故平均數(shù)不變，A正確；

對于B項(xiàng)，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：1,2.5,3,則新數(shù)據(jù)為：—,2.5,2,顯然中位數(shù)變了，故B錯(cuò)誤；

2

對于C項(xiàng)，原數(shù)據(jù)極差為：X,,-X,新數(shù)據(jù)極差為：V1+^--??,

122

Zd產(chǎn)一土產(chǎn)一（X“_玉）=±ZI二當(dāng)H二三<o,極差變小了，故C正確；

對于D項(xiàng)，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，故方差變

小，即D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

11.已知拋物線V=2px（p>0）及一點(diǎn)夕（演，九）（非坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)尸作直線與拋物線交于

/（冷乂）,8（々,必）兩點(diǎn)，則（）

11I

A.若％）=。，則%以=—2px（）B.若XO=O，則—+—=一

y↑%y（）

z,2x

c.(Λ-??)(?o-J2)=Jo-P0D.\PA\]PB\=yl-2pxQ

【答案】ABC

【解析】

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得到y(tǒng)+為=2pRM藝=一22加,進(jìn)而代入運(yùn)算即可判斷ABC,根據(jù)向量

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷D.

【詳解】設(shè)直線48的方程為X=@+〃0),聯(lián)立直線與拋物線方程

x=ky+m,

2C=>y-2pky-2pm^0,iAy+y=2pk,yy=-2pm,

{y=2PXl2x2

由于0(x°,九)在直線ZB上，所以玉)=0。+加，

對于A,當(dāng)NO=O時(shí)，x0=m,則凹必=-2p∕%=-2pXo,故A正確，

c,1k11y∣+V2nA:-k1

對于B,當(dāng)XO=O時(shí)，0=?0+^=-=-----,所以一+—=-----7=——=——=一，故B正確，

2mm

y0加y↑y2弘%~P%

對于C,將必+%=2p左=-2p∕n代入可得

2

(%—凹)(%-％)=K—%(弘+乃)+yly2=yo-yo(M)-2pm=M-2y(IPk-2pm

=代-2y(,pk-2p(xf,—00)="-2px0,故C正確,

對于D,當(dāng)P在直線48上，由C知：(M)一%)(%一%)=尤一2px0，

由48,尸均在直線48：x=@+私(加≠0)上，可知Xl=伊+M,4=機(jī)+加，XO=僅1+加，

則(X-%-玉))=〃(凹-%)(%-%)

所以萬,麗=(Xl-Xo)(X2-X0)+(Jl-JO)(力-汽)=(1+1)包-汽)仇-%),

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外，則陷∣?∣P8∣=西?而=(二+1)國-2px0),

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之間，則歸ZlM用=-兩?而=一(公+1W2打。),

由于左的值不一定總為0,故|尸旬1尸6|=/-2PXO不能一直成立，故D錯(cuò)誤，

故選：ABC

12.已知菱形4SC。的邊長為2,/84)=60°,將沿對角線8。翻折，得到三棱錐P-8CZ),則

在翻折過程中，下列說法正確的是()

A.存在某個(gè)位置，使得尸C_LBC

B,直線8C與平面P8。所成角的最大值為60°

28τr

C.當(dāng)二面角P-BD-C為120°時(shí)，三棱錐P—5C。的外接球的表面積為——

3

D.當(dāng)PC=2時(shí)，分別以產(chǎn),民C,。為球心，2為半徑作球，這四個(gè)球的公共部分稱為勒洛四面體，則該勒

洛四面體的內(nèi)切球的半徑為2-逅

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】畫出簡圖，數(shù)形結(jié)合，通過對幾何體的觀察、作輔助線、空間想象、計(jì)算等方式分別判斷各選項(xiàng),

從而得出結(jié)論。

【詳解】APBC為等腰三角形，所以NPC6不可能是直角，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

