2023-2024學(xué)年江西省高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

模擬試題

一、單選題

1.已知在長(zhǎng)方體中，AD,=xCD+yCCl+z'Bb,則x+y+z=（）

A.3B.2C.1D.-2

【正確答案】C

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】依題知，,西=1務(wù)+西+瓦石=-函+巒+方方，

:.x=-19y=z=\,

:.x+y+2=l.

故選：C.

2.直線x+JJy+m=0（加€R）的傾斜角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】D

【分析】根據(jù)直線方程求出斜率，利用傾斜角的正切值為斜率，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線X+退y+機(jī)=0（加€?的傾斜角為0,ee[0,n）.

直線化為y=-與一旦,斜率k=tanO=-l叵,

333

.，?6=150°,

故選D.

本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.現(xiàn)有7件互不相同的產(chǎn)品，其中有4件正品，3件次品，每次從中任取一件測(cè)試，直到3件

次品全被測(cè)出為止，則第三件次品恰好在第4次被測(cè)出的所有檢測(cè)方法有（）種.

A.1080B.72C.432D.864

【正確答案】B

【分析】根據(jù)排列組合的特點(diǎn)依照題意列式，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，第三件次品恰好在第4次被測(cè)出，說(shuō)明前三次中有兩件次品和一件

正品被測(cè)出.

二第三件次品恰好在第4次被測(cè)出的所有檢測(cè)方法有C]-C>4=72種.

故選：B.

本題考查排列組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

4.橢圓——+[=1(加>0)的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為4若NF\AB=：,

m4-1tn2

則m=()

A.1B.夜C.QD.2

【正確答案】A

【分析】首先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c=l,然后再根據(jù)橢圓的定義及等腰直角三角形的

幾何性質(zhì)求出。的值，進(jìn)而求出參數(shù)機(jī).

22222

【詳解】在橢圓U—+'=1(5>0)中，a=-Jm+\<b=m,c=7a-h=-Jm+1-m=1>

m4-1m"

易知=M用=a,又/耳所以耳/15為等腰直角三角形，

即所1=。忖閭，得歷17=起，即用"

故選：A

5.(l+x)2(l-2x)3=%+qx'+//+里￡,則。3的值為()

A.10B.20C.24D.32

【正確答案】A

【分析】先求(l-2x)3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，三次項(xiàng)，再跟(l+x『=l+2x+/中相應(yīng)

2

的項(xiàng)乘積即可得(1+x)(1-2xf展開(kāi)式中含?的項(xiàng)，進(jìn)而得答案.

【詳解】(l-2x)3展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為為：1M=C；(-2X)*#=0,1,2,3,

所以(l-2x)3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)為-6x,二次項(xiàng)為12x2,三次項(xiàng)為_(kāi)8/,

由于(l+x)2=l+2x+x2,

所以(1+x)2(1-2x)3展開(kāi)式中含/的項(xiàng)為：-8/+12/X2x+(-6X)-X2=]OX3,

故。3=10

故選：A.

本題考查二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)的系數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于

先求解出(l-2x)3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，三次項(xiàng)，進(jìn)而求解.

6.現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到

理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為().

【正確答案】D

【分析】設(shè)第1次抽到理科題的事件為A,第2次抽到理科題的事件為B,分別求得

p⑷，p(AB),代入公式p(B⑷=駕圖求解.

p(A)

【詳解】設(shè)第1次抽到理科題的事件為A,第2次抽到理科題的事件為B,

i1i1

3

所以。(⑷==

CC5CCTo，

3

-

-W

所以第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為。(6/)=32

5-

故選：D

本題主要考查條件概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知函數(shù)/(x)=cos(?rx-乃)-機(jī)在區(qū)間[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn),x2,且再＜々，則

y=x：+2x2的取值范圍是()

A.[3,4]B.(3,4)C.(3,4]D.[3,4)

【正確答案】C

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為N=加與g(x)=-cos;rx在[0,2]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)分別為七，々，則由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得土產(chǎn)=1，0?再＜1,從而可得

2

y=xf+2x2=x；+2(2-x,)=xf-2x,+4=(x,-I)+3,進(jìn)而可求出其范圍

【詳解】/(X)=COS(萬(wàn)X-乃)一加=-COS7TX-m,

由/(x)=0,得-cos乃X-〃7=0,m^-COSTTX,

令？=加,g(x)=-cos^x,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=cos(zrx-乃)-機(jī)在區(qū)間［0,2］上有兩個(gè)零點(diǎn)，與，/，且演<%,

