2022-2023學年湖南省長沙市重點中學高一（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年湖南省長沙市重點中學高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.己知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=冊，則z的虛部為（）

1.1.

A.YBD.一好=c2iD--1

2.在銳角三角形4BC中，a=2bsinAf則B=()

A.-B-c-D

64-n

3.甲、乙兩人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為0.4,乙譯出密碼的概率為0.5.則密

碼被破譯的概率為（）

A.0.9B,0.8C.0.7D,0.2

4.若m、n、［表示不同的直線,a、￡表示不同的平面，則下列推理正確的是（）

A.若m//a,n//a,貝!|7n〃nB.若m1a,n1a,則m〃n

C.若mJ.I,nil,則m〃nD.若m〃a,m///3,則a〃夕

5.在△ABC中，BD=2~DA,若方=；lm+〃亦貝哈的值為（）

2323

cD

A.-3--2-3-2-

6.已知某19個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為2,現(xiàn)加入一個數(shù)5,此時這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，

方差為S2,則（）

A.%=5,s2=2B.x=5>s2>2C.x=5,s2<2D.%>5>s2<2

7.在一個正三棱柱中，所有棱長都為2,各頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）

.TZlTt28”八567r

A.—y-DB--C'TD-_3-

8.已知M是A/IBC內(nèi)一點，且南?下=2,/-BAC=^,ShMBC=^ShABC,則廠一+1一的

最小值是（）

A.4B.8C.4V_2D.2<7

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知向量3=（1/—1）1=（x,2），貝1]（）

A.a^bB.若勿/3，則x=2

C.若益1b>則x=|D.\a-b\>>[~2

10.在一個試驗模型中，設(shè)4表示一個隨機事件，4表示4的對立事件.以下結(jié)論正確的是（）

A.p⑷=p⑷B.p(A+A)=l

C.若P(4)=1,則PQ4)=0D.p(A4)=o

11.如圖，四邊形4BC0的斜二測直觀圖為等腰梯形4'B'C'D',已知4'B'=2C'D'=4,則()

C.四邊形4BCD的周長為6+4，ND,四邊形4BCD的面積為6，7

12.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型

能力.“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學繪制“十字貫穿體”

的素描作品十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中

一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相

對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學繪制的

“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（）

A.一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面積是112-16，9

C.該“十字貫穿體”的體積是48-手

D.CE與BF所成角的余弦值是?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：/）如下：100,120,125,165,

430,186,175,234,425,310.這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為

14.設(shè)Z]=2+33z2=m+i（meR）,若Z1Z2為實數(shù)，則m的值為.

15.乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，2000年之后國際比賽

用球的直徑為407nm.現(xiàn)用一個底面為正方形的棱柱盒子包裝四個乒乓球，為倡導環(huán)保理念，

則此棱柱包裝盒（長方體）表面積的最小值為cm?.（忽略乒乓球及包裝盒厚度）

16.如圖，在平面中，圓。是半徑為1的圓，。4=2,設(shè)B,

C為圓上的任意2個點，則正?前的取值范圍是.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災害，為了了解該地區(qū)受災居民的經(jīng)濟損失，制定合理的幫扶方案，研

究人員經(jīng)過調(diào)查后將該地區(qū)所有受災居民的經(jīng)濟損失情況統(tǒng)計如圖所示.

（1）求a的值；

（2）求所有受災居民的經(jīng)濟損失的平均值；

（3）現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟損失在[4000,8000）的居民中隨機抽取8人，則在

[4000,6000）的居民有多少人.

18.（本小題12.0分）

在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,若（2b-a）cosC=ccosA.

(1)求角C的大??；

(2)若c=3,求△48C的周長取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD為平行四邊形，^ADC=45°,AD=AC=1,。為4c

的中點，「。_1_平面48。。，PO=2,M為PD的中點.

(1)證明：PB〃平面ACM；

⑵求直線4M與平面4BCD所成角的正切值.

20.(本小題12.0分)

甲、乙、丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決

定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪

空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另

一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率

都為，.

(1)求甲在第三場被淘汰的概率；

(2)求甲最終獲勝的概率.

21.(本小題12.0分)

在四邊形2BCC中，AB=2,44=60。，/.ABC=/.BCD=90°,設(shè)NCBD=a.

(1)當a=15。時，求線段4。的長度；

(2)求△BCD面積的最大值.

22.（本小題12.0分）

如圖，三棱錐P-ABC中，平面P4C平面2BC,右4BC=p點D、E在線段AC上，且AD=DE=

EC=2,PD=PC=4,點尸在線段4B上，旦EF//BC.

（I）證明：4B1平面PFE.