如圖，直線BC和8。夾角為60。，平面尸8。Γl平面/8Cr>=60,菱形ZBCQ,所以CE，8。,當(dāng)平面

尸8。J_平面力BCD時(shí)，NCBD為直線BC與平面尸8。的平面角，此時(shí)直線BC與平面所成角為最

大角，為60°，選項(xiàng)B正確；

/PEC為二面角P-80-C的平面角，設(shè)三棱錐P—8。D的外接球的球心為O,半徑為尺，Z?3CD的

外心為。一則OE平分/尸EC,/OEC=60°,EO、=與,所以O(shè)q=I,&=?0?+QC?=[+,

28τr

三棱錐尸-BC。表面積為——，選項(xiàng)C正確;

3

設(shè)正四面體的外接球球心為。，半徑為火，勒洛四面體的內(nèi)切球的半徑為「，則

/7

OP=OB=R,OE=r=?^2?-R

3

2√6/,解得R=旦,由勒洛四面體的對稱性可知，內(nèi)

故OB?=BE2+OE2，即&2=----------K

3>2

切球切在每一個(gè)球面的中心，而頂點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為2,故尸=2-H=2-X5,選項(xiàng)D正確.

2

故答案為：BCD.

DW

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí).，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性

質(zhì)求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)Z滿足2z+5=6-i(i是虛數(shù)單位)，則Z的虛部為.

【答案】-1

【解析】

【分析】令z=α+bi,則W=α-bi，通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】令z=α+bi,則z=α-歷，

所以2z+T=2(α+bi)+(α—?dú)v)=3α+bi=6-i,故Z的虛部為-ι.

故答案為：-1.

14.已知圓G：(X-a)?+y2=4與G：/+3—bp=1(α,beR)交于48兩點(diǎn).若存在。，使得|，邳=2,

則b的取值范圍為.

【答案】[-√3,√3]

【解析】

【分析】根據(jù)圓與圓相交弦所在直線方程性質(zhì)求得直線46的方程，利用直線與圓相交弦長公式，求得

滿足的等式關(guān)系，根據(jù)方程有解，即可得b的取值范圍.

【詳解】圓G：(x—4+/=4的圓心C∣(α,0),半徑4=2,圓。2：一+3—6)2=1的圓心G(O1)，

半徑r2=1

若兩圓相交，則h-H<GG<4+2,所以1<<3,即l<∕+∕<9,

又兩圓相交弦/8所在直線方程為：(x—a/+j?一/一(歹―32=4_i即2ax—2勿—a?

+?2+3=O

222

/、∣2a-0-a+∕>+3∣z、

所以圓心G(α,0)到直線AB的距離&=J-----7———L,圓心G(0/)到直線AB的距離

√4a2+462

O-262—ci2÷/72÷3∣

44/+4/

,2+/?2+3∣

G

d—^3y∣4a2+4b2

則弦長以卻=2/2—42=2而_或=2，所以1λ,則,所以〃2+/=3,

22

d1=O?a+h-3?

O

y∣4a2+Ab2

若存在。，使得|44=2,則∕）2≤3,即—百<b≤JL所以b的取值范圍為卜6,6].

故答案為：[-√3,√3].

,1

15.已知直線/與曲線G：N=/和C?:^=--均相切，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

X

【答案】2

【解析】

【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其的幾何意義解得直線/的解析式即可求得結(jié)果.

1

【詳解】由已知得G、。2的導(dǎo)函數(shù)分別為：V=2x∕'=-r,設(shè)￡、。2上的切點(diǎn)分別為（玉，弘）、（》2，%），

X

21

Xi^∣---

則有：ZLΞA=2X1=—=____9，

2

X1-X2X2x1-X2

x↑=2,必=4

解之得：\1，故/：y=4x-4,

x2=5/2=-2

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為。,0）、（0,-4）,圍成的三角形面積為：∣×1×4=2.

故答案為：2.

22

16.已知橢圓C：t+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,耳，離心率為e,點(diǎn)P在橢圓上，連接PK

a^b

并延長交C于點(diǎn)0,連接。工，若存在點(diǎn)尸使IPq=IQEl成立，則e2的取值范圍為.