所以y=機(jī)與g(x)=-C0S"X在［0,2］上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)04x42時(shí),0<TTX<2^,

所以三產(chǎn)=1,04%<1,

所以x2=2-占，

所以y=x；+2x?=x；+2(2-x,)=x,2-2x,+4=(x,-1)2+3,

因?yàn)镺?X1<1,

所以3<y44,

即」=x；+2為的取值范圍是(3,4］,

故選：C

8.某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階.他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨

2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6

步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過(guò)程共有()種.

A.6B.8C.10D.12

【正確答案】C

【詳解】按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒(méi)有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步.

因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步.

為形象起見(jiàn)，以白、黑、紅三種顏色的球來(lái)記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過(guò)程：

白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過(guò)程可表為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、

1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列.

下面分三種情形討論.

(1)第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè).此時(shí)，共有4個(gè)黑白球

之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.

(2)第1球不是白球.

(i)第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；

(ii)若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共

有3種不同排列.

(3)第6球不是白球，同(2),共有3種不同排列.

總之，按題意要求從一層到二層共有4+3+3=10種可能的不同過(guò)程.

二、多選題

9.已知,，耳是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是()

A.弓+4和61—02B.36一e2和一Ge〕+4e?C.g+e,和62+9

D.e2和62+4

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)不共線的向量可作為一組基底判斷.

【詳解】解：對(duì)于A,1+或與［-1不共線，故可作為一組基底，故A正確；

對(duì)于B,3晟和-61+4［不共線，故可作為一組基底，故B正確;

對(duì)于C,=￡故不能作為一組基底，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,［和［不共線，故可作為一組基底，故D正確.

故選:ABD.

10.如圖，小明、小紅分別從街道的E、尸處出發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活

動(dòng)，貝I」()

A.小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3

B.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35

C.若小明不經(jīng)過(guò)尸處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32

D.若小明先到產(chǎn)處與小紅會(huì)合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年

公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為18

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)加，并確定向上或向右各走的步

數(shù)〃，則最短路徑的走法有C：；,再結(jié)合每一個(gè)選項(xiàng)的要求即可作答.

【詳解】由圖知，要使小紅、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能

向下、向左移動(dòng)，

對(duì)于選項(xiàng)A,小紅到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所

以最短路徑條數(shù)為C；=3條，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最

短路徑條數(shù)為C；=35條，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,小明到廠的最短路徑走法有C：=6條，再?gòu)氖幒托〖t一起到老年公寓的路徑

最短有3條，所以到尸處和小紅會(huì)合一起到老年公寓的共有6x3=18條路徑，故D正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)D可知，小明不經(jīng)過(guò)尸處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條

數(shù)為35-18=17,故選項(xiàng)C不正確.

故選：ABD

11.中國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)的航

天器.2019年9月25日，中國(guó)科研人員利用嫦娥四號(hào)數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號(hào)的著陸位置，

并再現(xiàn)了嫦娥四號(hào)的落月過(guò)程，該成果由國(guó)際科學(xué)期刊《自然?通訊》在線發(fā)表.如圖所示，

現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為

一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在尸點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以尸為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓

軌道II繞月飛行.若用2G和2c2分別表示橢圓軌道I和11的焦距，用2幻和2a2分別表示橢圓軌

道I和II的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是（）

n

Gc2C]c2

A.a/+c/=42+c2B.ai-ci=ci2-C2C.—<—D.—>一

qa2qa2

【正確答案】BD

【分析】由題設(shè)信息可得C/>C2和Q/-C尸〃2-C2，再結(jié)合橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)〃，短半軸長(zhǎng)江

半焦距C的關(guān)系即可計(jì)算判斷作答.

