向量代數(shù)與空間解析幾何-期末復習題-高等數(shù)學下冊

第七章空間解析幾何

一、選擇題

1.在空間直角坐標系中，點（1,-2,3）在[D]

A.第一卦限B.第二卦限

C.第三卦限D.第四卦限

2.方程2/+y2=2在空間解析幾何中表示的圖形為[C]

A.橢圓B.圓C.橢圓柱面D.圓柱面

x-1_y+1_z+1—x+y—1—0

3.直線:與4：<-,的夾角是[C]

423x+y+z-2=0

nn

A.—B.C.—D.0

42

4.在空間直角坐標系中,點(L2,3)關于xoy平面的對稱點是[D]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

5.將xoz坐標面上的拋物線Z2=4X繞z軸旋轉一周，所得旋轉曲面方程是[B]

A.z2=4(x+y)B.z2=±4y1x2+y2

C.y2+z2=4xD.y2+z2=±4x

6.平面2x-2y+z+6=0與xoy平面夾角的余弦是[B]

7.在空間直角坐標系中，點(1,2,3)關于yoz平面的對稱點是[A]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

22

8.方程之+與=?2表示的是[B]

ab

A.橢圓拋物面B.橢圓錐面C.橢球面D.球面

9.已知5二{0,3,4},K={2,1,-2},則p%y?膽=[C]

1

A.3B.--C.-1

3

10.已知。力為不共線向量，則以下各式成立的是D

A.a2b2=(&?4B.a2xb2=(<2xZ?)2

C.(〃?b)2=(ax/?)2D.(a?b)2+(axZ?)2=a2b2

x+y+z=Ox+y+z=Q

ii.直線4的方程為<直線，2的方程為，則與

31x-30y-29z=030x-31y-30z=0

12的位置關系是D

A.異面B.相交C.平行D.重合

12.已知A點與B點關于X0Y平面對稱，B點與C點關于Z軸對稱，那么A點與C點是C

A.關于X0Z平面對稱B.關于Y0Z平面對稱

C.關于原點對稱D.關于直線x=y=z對稱

13.已知A點與B點關于Y0Z平面對稱，B點與C點關于X軸對稱，那么A點與C點C

A.關于X0Z平面對稱B.關于X0Y平面對稱

C.關于原點對稱D.關于直線x=y=z對稱

14.下列那個曲面不是曲線繞坐標軸旋轉而成的C

A.x?+y，+z~=1B.x?+y~+z=1C.x~+y+z=lD.x+y2+z?=1

15.已知。力為不共線向量,則下列等式正確的是C

A.同a="B.a.(a?b)=bC.a?(b?b)=ab2D.a2b2-(a?b)2

16.已知向量a=(l,2,l),"=(-3,4,-3),那么以為兩邊的平行四邊形的面積是B

B.10A/2D.572

x+2y+3z=0

17.已知直線/方程'與平面九方程一x+z+2=0,那么/與%的位置關系

3x+4y+5z=0

是C

A./在萬內B./垂直于%C./平行于%D.不能確定

18.兩向量。力所在直線夾角一，ab<0,那么下列說法正確的是B

4

A.a,b夾角上reB.a,b夾角3二7rC.b夾角可能37二r或T2CD.以上都不對

4444

19.已知|a|=l,Ib|=V2,且(a,b)=生,則|a+b|=(D).

4

(A)1(B)1+V2(C)2(D)75

x+3y+2z+1-0

20.設有直線)及平面萬：4%—2y+z—2=0,則直線￡(C)o

2x-y-10z+3=0

(A)平行于九(B)在萬上(C)垂直于乃(D)與萬斜交

fx2z21

2l.雙曲線，45繞z軸旋轉而成的旋轉曲面的方程為(A).

。=0

2,2222,2

工」+z=i

(A)—=1(B)

4545

(y+Z)2

(0(D)---------------------------二1

445

22.點（a,A,c）關于y軸對稱的點是（D）.

(A)(—a,-瓦—c)(B)(tz,—Z?,—c)(C)(a,b,—c)(D)(-a,b,-c)

23.已知a={4,-3,4},b={2,2,1},則尸片,(a)=(A).

6

(A)2(B)-2(D)

屈

24.必―J?=1在空間表示（D）.

（A）雙曲線（B）雙曲面（C）旋轉雙曲面（D）雙曲柱面

25.設a與b為非零向量，則2*6=0是（C）.

（A）a=b的充要條件（B）a，b的充要條件

（0a〃b的充要條件（D）a〃b的必要但不充分條件

26.設平面方程為"+口+。=0,其中A,C,￡＞均不為零，則平面（B）.

（A）平行于x軸（B）平行于y軸（C）經過x軸（D）經過y軸

27.已知等邊三角形AABC的邊長為1且3C=a,G4=b,AB=c,則

ab+bc+ca=(D).