【答案】[8√2-ll,l）

【解析】

≤

【分析】設(shè)|。用=m,∣p凰=〃，所以存在點(diǎn)尸使I尸。I=IOKI等價(jià)于（歸。|一I。EILn°，由、+：=得

所以存在點(diǎn)尸使IPQl=I。6I等價(jià)于（|尸。HQKl）min<0,?PQ?-?Qf'2?=2m+n-2a,

在△尸片月中由余弦定理得P琦=PF；+FxF^-2PFy-FxF2-cosθ,

即（2。一〃）=/+4C2_2〃?2C?COS6,解得〃=--——,

a-ccosθ

同理可得加=---------,所以‘+'=與，

a-?-ccosθmHh~

2

所以cb"（?（?b?（n2加）^3+2Λ∕2j∕）

2a'?mnJ2a?mn）2a

lh

所以（2機(jī)+〃一2α）niM=^----2a，當(dāng)且僅當(dāng)〃=√2w時(shí)等號成立.

2a

由坦3"■一2a≤0得與≤12-8√Σ,所以8夜—114e2<l.

2aa~

故答案為：［8√2-ll,l）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立db,c的不等式，此時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為（|尸。|-|。巴|）加《0,

從而只需求?PQ?-?QF2?^2m+n-2a的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)α+會(huì)=|使用

基本不等式求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在中，角4民。所對的邊分別是。也c.已知b+c=24cos3.

TT

（1）若B=一,求A；

^(b+c+a](h+c-a}

(2)求?----------4----------的取值范圍.

ac

TT

【答案】(1)?

6

⑵(1,2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡可得SiaS=Sin(Z-B),則/=28,進(jìn)而求解；

(2)由(1),根據(jù)平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化簡可得

(b+c+α)(Z>+c-α)=2COS8,結(jié)合3∈[(),,]即可求解.

acI3)

【小問1詳解】

由正弦定理得sin5+sinC=2sin√lcos5，又SinC=Sin(4+8),

得si??fi=2sin?ICOSB-Sin(/+6),

sinB=2sin?ICoSB-(SirL4cos5+sin5cosA),

sinδ=sin/IeoS5-sin6cos力=Sin(4—8),

所以3=4一8或兀-8=/—8,

得/=26或%=乃(舍去)，

TTTT

若B=一,則/=—；

126

【小問2詳解】

22222

(6+c+α)(6+c-α)_ψψc)_a(b+c)-(?+c-2bccosA)26(l+cosJ)

acacaca

由正弦定理，得2b(l+ss∕)=2si聞l+co3),

aSin/I

由⑴知/=28,得2si?(l+cos∕)=2sin5(l+cos28),

sin4sin25

又cos2B=2cos28-1,sin28=2sin8cosB,

2sin5(l+cos25)2si∏δ?2cos2BCC

所以----------------L=-------j------------=2cos5,

sin252sin5cos5

即S+C+")S+I)=2COS8,

ac

而/+8=35<兀，所以B∈[θ,m),得cos8∈(;,l

故2cos8∈(l,2),即伍+c+α)S+I)G(IZ

ac

18.已知｛4｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝滿足4=4力向=3〃-2〃+1.

(1)證明｛2-〃｝是等比數(shù)列，并求｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛α,,｝與也,｝中有公共項(xiàng)，即存在左,meN*,使得4=4,成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公

共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作｛c,J,求c∣+c?2+…+%.

π

【答案】(1)證明見解析，4=3〃—1("∈N*),bn=3+fl(rt∈N*)

(2)9(27T)J(3〃+1)(”CN*)

262

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義即可求其通項(xiàng)公式；

(2)利用通項(xiàng)公式找出公共項(xiàng)，再分組求和即可.