【詳解】依題意，橢圓軌道I和II有共同的一個(gè)頂點(diǎn)尸和一個(gè)焦點(diǎn)后則它們的中心都在直線

p尸上,而橢圓軌道n在橢圓軌道I內(nèi)，

于是可得〃/>〃2，C/>C2f即a/+C/>〃j+C2，A不正確；

在橢圓軌道I中，|尸網(wǎng)=QF，在橢圓軌道n中，|PF|=SC2,則有加。=。2?。2,B正確；

22

由ai-ci=a2-C2得ai+c2=a2+ci，貝!J(4+c2)=(a2+C,),a；+c；+2a[c2=〃；+c；+2a2c1,即

a；-c；+2qQ=a；-c；+2tz2c,,

令a；-c；=b；,a—,其中％也分別為橢圓軌道I和H的短半軸長(zhǎng),并且有4>4，

于是有6；+2〃0=必+2〃2《，即2a24_2ale2=、_￡>0,2atc2<2a2c],則&<立，C錯(cuò)

a2a\

誤，D正確.

故選：BD

12.如圖，正四面體的頂點(diǎn)/,B,C分別在兩兩垂直的三條射線Ox,Oy,Oz上，

則在下列命題中，爪理的是()

A.O-48C是正三棱錐B.直線。8〃平面/CD

C.直線4。與。8所成的角是45。D.二面角。一。8一/為45。

【正確答案】ACD

【分析】將圖形放到正方體中，結(jié)合圖形及異面直線、二面角的定義計(jì)算可得;

【詳解】對(duì)于A,如圖/BCD為正四面體，/8C為等邊三角形，

又???。/、OB、OC兩兩垂直，..CUL面OBC,8c.

過(guò)。作底面月8c的垂線，垂足為N,連接/N交5c于"，

因?yàn)镺N_L8C,0/，8C,O/flON=。,。4ONu平面N,

所以8C工平面O/N,因?yàn)?Mu平面。4N,

所以二胡為8c中點(diǎn)，

同理可證，連接8N交NC于P,則P為NC中點(diǎn)，

r.N為底面MC中心，18c是正三棱錐，故A正確.

將正四面體48C。放入正方體中，如圖所示,

對(duì)于B,因?yàn)?5//4E,/Ec平面NCD=4,所以08與平面48不平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,顯然08與4E平行，所以/Q4E為異面直線8。與ON所成的角，又ND4E=45°,

所以直線8。與ON所成的角是45。，故C正確.

對(duì)于D,二面角。-。8-1即平面包（80與下底面ZE8。成的角，

因?yàn)?OJ.平面/OCF,OFu平面/OCF,

所以。8_10產(chǎn)，在正方形彳E8。中，OB1OA

故NFO/為二面角。-08-4的平面角，顯然NFO/=45。，故D正確..

故選：ACD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：把正四面體放在正方體中是解題的關(guān)鍵.

三、填空題

13.若圓(x-“『+(y+a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

3/

【正確答案】

2'2

【分析】由題知圓(x-a)2+(y+a『=4與圓x2+/=i有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的位置關(guān)系

求解即可.

【詳解】解：由題意：圓(x-“)2+(y+a?=4與圓/+/=］有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩圓相交，

兩圓的圓心分別為(0,0),半徑分別為2與1,

：.\<42\a\<3,

3五

..——<a<---或一-----<a<------

22

372_V2

14.(l+2x)3(l-x)2的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)是.

【正確答案】4

【分析】分別展開(kāi)0+2X)3=1+C；(2X)+C；(2X)2+...,(1-X)2=1-2X+X2,即可得出.

【詳解】???(1+2x)3=1+C',(2x)+C；(2x)2+8x3,(1-x)2=1-2x+x2,

.?.(1+2x)3(1-x)2展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為2C；-2=4,

故4

15.投擲紅、藍(lán)兩顆均勻的骰子，設(shè)事件A：藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為5或6;事件8：兩骰子的

點(diǎn)數(shù)之和大于8,則已知事件8發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(4|8)=.

7

【正確答案】—

【分析】先求出所有可能的事件的總數(shù)，及事件A,事件8的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型

概率計(jì)算公式P(B),尸(NB),再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】解：設(shè)X為擲紅骰子得的點(diǎn)數(shù)，y為擲藍(lán)骰子得的點(diǎn)數(shù)，則所有可能的事件與（x,y）

建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則共有36種基本事件，事件A：藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為5或6,有以下

基本事件：（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,5）,（6,5）,（1,6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,

（6,6）共12個(gè);

事件8：兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8,有以下基本事件：（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,

(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共10個(gè):

故121P⑻410，尸(皿=57

303JO

7

所以尸（川+簫端十

36

故得

16.已知產(chǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓。:/+貫=/+62與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)