（1【）若四棱錐「一。尸8。的體積為7,求線段BC的長.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：Z=上心!)=生一+乙

(l+i)(l-0222

則Z的虛部為一.

故選：C.

直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：???a=2bsinA,

由正弦定理可得：sinA=2smBsinA,

vsinAW0,

????sinB=1

???ZL48C為銳角三角形，

???B=2

6

故選：A.

由a=2bsinA,利用正弦定理可得：sinA=2sinBsinA,化簡即可求解.

本題考查正弦定理得應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：密碼被破譯的概率為1一(1一0.4)(1-0.5)=0.7.

故選：C.

求得密碼沒有被破譯的概率，用1減去沒有被破譯的概率，即為密碼被破譯的概率.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運

用.

4.【答案】B

【解析】解：m.n、，表示不同的直線，*/?表示不同的平面，

對于4,若m〃a,n//a,則zn與n相交、平行或異面，故4錯誤；

對于B,若rn_La,n1a,則由線面垂直的性質(zhì)得m〃n,故B正確；

對于C,若mlZ,nl/,則zn與n相交、平行或異面，故C錯誤；

對于D,若m〃a,m//p,則a與/?平行或相交，故。錯誤.

故選：B.

對于4,m與n相交、平行或異面；對于B,由線面垂直的性質(zhì)得m〃n；對于C,in與n相交、平行

或異面；對于D,a與￡平行或相交.

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：■?BD=2DA，

-.CB=CD+DB=CD+IAB=CD+1（CB-CA）,

?■'CB=3'CD-2CA,■■■~CB=XCA+ii~CD,

:.X=—2,〃=3,

A2

?7_-§，

故選：A.

利用平面向量的線性運算，平面向量基本定理得到方=3萬-28?，再與已知對比得到；I,〃的

值即可.

本題考查平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平均數(shù)、方差的求法，考查平均數(shù)、方差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意求出或和S2,由此能求出結(jié)果.

【解答】

解：某19個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為2,現(xiàn)加入一個數(shù)5,

此時這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3方差為s2,

則心陪5,

s2=^[19x24-(5-5)2]=1.9<2.

故選：C.

7.【答案】B

【解析】解：由已知做出正三棱柱ABC-aB1G，貝必B=BC=AC=

AAi=2,

設(shè)點M,N分別為正△4BC,正的中心，連接MN,則MN=2,

連接CM并延長交于4B于點。，則4。=80=1,CM=|CD,

設(shè)點。為MN中點，連接CO,則點。為正三棱柱ABC-4B1G外接球的球

心，且MN1平面ABC,ON=0M=1,

因為點M為正△ABC的中心，

所以CO_L4B,

所以CO=VAC2-AD2=722-12=口,則CM=早，

因為CMu平面ABC,

所以MN1CM,

則正三棱柱外接球半徑R=CO=VCM2+MO2=J（行％+/=

所以該球的表面積為：4近2=47rx，箏

故選:B.

由已知畫出圖形，連接上下底面中心MN,則MN的中點即為外接球球心，連接C。，求出C。即可

計算得出外接球的面積.

本題考查球的表面積相關(guān)知識，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：???而?前=2,^BAC=

|荏||而|=2yf~2,

：■S^ABC=gI荏11而Isin/BAC=1,

_1_1

%MBC~2^^ABC=2f

???+S^MAC=S“BC—S^MBC=2^^ABC=29

設(shè)S/iMAB=X,0<X<-9

則SAAMC=?x,

,“1,11,1r/1,1、,，1、

二由柯西不等式可得，不+ev+p=2q+p)(*+1%)

22佳C+啟,值工)2=8，

當且僅當盍?JJ，=T==.C,即x=；時，等號成立，

{2~X

故心+不匚的最小值是8.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，以及三角形面積公式，可得4MBC=gs“BC=g，再

根據(jù)三角形之間的面積關(guān)系和柯西不等式，即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，掌握柯西不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于難題.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積的坐標計算，涉及向量平行和垂直的判斷.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,向量五=(l,x—1),b=(%2),若d=則有{:_；_2'無解，則必有，。3,A正確;

對于8,若G〃a則有2=%(x-l),解可得》=2或一1,B錯誤；

對于C,若&1石,則五不=x+2(%-1)=0，解可得x=|,C正確；

對于。，a-b=(l-x,x-3)(則|五一方|2=2(%—2)2+222，必有|五一3|2。，。正確;

故選：ACD.

10.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,由對立事件的定義，P(4)+P(a)=l，p(4)=p(4)不一定正確，4錯誤；

對于B,4+1為必然事件，則P(4+1)=1，B正確；

對于C,若P(4)=l,A是必然事件，貝而為不可能事件，則P(])=0,C正確；

對于D,4與4不會同時發(fā)生，則p(44)=0,/)正確.