(A)y(B)y(C)—y(D)—y

28.點M(2,-3,1)關于坐標原點的對稱點是(A)

(A)(-2,3,-1)(B)(-2,-3,-1)

(0(2,-3,-1)(D)(-2,3,1)

29.平面2x-3y-5=0的位置是(B)

(A)平行于X0Y平面(B)平行于Z軸

(C)平行于YOZ平面(D)垂直于Z軸

30.點A(-2,3,1)關于Y軸的對稱點是(D)

(A)(2,-3,1)(B)(-2,-3,-1)

(C)(2,3,-1)(D)(2,-3,-1)

31.過點（0,2,4）且與平面x+2z=l和y-3z=2都平行的直線方程是（C)

(A)U=z(B)

%_j-2_z-4

(04一丁「(D)—2x+3(y—2)+z—4—0

32.二個平面上+2+4=1和2x+3y-4z=l位置關系是(A

234

(A)相交但不垂直(B)重合

(C.)平行但不重合(D.)垂直

x-2y+4z-7=0

33.過點(2,0,-3)且與直線［3"+5'—2z+l=°垂直的平面方程是(4)

⑷-16(x-2)+14()；-0)+ll(z+3)=0

(B)(x—2)—2(y—0)+4(z+3)=0

?3(x-2)+5(y-0)-2(z+3)=0

(D)-16(%+2)+14(y+0)+H(z—3)=0

34.向量。=.仇H與三坐標軸的夾角分別為,則a的方向余弦中的

cos夕=(A

(A)+人2+02(B)J〃+。+c(c)J〃+。+c⑴)飛a+/?+c

22

35.已知曲面方程z=-二+勺(馬鞍面)，這曲面與平面z=h相截，其截痕是空間

a2b2

中的(B)

A.拋物線；B.雙曲線；C.橢圓；D.直線。

36.點(3,1,2)關于XOZ平面的對稱點是(B)

(A)(-3,1,2)(B)(3)-1,2)

(0(3,1,-2)(D)(-3,-1,2)

4%2-9y2=36

繞X軸旋轉一周，形成的曲面方程是(C

422222-22

(A)(x+z)-9y=36⑻4(x+z)9(y+z)=36

2222

(C)4X-9(/+Z)=36⑻4x-9y=36

38.準線為XOY平面上以原點為圓心、半徑為2的圓周，母線平行于Z軸的圓柱面方程是

(B)

222y-=4

x+y=o(B)x+

(C)X2+y2+4=0⑻x2+y2+z2=4

39.球面d+J+與％+z=a的交線在XOY平面上的投影曲線方程是(

D)

](a-zp+J+z2f2

(A)—zRK葭2(b)|z=0

2222

2＜x+y+(a-x)=k

(C)，+y2+(a—x)2*⑻V=0

40.向量a={4,4,4}、B={3x，歷，3z}垂直的充分必要條件是(A)

(A)a?B=0(B)aX0=0

4_Ay_Az_

(C)BxByBz⑻a-3=0

二、填空題

1.同=3網=4,卜+,=7,則口_6=1

22

2.有曲面方程乙+二=2z,當pq〈0時，方程表示的曲面稱為雙曲拋物面

PQ

3.母線平行于X軸且通過曲線＜2x；+丁；+Z；=：6的柱面方程是3y2z2=16

一一一一3

4.已知五，BE都是單位向量，且滿足萬+6+亍=0,則之++=——

2

5、XOZ平面內曲線/=2繞*軸旋轉，所得曲面方程為x4=y2+z2

6.已知向量04=(1,2,3),向量08=(2,3,4),那么三角形。43的面積是-y

7、已知平面"]:x+2y+z+3=0與〃2：-3x+y-z+l=0,則其夾角為arccos

522

8.點(―1,2,0)在平面上x+2y—z+l=0的投影為

9.設有直線小.=空x-y=67T

與右：＜則乙與4的夾角為工

12y+z=3123

10.己知|a|=2,\b\=2,(a,b)=f,則u=2a—3b的模|u|=2幣

11.已知向量a=3i+2j+k與b=2i-3j,則(2a)-(3&)=0；3x3=

3i+2j-l3k

12、平面x+2y-z+3=0和空間直線±」=1里=三2的位置關系是直線在平面上

3-11

13.過點(2,-3,6)且與Y軸垂直的平面為3,此點關于XOY平

面的對稱點是(2「3「6),它與原點的距離為—7

三：計算與證明

L求過點M(3,1-2)且通過直線二心=)土^=三的平面方程

521

解：設N(4,-3,0),s=(5,2,1),由已知，

MN=(1-4,2)是所求平面內的向量

又設所求平面的法向量是為，取元=MN義^,

Jk

即：n=1-42=—8:+9]+22l

521

故，所求平面的方程為：-8(x-3)+9(yT)+22(z+2)=0

即：-8x+9y+22z+59=0

2.求與直線％：9=)二9=4相交且與直線乙2：土衛(wèi)=)士工=三相交，與直線

231541

—

x+22y1z—3,irt

L3：----=-=-----平行的直線方程

871

解：將4,Q分別化為參數(shù)方程：

x=2t—3x=52+10

<y=31+5,<y=4A—7

z=tz=%

對于某個t及；l值，各得人,〃上的一點，分別記為〃/，Mx

則向量MtMA=[(2t-3)-(52+10)]i+[(3t+5)-(42-7)]j+(t-2)k

=(2t_5A_13)i+(3t_4A+12)j+(t-A)k

令向量平行于上，即有

2t-52-133t-42+12t-2

871

解得t=----，于是Af/(-28,------,----)