【小問1詳解】

由題意可得：a”=2+("-l)x3=3"-l("∈N"),

而4=4,?n+1=3bn-2n+l,變形可得:6n+,-(n+?)=3bπ-3n=3(bll-n?bλ-1=3,

故｛”,-〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

從而"一〃=3",即b“=3"+〃(〃eN)

【小問2詳解】

由題意可得：3k-l=3m+m>k,m∈N*,令〃?=3〃一1(〃eN*),

則3k-1=33"τ+3〃—1=3(32"-2+/?)-1,此時(shí)滿足條件，

即〃?=2,5,8,…,3〃—1時(shí)為公共項(xiàng)，

所以C]+c24----Fcn=b2+&T----<^?π.1

253),I9271/73/7+1,

=3+3+???+3^+(2+5+???+3/?-1)=^∑)+()(^∈N).

262

19.如圖，在三棱臺/8C—OEF中，AC=4,BC=2,EF=I,DE=卡,AD=BE=CF.

（1）求證：平面/BE。，平面Z8C；

（2）若四面體88尸的體積為2,求二面角E-BD-/7的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）

5

【解析】

【分析】（1）延長三條側(cè)棱交于點(diǎn)P,判斷出2E,b為中點(diǎn).取ZB的中點(diǎn)M，證明出RW和

PMLMC,進(jìn)而證明出PM_L平面ZBC,利用面面垂直的判定定理即可證明平面∕8ED_L平面ZBC.

（2）先由體積關(guān)系求出PM=6.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4、C8為X軸，J軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向

量法求解.

【小問1詳解】

（1）延長三條側(cè)棱交于點(diǎn)尸.因?yàn)?C=2,EF=1,所以。JF分別為中點(diǎn)，且AB=2DE=2yβ?

因?yàn)?D=BE,所以4P=BP.

取46的中點(diǎn)M,則PM_L/8.

因?yàn)?C=4,BC=2,NB=2√5,

所以="2,所以0，CB.

?.?AM=CM,則.PAM=^PCM,故NPMA=NPMC=90，

即尸W，MC.

因?yàn)镻M,NBnMC=M,Z8u平面48C,MCu平面ASC,

所以PM_L平面Z6C?

又PMU平面ABED，故平面/BEDJ_平面Z8C.

l?

\【小問2詳解】

)c

B

因4為-D-BCF=D-BCP=一P-ABC=所以Vp-ABC=?

1%ACP=2,

而SAABC

=gx4x2=4,

所以PP-ABC=§XSAIC×PM=-×4×PM=8,解得：PM=6.

33

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C?CB為X軸，扎建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

二

則尸(2,1,6),8(0,2,0),0。,；,3)/卜，3,3),

2

設(shè)〃I=(x,y,z)為面EBZ)的一個(gè)法向量,

刀=

(-4,2,0)..∕7l?AB--4x+2y+O=O

因?yàn)楱D.z、，所以(x,y,z>―?，

=(-2,1,6)nl?AP=-2x+y+6z=O

不妨設(shè)x=l,則面EBO的一個(gè)法向量1=(1,2,0).

同理可求得面FBO的一個(gè)法向量a=(0,2,1).

由圖示，二面角￡一8。一廠的平面角為銳角,

所以卜OS如々)=0+4+0_4

μ.∣ξ∣^√5×√5^5,

4

所以二面角E-BD-F的余弦值為w.

20.為了解J市某疾病的發(fā)病情況與年齡的關(guān)系，從J市疾控中心得到以下數(shù)據(jù):

年齡段（歲）[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

發(fā)病率（％。）0.090.180.300.400.53

（1）若將每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)數(shù)據(jù)記為七，對應(yīng)的發(fā)病率記為χ（i=l,2,3,4,5）,根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以建立發(fā)病

率V（‰）關(guān)于年齡X（歲）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=AX+4,求4；

7

∑(X,-X)(Λ-J)55

附：b=J-----------------=U125EM=78.5

，，，

t(?,-?,==

/=I

（2）醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果有可能出現(xiàn)差錯(cuò).現(xiàn)有J市某位居民，年齡在［50,60）./表示事件“該居民化驗(yàn)

結(jié)果呈陽性"，8表示事件“該居民患有某疾病”.已知P（NlB）=O.99,P（N區(qū)）=0.999,求尸（A4）（結(jié)

果精確到0.001）.