故選：BCD.

根據(jù)題意，由對立事件的定義依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

本題考查對立事件的定義和性質(zhì)，注意對立事件和互斥事件的不同，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：由圖易得=由斜二測畫法得，

在原圖直角梯形48C。中，AB=2CD=4,4。=2—/BAD=%

易得BC=2，？，所以四邊形ABC。的周長為6+2/1+2，點，

面積為竽X2n=

故選：AD.

根據(jù)斜二測畫法的定義，求得邊長，再求周長與面積即可.

本題考查斜二測畫法，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對4選項，如圖一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線CE、DE,

則在梯形BDEF中，可知BC=3-「i,BF=2,EF=3,DE==V_13.

根據(jù)立體圖可得C。=2yJ~2.CE=DE=V_6,顯然CE2+DE2HCD?即CE、DE不垂直,4不正確;

對B選項，該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成，

則表面積S=4x4+16x升3.12x2=112-16/2,8正確；

對C選項，如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST,取CS的中點/,

則多面體CDGEST可以分成8個全等三棱錐C-GE1,則％_GE/=gxx2=學，

該“十字貫穿體”的體積即為1/=2*24-8%-6￡/=48—竽,(:正確；

對D選項，如圖，過C,D分別作C/,D/垂直于EF直線，垂足點分別為/,],

連接PM,CD,則易知E為〃的中點，〃=CD=PM=2/N，

AIE=又C7=DJ=BF=2,

CE=VCl2+IE2=V4+2=<6，

又B/7/D〃/C/,N/CE即為所求，

而coszJCE=與==￥，正確.

CEv63

故選：BCD.

對4,根據(jù)圖形分別求出CD=2C,CE=DE=V^，結(jié)合勾股定理判斷垂直;

對B，表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成，分別計算；

對C,體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積；

對D，將異面直線平移成相交直線，解三角形，即可求解.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】210

【解析】解：10個數(shù)據(jù)從小到大排列為：100,120,125,165,175,186,234,310,425,430.

10x60%=6,而第6個數(shù)為186,第7個數(shù)為234,

又誓把=21。，

故答案為：210.

10個數(shù)從小到大排列，計算出10x60%=6,求出第六個和第七個數(shù)的平均數(shù)即可.

本題考查了百分位數(shù)的定義及算法，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-|

【解析】解：Zi=2+3i,z2=m+i,

則Z1Z2=(2+3i)(m+i)=2m-3+(2+

Z1Z2為實數(shù)，

???2+3m—0,解得m=—余

故答案為：—

根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，以及實數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及實數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】256

【解析】解：設(shè)4B,C,。是四個球的球心，以下面積單位是cm2,

(1)/1,B,C,。四點共線，MS=2x42+4x4x16=288；

ABCD

(2)4B,C,。四點構(gòu)成一個正方形，則5=2x82+4x8x4=256；

n

(3)4B,C,。四點構(gòu)成一正四面體，如圖，設(shè)E是△BCO中心，

A

則AE平面BCD,4E1BE,BE=?x4=殍，AE=I42-(—)2=—.

33\33

正四棱柱為正方體，棱長為亨+4，

表面積為S=6x(4+手產(chǎn)=32(5+2<6)>256，

比較可得表面積最小值為256cm2.

故答案為：256.

比較三種情形下的表面積即可得：一種四個球排列一列，四個球心在同一直線上；第二種四個球

平放，四個球心構(gòu)成正方形；第三種四個球心構(gòu)成正四面體.

本題考查了柱體表面積的計算，屬于中檔題.

16.【答案】[一2,6]

【解析】解：若。為BC中點，令瓦彳，灰夾角為仇如下圖示,

.-.ACBC=(OC-OAyBC=OC-BC-OA-BC=\OC\\BC\cos/.OCB-\OA\\BC|cos。

=^\BC\2-2\BC\cos9,又|就|e[0,2],且cos"1,

??-BC|2-2|FC|cos6>>!|BC|2-2|BC|=|(|BC|-2)2-2,

此時，當|舐|=2時近?近最小值為-2；

由cos。>-1,則:畫『一2畫\cos6<j|FC|2+2|fiC|=|(|6?|+2)2-2；

此時，當|就|=2時而?前最大值為6；

綜上，4c?的取值范圍是［一2,6］.

故答案為：［—2,6］.

若D為BC中點、,令瓦4,就夾角為。，由尼?林=(沃-瓦?)?前，將其化為關(guān)于|而|和。的關(guān)系

式，討論cosOW1、cos。之一1結(jié)合|比|e［0,2］求目標式的范圍.