222

6525

coyH----ZH--------

故所求直線為：------=——幺=——二

871

y—2z—6

3.直線L過點M(2,6,3),平行于平面萬：x-2y+3z-5=0且與直線4:

-8~~2~

相交，求L的方程

解：過點M平行于n的平面方程為(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即:x-2y+3z=0

再求它與直線4的交點，將〃寫成參數(shù)方程:

x=2-5t,y=2-8t,z=6+2t

代入上述平面方程得：t=-l

所以交點為P(7,10,4),又L過M,P兩點

x-2y-6z-3

故：L的方程為

7-210-6-4^3

x-2y-6z-3

5―丁一丁

4.求過直線三口=2=之，且平行于直線2=2=四的平面方程。

21-121-2

2a+b-c-Q

解：設平面法向量(Q量,C),則有方程《

2a+b-2c=0

。二0

解得,，于是可取法向量(-1,2,0)

2a+b=Q

所以平面方程為-(％-1)+2y=0

5、設。力是平面上兩個不共線的非零向量，c=+為已知非零向量，求％〃

解：方程兩邊同與。涉作數(shù)量積得解此兩元一次方程組，得

b?c=九+/ub

acaba2ac

beb2abbe

N=F

a2aba~~ab7

abb2abb2

2x+y+z+l—0

6.求直線/:<7在平面3x—y—z+3=0上的投影

x-2y-2z+2=0

解：設平面束方程為2(2%+y+z+1)+隊x-2y-2z+2)=0

其法向量為(22+〃"——2〃)，于是由題意有

3(22+//)-(2-2ju)-(2-2//)=0,即44+7〃=0

3x-y-z+3=0

取4=—7,〃=4。直線方程為<

-10x-15y-15z+l=0

x+2y+3z+4=0

7.求原點到直線/:<的垂線與垂足，垂線要求參數(shù)方程。

2x+3y+4z+5=0

解：設)為過原點且垂直于/的平面，則》的一個法向量與/的方向一致。

233112

/的方向：%3)=(-1,2,-1)。

4'42'2

n的方程一x+2y-z=0

214

將其與/方程聯(lián)立，解得垂足坐標

2

x=一t

3

1

于是垂線參數(shù)方程4y=——t

3

4

z=——t

3

2x-3y-z+4=0

8.已知直線一般方程為求其點向式方程。

4x-6y+5z-l=0

解：兩平面法向量分別為(2,—3,—1),(4,—6,5),故直線方向為

-3-1-122-3

)=(-21,-14,0)

-65'54'4-6

-3y-z+4=0199

令x=0,<7，得直線上一點(0,二,三)

—6y+5z—1=0217

199

y-----z-------

故點向式方程為▲=——1

-21-140

x+y—z=1

9.在直線7上求一點A,使得它與原點所決定的直線與/的夾角為

x-z=0

瓜

arccos——

3

解:直線/方向(1,1,-1)X(1,0,-1)=(-1,0,-1)

設直線上一點A(x,l,x),則。4=(x,l,x),據題意有」^——=顯

,解

V2.A/2X2+13

此方程得*=±1。

故A點坐標為(1,1,1)或(—1,1,—1)。

K).證明：直線，：平-巴一0卜+2尸1共面。

及直線4：＜

-26y+z=-2

證明：的方向向量n2={l,2,0}x{0,l/}={2,-M}(2分)，的方向向量

叫={3,-2,6}(2分)。點4=Q,—L3)e/i，B=(L0,—2)e/2，N5={—LL—5},由于這三

個向量兩兩不平行，且

3-26

(Hjxn2)-AB=2-11=0(4分)，

-11-5

所以與4共面(因為由上式知啊,A3三向量共面)。

證法2：4與4有交點：M(-l,l,-3),故與6共面。

x+2y=1

11.求通過直線/］：5=止2=及直線I:\的平面方程。

解：4的方向向量為n2={L2,0}x{0,Ll}={2,-M}〃n1,所以乙與。平行(3分)。

點/1=(—1,—2,1)e心且易知(1,0,—2)6/2，不在直線4上Q分)。故所求

平面就是兩相交直線4與Mi"?確定的平面。它的法向量可取為

ijk

n=nxn=21

iM1M,-1=i+8j+6k(3分).

22-3

又A/1=(-1,-2,1)為已知平面上的點，所求平面的點法式方程為

(x+l)+8(y+2)+6(z—1)=0,即x+8y+6z+ll=0(2分)。

12.已知A4BC的兩邊構成的向量A5=2i+j—k,5c=3i+2j+k,求A4BC的面積。

解：5小因=；1.><80]=^|45><30|（2分），

ijk

而A3x3C=21一1=3i—5j+k（2分），

321

所以|A5x3C|=庖，從而莊Q分）?

13.求直線\在平面x+y-z=O上的投影方程。

y=2z—4

x=z+2

解：過直線4的平面束方程為

y=2z-4

n4:x-