【答案】（1）α=-0.195

（2）0.284

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求得B=o.oιι,進(jìn)而求得&的值；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和條件概率的計(jì)算公式，即可求解.

【小問1詳解】

,?..,,u∕.-TR—25+35+45+55+65.

解：由表格中的數(shù)4據(jù)uj，可得X=---------------------------=45,

-0.09+0.18+0.30+0.40+0.53八?

y=----------------------------------------=0.3

5

Z(Xj-可5-刃Zra-5亞

貝花二「------------∕=i_____________78.5-67.5

~~5~=0.011

ΣU-τ)2∑x--5x211125-10125

Z=I1=1

所以4=亍一菽=0.3—0.011x45=—0.195.

【小問2詳解】

解：由題意，可得尸(Z8)=P(8)χP(Z∣B)=0.0004χ0.99=3.96χl07,

P(疝)=P⑻XP(∕回=0.9996×O.OO1=9.996×10：

P(N)=P(N百)+P(∕8)=9.996χl(Γ4+3.96χl()Y=ι3956x10-3

21.已知雙曲線C:[-/=l(a>0]>0)的右焦點(diǎn)為口(2,0),尸卜,—4)是雙曲線C上一點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程;

(2)過點(diǎn)尸作斜率大于。的直線/與雙曲線的右支交于43兩點(diǎn)，若PF平分/APB，求直線/的方程.

22

【答案】(D—x-?v-?l

22

(2)I：X=^-y+2

9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)列方程組求解；

(2)設(shè)出直線方程，和雙曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，角平分線定理列方程進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

97

=L又"/=4，

聯(lián)立得/一20/+36=0，得/=2或18.

當(dāng)/=2時(shí)，?2=2；當(dāng)力=18時(shí)，從=一14舍去.

所以雙曲線C的方程為：—-^=1.

22

【小問2詳解】

設(shè)/:X=W+2,∕(x∣,y),B(x2,8),直線與雙曲線聯(lián)立，得(產(chǎn)-1)_/+4川+2=0,所以

At

y+%=κ

2①?

凹》=；TG

I-1

/>0

由直線和雙曲線右支交于兩點(diǎn)，結(jié)合直線斜率為正可得：<八，解得0<f<1.

IyM<0

陷?AF?

由P9平分/4P8，由角平分線定理，則舄=局，即

?PB??BF?

2

A

+√7)2Λ

(『+1)乂2+2(近一。必+8^2\[r\

兩邊平方得,),、、ΓT-?——=/，整理可得：4%+%+6-/人P2=0.

2貨7V,

(∕+l)^+2(√7-∕)jμ2+8

-16∕(√7-Z)?2=0,解得f=ge（0,l）符合題意，所以/：X=冬y+2.

將①代入可得+

Z2-I

22.已知己(X)=e*,g(x)=Inx.

（1）若存在實(shí)數(shù)“，使得不等式/（》）一8（》”/（。）-8（。）對任意%?0,+8）恒成立，求/（α）?g（α）

的值;

(2)若1<玉<々，設(shè)K=f(])~/(2)#2=g(")~~J,證明:

國一工2xi-X2

k

①存在XOe（XI,々），使得TL=Xo七%成立;

/N)+〃/)1

②占一左2<

2

【答案】（1）-1

（2）①證明見解析；②證明見解析

【解析】

【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)∕z（x）=∕（x）-g（x）,求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)得.e"=l,從而利

用指對運(yùn)算即可求解;

k

(2)①記言=/,構(gòu)造函數(shù)7(X)=e'-41nx,求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，找到隱零點(diǎn)，即可證明；

11

----1----

②先用分析法及]<』X2把不等式證明轉(zhuǎn)化為

7?2

[/ɑ)-gɑ)]-[/(z)-g(w)]JaJ-工一”/)」,,

x1-X22

結(jié)合式子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為證明[/(…)g('J]一心>)g(x2)]<