本題考查向量數(shù)量積的范圍的求解，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)依題意，(0.00003x2+a+0.00015+0.0002)x2000=1,解得a=0.00009.

(2)所有受災居民經(jīng)濟損失的平均值為1000X0.3+3000X0.4+5000x0.18+7000x0.06+

9000x0.06=3360元.

⑶由⑴得經(jīng)濟損失在［4000,6000)和在［6000,8000)的人數(shù)比例為3：1,

由分層抽樣知，經(jīng)濟損失在［4000,6000)的居民有8X京=6人.

【解析】(1)根據(jù)直方圖中頻率和為1列方程求參數(shù)；

(2)根據(jù)直方圖計算平均值；

(3)根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)求在［4000,6000)的居民數(shù)量.

本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.［答案］解:(1)由于(2b—a)cosC=ccosA,由正弦定理得(2si九8—sinA)cosC=sinCcosA,

即2s譏BcosC=sinAcosC+sinCcosA,即2s譏BcosC=sin(A4-C),可得：2sinBcosC=sinB,

因為sinB豐0,

所以cosC=g,

因為0VC〈冗,

所以C=

(2)因為C=§,c=3,由正弦定理可得有=訴=亙=2"3,

于是，a+b+c=2yT~3(sinA+sinB)+3

=2V3［SITIA+sin(——/)］+3

=6sin(7l+石)+3,

因為△4BC中，C=

所以26(0,專)，4+

所以sin(j4+^)6(^,1])可得：a+b+ce(6,9]>

所以△4BC周長的取值范圍為：(6,9].

【解析】(1)由正弦定理化簡已知等式可得：(2sinB-sin4)cosC=sinCcosA,利用三角形內(nèi)角和

定理整理可得2sinBcosC=sinB,由sinB豐0,解得cosC的值，結(jié)合范圍0<C<兀，可求C的值.

(2)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得。+6+。==65譏(4+看)+3,由C,4的范圍可求

A+1&《，宗)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可計算得解△ABC周長的取值范圍.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的

應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：連接BD,MO,在平行四邊形A8CD中，

???。為AC的中點，???。為BD的中點，

又：M為PD的中點，

PB//MO,

PB仁平面4CM,MOu平面4CM,

???PB〃平面4cM.

(2)解：取。。中點N,連接MN,AN,

為PD的中點，

MN//P0,且MN=；PO=1,

由POJ_平面4BCD,得MN_L平面ABCC,

4MAN是直線4M與平面4BCD所成的角，

在RtAZMO中，vAD=1,20=4，^DAO=90°,DO=-.

，2

***AN=-DO=

24

.....MN14y/~5

在RtZiANM中，tanzMi47V=-=-==

-

即直線4M與平面4BCD所成角的正切值為專！

【解析】(1)連接BD,MO,在平行四邊形4BCD中，由。為4C的中點，知。為BD的中點，再由M為

PD的中點，知PB〃MO,由此能夠證明PB〃平面ACM.

(2)取。。中點N,連接MN,AN,由M為PD的中點，為MN//PO,且MN=；PO=1,由P。1平

面4BCD,得MN_L平面4BCD,故/MAN是直線4M與平面4BCD所成的角，由此能求出直線4M與

平面4BCD所成角的正切值.

本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法.解題時要認真審題，

仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題.

20.【答案】解：(1)甲在第三場被淘汰的概率為：xg=a

(2)記事件4為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

則甲贏的基本事件包括BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,BCACB,BCABC,BCBAC,

所以，甲贏的概率P=?)4+7X?)5=￡.

【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式求解.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運

用.

21.【答案】解:(1)當a=15。時，在△ABD中,AB=2,AABD=75°,AADB=45°,

AD2sin75。_2(si?t450cos300+cos450sin30。)

由正弦定理端得=V-3+1.

si九75'sin45°-sin45°

(2)在△ABD中，Z,ABD=90°-a,4ADB=180。-60。一(90。-a)=a+30。,

由正弦定理磊=扁%=BD=而嘉彳

>T-3sina

在RfBCD中，g=8。血。=品局,CD=BDsina=

sin(30°4-cr)*

13sinacosa_3sinacosa

此時=qBD-CD—

2si*(a+30。)2/in2a+/os2a+?sinacosa

____________________6________6__________￡2

直即2。+1+2ca_3tana+康+2C2j3tma喘+2C2

當且僅當tana=?時等號成立，故4BCD面積的最大值為?.

【解析】(1)在△4BD中，直接利用正弦定理可求得4。的長度;

(2)利用正弦定理可求得8D,進而求得BC、CD,利用三角形的面積公式、弦化切以及