空間曲線的曲率撓率

關(guān)于空間曲線的曲率撓率定義：如果曲線的參數(shù)表示式或是階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這類(lèi)曲線稱(chēng)為類(lèi)曲線。當(dāng)時(shí),類(lèi)曲線又稱(chēng)為光滑曲線。第2頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天自然參數(shù)：我們知道曲線有不同的參數(shù)表示，能否找一種參數(shù)使研究曲線很方便呢？回答是肯定的這就是以弧長(zhǎng)s為參數(shù)（自然參數(shù)）對(duì)于光滑曲線1、的參數(shù)是自然參數(shù)的充要條件是2、弧長(zhǎng)參數(shù)優(yōu)越性：3、弧長(zhǎng)作參數(shù)是可以做到的：由于則s(t)是t的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，存在反函數(shù)t=t(s),代入有

4、對(duì)于1.曲線的自然參數(shù)第3頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：圓的參數(shù)化為r(t)

(acost,asint),t

R

，其中常數(shù)a>0,試將參數(shù)化為自然參數(shù)。解:第4頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天給出類(lèi)曲線得一單位向量，

稱(chēng)為曲線（C）上P

點(diǎn)的單位切向量。

稱(chēng)為曲線在P

點(diǎn)的主法向量,

它垂直于單位切向量。稱(chēng)為曲線在P點(diǎn)的次法向量。把兩兩正交的單位向量稱(chēng)為曲線在P

點(diǎn)的伏雷內(nèi)（Frenet)標(biāo)架。2.空間曲線的基本三棱形、伏雷內(nèi)標(biāo)架第5頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天3)由任意兩個(gè)基本向量所確定的平面分別叫做:密切平面：法平面：從切平面：而由三個(gè)基本向量和上面三個(gè)平面所構(gòu)成的圖形叫做曲線的基本三棱形。2)對(duì)于曲線（C）的一般參數(shù)表示有第6頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義過(guò)空間曲線上P點(diǎn)的切線和P點(diǎn)鄰近一點(diǎn)Q

可作一平面，當(dāng)Q

點(diǎn)沿曲線趨于P

時(shí)，平面的極限位置稱(chēng)為曲線在P點(diǎn)的密切平面。關(guān)于密切平面對(duì)于類(lèi)的曲線上任一正常點(diǎn)處的密切平面是最貼近于曲線的切平面。密切平面以為法向。第7頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

密切平面的方程

給出類(lèi)的曲線（C）：有因?yàn)橄蛄亢投荚谄矫嫔?，所以它們的線性組合也在平面上。兩邊取極限得在極限平面上，即P

點(diǎn)的密切平面上，因此由于,這個(gè)向量就可以作為密切平面的一個(gè)法向量。密切平面方程為

第8頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天表示P

點(diǎn)的密切平面上任一點(diǎn)的向徑，則上式表示為如果曲線用一般參數(shù)t表示，則將上式中的撇改成點(diǎn)。平面曲線的密切平面就是曲線所在的平面。例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}在任一點(diǎn)的密切平面第9頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.空間曲線的曲率，撓率設(shè)空間曲線(C)為的，且以s為參數(shù)。1)曲率

定義（C）在P點(diǎn)的曲率為

越小就越接近曲線在P點(diǎn)的彎曲程度,進(jìn)一步令則的極限就應(yīng)該是曲線在P點(diǎn)的彎曲程度。曲率的幾何意義是曲線的切向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。第10頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見(jiàn):R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第11頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：

空間曲線，為直線的充要條件是曲率證明：若為直線

其中

都是常向量，

并且

，則

反之,若,則于是所以該曲線是直線.第13頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天2)撓率

與曲率類(lèi)似有

定義曲線（C）在P點(diǎn)的撓率為撓率的絕對(duì)值是曲線的次法向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度。撓率恒為零的曲線是平面曲線第14頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天3)曲率和撓率的一般參數(shù)表示式給出類(lèi)的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數(shù)的表示式第15頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由可得撓率公式為第16頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天有曲率近似計(jì)算公式則曲率計(jì)算公式為二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧說(shuō)明:若曲線由參數(shù)方程給出,則若曲線方程為則若曲線由參數(shù)方程給出,則第17頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天4）密切園（曲率園）