P,若PE的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是

【正確答案】V5

【分析】計(jì)算點(diǎn)尸漸近線N=的距離，從而得|尸尸|,由勾股定理計(jì)算|尸尸|,由雙

曲線定義列式，從而計(jì)算得即可計(jì)算出離心率.

a

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為尸，因?yàn)槭闹悬c(diǎn)加在雙曲線的漸近線N=上，由

a

Y+V=/+〃=°2可知，NFPF'=90°,因?yàn)椤槭悬c(diǎn)，所以O(shè)A///PF',所以

OMVPF,即OM垂直平分線段尸尸，所以尸（-c,0）到漸近線=的距離為

a

be

FM=b

\\=I2,可得「尸1=26,所以|「尸|=$"[2-歸尸「=”02一4/=2a,由雙

曲線定義可知，|"HPF|=2a，BP2b-2a=2a,所以?=2,所以e=

=A/5.

故垂

雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)

有兩種方法：

①求出“，c,代入公式e=￡：

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于Ac的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后

等式（不等式）兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e

的取值范圍）.

四、解答題

17.已知圓C：x?+/+機(jī)x++4=0關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱，圓心C在第四象限，半

徑為1.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線與圓C相切，且在x軸，夕軸上的截距相等？若存在，求出該直線的方

程：若不存在，說(shuō)明理由.

3

【正確答案】（1）（.”1）2+6+2）2=1：（2）存在，卜=-不或k_>1±亞.

【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程用參數(shù)表示出圓心和半徑，結(jié)合圓心坐標(biāo)滿足直線方程和半

徑為1,即可列出方程，求得結(jié)果；

(2)討論直線斜率是否存在，以及直線是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求

得直線方程.

【詳解】⑴將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(X+])2+U+')2="+1T6

圓心—加

--陽(yáng)----〃-F.1八=0

22

由已知得，

y/m2+n2-16

-----------=1

2

又C在第四象限，C(l,-2)

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-iy+(y+2)2=1

/+2|3

(2)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，/斜率存在,

則設(shè)=,則J左；=1="=—^

3

此時(shí)直線方程為尸干;

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)/：x+y—=O則1

解得=-1土行，此時(shí)直線方程為:x+y+\+y/2=0或x+y+1-后=0

"5

綜上，所求直線的方程為：y=-：x或y=-x-l士&

本題考查圓方程的求解，以及由直線與圓的位置關(guān)系求直線的方程，屬綜合基礎(chǔ)題.

18.已知一條鐵路有8個(gè)車站，假設(shè)列車往返運(yùn)行且每個(gè)車站均停靠上下客，記從A車站上

車到B車站下車為1種車票(A#B).

(1)該鐵路的客運(yùn)車票有多少種？

(2)為滿足客運(yùn)需要，在該鐵路上新增了〃個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了54種，求〃的值.

【正確答案】(1)56

(2)3

【分析】根據(jù)條件利用排列公示建立方程就可以解決.

【詳解】(1)鐵路的客運(yùn)車票有/=8x7=56.

(2)在新增了〃個(gè)車站后，共有〃+8個(gè)車站，因?yàn)榭瓦\(yùn)車票增加了54種，貝1」片,8-56=54,

所以確8=（"+8）（"+7）=110,解得〃=3.

19.如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形/BCD中，E是4。的中點(diǎn)，尸是CQ的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角

形DEF沿EF翻折成如圖2所示的五棱錐P-N8C在1.

（2）若平面平面/BCFE,求直線P8與平面所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2叵.

15

【分析】（1）利用線面平行的定義證明即可

（2）取E尸的中點(diǎn)0,并分別連接。尸，OB,然后，證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系，分別以O(shè)E,

OB,OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可

【詳解】證明：（1）在圖1中，連接/C.

又E,尸分別為/。，CD中點(diǎn)，

所以E尸4c.即圖2中有E尸AC.

又EPu平面PM,ZCU平面PEF,

所以NC平面PE尸.

解：（2）在圖2中，取EF的中點(diǎn)。，并分別連接OP,0B.

分析知，0P工EF,OBVEF.

又平面PEFJ_平面/8CFE,平面PEFC1平面/8CFE=EF,P0u平面PEF,所以「。上平

面ABCFE.

