專題03 直線的方程及其位置關(guān)系（考點(diǎn)清單）（原卷版）

專題03直線的方程及其位置關(guān)系（考點(diǎn)清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識回歸 3三、典型例題講與練 7考點(diǎn)清單01：斜率與傾斜角變化關(guān)系 7【考試題型1】斜率與傾斜角變換關(guān)系 7考點(diǎn)清單02：求斜率或傾斜角的取值范圍 8【考試題型1】直線與線段有公共點(diǎn)，求斜率取值范圍 8考點(diǎn)清單03：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用 8【考試題型1】利用斜率的幾何意義求代數(shù)值（范圍） 8考點(diǎn)清單04：直線方程 9【考試題型1】求直線方程 9考點(diǎn)清單05：兩條直線平行與垂直關(guān)系 10【考試題型1】兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定 10【考試題型2】根據(jù)兩條直線平行與垂直關(guān)系求參數(shù) 11考點(diǎn)清單06：根據(jù)直線平行，垂直求直線方程 11【考試題型1】求平行，垂直的直線方程 11考點(diǎn)清單07：直線過定點(diǎn)問題 12【考試題型1】直線過定點(diǎn)問題 12考點(diǎn)清單08：直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題 13【考試題型1】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（定值） 13【考試題型2】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（最值） 14考點(diǎn)清單09：易錯點(diǎn)根據(jù)截距求直線方程 15【考試題型1】易錯忽略過原點(diǎn)的直線 15考點(diǎn)清單10：對稱問題 16【考試題型1】點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn) 16【考試題型2】直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題(求關(guān)于點(diǎn)的對稱直線，則） 17【考試題型3】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線相交） 18【考試題型4】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線平行） 19【考試題型5】將軍飲馬問題 19一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識點(diǎn)01：直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；（3）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。知識點(diǎn)02：兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.知識點(diǎn)03：兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．知識點(diǎn)04：直線的點(diǎn)斜式方程已知條件（使用前提）直線過點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）知識點(diǎn)05：直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）知識點(diǎn)06：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，知識點(diǎn)07：直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.知識點(diǎn)08：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)直線：（）和：（）的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).與相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；與平行方程組無解；與重合方程組有無數(shù)個(gè)解.知識點(diǎn)09：兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.知識點(diǎn)10：點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.知識點(diǎn)11：兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）：（）間的距離.知識點(diǎn)12：對稱問題點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個(gè)方程）求點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：三、典型例題講與練01：斜率與傾斜角變化關(guān)系【考試題型1】斜率與傾斜角變換關(guān)系【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小和最大的直線是（

）

A．， B．，C．， D．，【典例2】（2023上·江西南昌·高二?？茧A段練習(xí)）若直線的傾斜角為，且，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線的傾斜角分別為30°，53°，125°，斜率分別為，則（

）A．B．C．D．02：求斜率或傾斜角的取值范圍【考試題型1】直線與線段有公共點(diǎn)，求斜率取值范圍【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線：，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（

）A．B． C．D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．或 B．C． D．03：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【考試題型1】利用斜率的幾何意義求代數(shù)值（范圍）【解題方法】轉(zhuǎn)化【典例1】（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椤緦Ｓ?xùn)1-1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）函數(shù)的值域是．04：直線方程【考試題型1】求直線方程【解題方法】直線方程五種形式【典例1】（2023上·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求角平分線所在直線的方程．【典例2】（2023上·四川內(nèi)江·高二?？计谥校┮阎本€：.(1)求證：直線與直線總有公共點(diǎn)；(2)若直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程.【專訓(xùn)1-1】（2023上·四川內(nèi)江·高二?？计谥校└鶕?jù)下列條件，分別求滿足條件的直線的方程：(1)過原點(diǎn)，且點(diǎn)到該直線的距離為1；(2)經(jīng)過兩條直線：和：的交點(diǎn)，且與直線：垂直.【專訓(xùn)1-2】（2023上·全國·高二專題練習(xí)）若直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線l的方程.05：兩條直線平行與垂直關(guān)系【考試題型1】兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定【解題方法】斜率相等或斜率相乘為-1【典例1】（2023上·山西朔州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程表示的直線中，與直線垂直的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·河南·高二校聯(lián)考期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【專訓(xùn)1-1】（多選）（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）下列各直線中，與直線平行的是（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線：，：，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【考試題型2】根據(jù)兩條直線平行與垂直關(guān)系求參數(shù)【解題方法】斜率相等或斜率相乘為-1【典例1】（2023上·湖南·高二嘉禾縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)直線，,若，則可以為（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023上·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谥校┤羧龡l直線不能圍成三角形，則的值可以是（