過(guò)曲線（C）上一點(diǎn)P

的主法線的正側(cè)取線段PC，使PC

的長(zhǎng)為1/k。以C

為園心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個(gè)園，這個(gè)園稱(chēng)為曲線在P點(diǎn)的密切園或曲率園，園的中心叫曲率中心，園的半徑叫曲率半徑。第18頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲率中心軌跡設(shè)對(duì)應(yīng)Y=(x,y,z)，則有容易證明C在P點(diǎn)與曲率圓相切，且在P點(diǎn)的曲率相同在點(diǎn)P

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第19頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}(a>0,b>0均為常數(shù))

的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓.解

={-asint,acost,b}，

={-acost,-asint,0}，

={asint,-acost,0}.于是

=

=所以圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù).第20頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天.故曲率中心的半徑向量為可以求出密切平面為于是曲率圓為第21頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào))第23頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過(guò)時(shí),才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損,或有的地方磨不到的問(wèn)題.例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天5）伏雷內(nèi)（Frenet)公式由定義可得又于是有這個(gè)公式稱(chēng)為空間曲線的伏雷內(nèi)（Frenet)公式。它的系數(shù)組成一反稱(chēng)方陣第25頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿曲線C

移動(dòng)時(shí),的軌跡G

稱(chēng)為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱(chēng)為曲線G

的漸伸線

.屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).6）曲線的漸屈線、漸近線第26頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(仍為擺線)例.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得擺線目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天微分幾何

Differential

Geometry坐標(biāo)系、微積分應(yīng)用于幾何學(xué)，產(chǎn)生了微分幾何研究如何描述空間中一般的曲線和曲面的形狀參數(shù)變換下幾何不變量：曲線弧長(zhǎng)、曲率、撓率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微積分，拓?fù)鋵W(xué)，高等代數(shù)與解析幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用第28頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天突出的數(shù)學(xué)家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引進(jìn)曲線曲面參數(shù)表示法曲率能夠由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼幾何學(xué)；彎曲空間Klein(1849-1925)變換群Cartan(1869-1951)活動(dòng)標(biāo)架，纖維叢及其聯(lián)絡(luò)第29頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天突出的數(shù)學(xué)家陳省身開(kāi)創(chuàng)并領(lǐng)導(dǎo)著整體微分幾何、“陳省身示性類(lèi)”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分幾何中偏微分方程作用”，“完備黎曼流形上調(diào)和函數(shù)”楊振寧先生對(duì)幾何學(xué)的概括天衣豈無(wú)縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛(ài)幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。第30頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天微分幾何的應(yīng)用理論物理廣義相對(duì)論將物理量解釋為幾何量。具體的說(shuō)，空間和時(shí)間結(jié)合在一起由一個(gè)流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標(biāo)；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時(shí)空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計(jì)算出曲率等幾何量。Einstein方程說(shuō)：時(shí)空的物理量（能量動(dòng)量張量）等于時(shí)空的幾何量（Ricci曲率張量）。第31頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天微分幾何的應(yīng)用計(jì)算幾何、圖形學(xué)曲線曲面設(shè)計(jì)離散微分幾何網(wǎng)格曲面計(jì)算機(jī)視覺(jué)基于流形的學(xué)習(xí)方法拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)渑c之緊密相連代數(shù)幾何，代數(shù)方程（組）的零點(diǎn)集第32頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天計(jì)算機(jī)視覺(jué)

ComputerVision第33頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)字幾何1D2D2D3D數(shù)字幾何媒體：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜；采樣非均勻；沒(méi)有通用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字幾何媒體(Digitalgeometrymedia)正成為繼聲音、圖像和視頻之后的下一輪數(shù)字媒體浪潮。第34頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾何造型

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