又13=4,所以PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=y[l>OB=372.

分別以O(shè)E,OB,”為x軸，》軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。（0,0,0）,

P(0,0,V2),S(0,372,0),E(V2,0,0),碓近,也,0),所以而=(0,-3四,加1

￡4=(72,72,0),￡P(guān)=(-72,0,72).

y/2x+y/ly=0

設(shè)平面P/E■的?一個(gè)法向量”=(x,y,z),則

-V2x+A/2Z=0

取工=1,則歹=-1,2=1,所以"=(1,一1,1).

又BP-w=|5P||/?|cos<BP,n>,

0xl+(-3^)x(-l)+6義1

所以cos<8P,〃>=2730

亞+卜3旬2+⑼2xjf+(-1)2+F15

分析知，直線P8與平面所成角的正弦值為觀.

15

本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

20.已知某電器市場(chǎng)由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為40%,乙

廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為36%,丙廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為24%,甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格

423

率分別為

534

（1）現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；

（2）現(xiàn)從市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)該電器，則買(mǎi)到的是合格品的概率為多少？

13

【正確答案】（1）二

【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率可得；

（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率和合格率，由條件概率公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件名，B2,4,

則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D,

則￡>=8色瓦+與瓦房+瓦層層

尸（。）=尸（8日瓦）+尸（4瓦層）+尸（港鳥(niǎo)）

42141312313

—X—X-4-—X—X—+—X—X—=—

53453453430

故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是亮13.

（2）記事件B為購(gòu)買(mǎi)的電器合格,

記隨機(jī)買(mǎi)一件產(chǎn)品，買(mǎi)到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件4，4，4,

296423

尸(4)=不尸(4)=子，0(4)=公，尸⑻4)=/?(閉4)=3，尸(陰4)=7

J4J4JJ。-十

P(B)=P(AJP(B|⑷+P⑷P(5⑷+尸(4)P(B|4)

24926337

—X—H--------X---------X-=一

5525325450

故在市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電器，買(mǎi)到的是合格品的概率為為37.

21.如圖，在三棱錐P-Z8D中，平面平面AP=PD^BD=—AB,APLPD

3

（1）求證：平面平面尸8。；

（2）已知4尸=2，求點(diǎn)。到平面尸48的距離.

【正確答案】（1）見(jiàn)證明；（2）V2

【分析】（1）根據(jù)平面P/D1平面/8D,平面4。D平面得到線

面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得到面面垂直：（2）根據(jù)七梭即―初二暝棱的-彳第二:^^戶*1,

可求解.

【詳解】（1）在Rt尸/D中，因?yàn)?尸=尸。=更18,APYPD,

3

所以AD=6AP=^AB，

3

在/BO中，AD2+BD2AB+AB=AB\

所以BO_L/O,

又因?yàn)槠矫媸?9_L平面平面尸4。fl平面/80=4。，8。u平面43。,

所以平面，

又；/Pu平面P4D,所以

因?yàn)镹P_L尸。，PDcBD=D,

所以/P_L平面尸8。，

因?yàn)镹Pu平面P8/,

所以平面「以J.平面尸8。.

(2)如圖，設(shè)力。的中點(diǎn)為O,連接。P,0B,

■:AP=PD=BD=2,APYDP,：.OPLAD,AD=2g，0P=夜，

:平面尸49，平面48。，平面尸4。fl平面48。=/。，OPU平面尸AD,

二OP_L平面

由(1)知，8。_L平面尸40,:.ADLBD,BDLPD,

:.PB=26,AB=2追，

AAB2=PB2+PA2，APIBP,

...SHPB=；XZPXBP=gX2V2x2=2V2>

匕■推4BDxOP=|x|x2^x2xV2=y,

設(shè)點(diǎn)。到平面尸/B的距離為d,

?；廣：棱推PTBD=R：梭維/)-?>=§Sw，xd,解得/二^^,

.?.點(diǎn)D到平面PAB的距離為近.

本題涉及到點(diǎn)面距離的求法，點(diǎn)面距可以通過(guò)尋找面面垂直，再直接過(guò)點(diǎn)做交線的垂線即可;

當(dāng)點(diǎn)面距離不好求時(shí)，還可以等體積轉(zhuǎn)化.

22.已知橢圓E：1+E=l(“>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別