）A．2 B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知直線，平行，則這兩條平行直線之間的距離為.【專訓(xùn)1-2】（2023上·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．06：根據(jù)直線平行，垂直求直線方程【考試題型1】求平行，垂直的直線方程【解題方法】斜率相等或斜率相乘為-1【典例1】（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l的方程為，求直線的方程，使?jié)M足：(1)過點(diǎn)，且與l平行；(2)過點(diǎn)，且與l垂直；【典例2】（2023上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谥校┮阎本€滿足下列條件，求直線方程：(1)經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且平行于直線；【專訓(xùn)1-1】（2020上·四川成都·高二?？计谥校┮阎本€經(jīng)過點(diǎn)．(1)若直線平行于直線，求直線的方程．(2)若直線垂直于直線，求直線的方程．07：直線過定點(diǎn)問題【考試題型1】直線過定點(diǎn)問題【解題方法】兩條直線相交交點(diǎn)坐標(biāo)【典例1】3．（2023上·河北石家莊·高二石家莊一中?？计谥校┎徽搆為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，若直線過此定點(diǎn)其中m，n是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）設(shè)，若過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．5【專訓(xùn)1-1】（2023上·全國·高二專題練習(xí)）已知，滿足，則直線必過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．08：直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題【考試題型1】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（定值）【解題方法】三角形面積公式【典例1】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與直線的斜率相等，且直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形的面積為24，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·湖南長沙·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線.(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(3)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.【專訓(xùn)1-1】（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且_____．試從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．①與直線平行，②直線在軸上的截距為．(1)求直線的方程；(2)求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．【專訓(xùn)1-2】（2022上·北京西城·高二北京市西城外國語學(xué)校校考期中）已知平面上的直線，且l與x軸和y軸分別相交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求面積的最小值.(2)若的面積為，求k的值.【考試題型2】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（最值）【解題方法】三角形面積公式+基本不等式【典例1】（2022上·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，求面積的最小值.【典例2】（2023上·河南洛陽·高二?？计谥校┮阎本€方程為．(1)證明：直線恒過定點(diǎn)；(2)為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少？(3)若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【專訓(xùn)1-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知定點(diǎn)及定直線，點(diǎn)Q在直線l上（Q在第一象限），直線PQ交x軸正半軸于點(diǎn)M，要使的面積最?。∣為原點(diǎn)），求Q點(diǎn)坐標(biāo)．【專訓(xùn)1-2】（2022上·湖南懷化·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程.09：易錯點(diǎn)根據(jù)截距求直線方程【考試題型1】易錯忽略過原點(diǎn)的直線【解題方法】分類討論【典例1】（2022上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【典例2】（多選）（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知直線過點(diǎn)，且直線在坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為．10：對稱問題【考試題型1】點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)【解題方法】中點(diǎn)坐標(biāo)公式+斜率【典例1】（2023上·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線：，直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，直線：與直線垂直(1)求a，b的值；(2)已知點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例2】（2023上·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）的最小值為（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京大興·高二統(tǒng)考期中）如圖，已知兩點(diǎn)，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后射到直線上，再經(jīng)直線反射后射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程等于（

）

A． B．C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系上有兩點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一點(diǎn)P，最短，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【考試題型2】直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題(求關(guān)于點(diǎn)的對稱直線，則）【解題方法】方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.【典例1】（2023·高二單元測試）直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程是．【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線l的方程．【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為．【專訓(xùn)1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，求：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程．【考試題型3】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線相交）【解題方法】直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對稱直線①求出與的交點(diǎn)②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)③根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線【典例1】（2023上·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）直線：關(guān)于直線：的對稱直線方程為．【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程．【專訓(xùn)1-1】（2022上·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是.【考試題型4】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線平行）【解題方法】直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.【典例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為