2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列關(guān)于函數(shù)/(x)=2cos2x+6sin2x及其圖象的說(shuō)法正確的是()

Aj(X)max=2

B.最小正周期為2?

C.函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)《喉()｝左eZ)

k冗jr

D.函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=OkeZ)

26

2.在等差數(shù)列｛%｝中，S”為其前"項(xiàng)和，24=%+5,則兀=()

A.55B.65

C.15D.60

3.4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()

A.24種B.81種

C.64種D.256種

4.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列也｝的公比為心前〃項(xiàng)和為7“.若

22n+12n2

SnTn=n3-2n-3-3n+2n，則O

A.=-1B.d——6

C.4二-8T).q=9

22

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)C:二—3=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，工，點(diǎn)”是雙曲

ab

IIIIIMFI3

線(xiàn)右支上一點(diǎn)，|。囪=。6|,且向八二鼻，則雙曲線(xiàn)的離心率為o

A.V13B.2而

3

D.-

22

6.已知集合4={—2,—l,0,l,2},8={x[(x—l)(x+2)<0},則AB=()

A.{-1,0}B.{O,1}

C.{-1,0,1}D.{0,l,2）

7.已知x>0,y>0,條件。：x+2y=2孫，條件/1+丁^^+拒，則P是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABC。中，點(diǎn)用滿(mǎn)足AM=xAB+yAC+。一x—y）AQ（%ywR）,點(diǎn)N滿(mǎn)足

￡>N=/in4+（l—㈤。C（/leR）,當(dāng)40和DN的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，AM-AN的值是（）

11

A.-B.——

33

22

C.一D.----

33

9.記S”為等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和，有下列四個(gè)等式，甲：％=1；乙：S3=9；丙：56=36；T：/=6,如

果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

y2

10.已知正方形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓E:二+=1（?！?〉0）上，若E的焦點(diǎn)F在正方形A6C。的外面,

a&2

則E的離心率的取值范圍是（）

11.對(duì)于兩個(gè)平面。、夕，“a內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到廠(chǎng)的距離相等”是“&//，”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.某制藥廠(chǎng)為了檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把1000名使用疫苗的人與另外1000名未使用疫苗的人一年中的記錄作

比較，提出假設(shè)Ho：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用2x2列聯(lián)表計(jì)算得片。3.918,經(jīng)查對(duì)臨界值表知

」(孵23.841b0.05.則下列結(jié)論中,正確的結(jié)論是()

A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有95%的可能性生病

B.這種疫苗預(yù)防的有效率為95%

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用

D.有95%的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知曲線(xiàn)C:+何尸=1,

①若加>〃>o,則。是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上;

②若m=n>。,則C是圓，其半徑為6；

③若儂<0,則。是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y=±J-'布

Vn

④若根=0,n>0,則C是兩條直線(xiàn).

以上四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)為.

14.設(shè)函數(shù)/U)在R上滿(mǎn)足/(x)+研(x)>0,若。=(3。3)/(3。-3),》=(log.3>/(logx3),則4與6的大小關(guān)系為

15.J74-X。dx=.

16.不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知兩個(gè)定點(diǎn)4(0,4),5(0,1),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=2|PB|,設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線(xiàn)E,直線(xiàn)/：y=區(qū)―4

(1)求曲線(xiàn)E的軌跡方程；

(2)若/與曲線(xiàn)石交于不同的。、D兩點(diǎn),且/CO￡>=120°(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線(xiàn)/的斜率；

18.(12分)有1000人參加了某次垃圾分類(lèi)知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)分成5組:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中”的值；

(2)估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).

19.(12分)某工廠(chǎng)為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取

了1000件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果按［2,4),［4,6),［6,8),［8,10］分組，得到如圖

所示的頻率分布直方圖，若該工廠(chǎng)認(rèn)定產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級(jí)產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在［8,10］內(nèi)時(shí)為優(yōu)等

品.

甲生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖乙生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖

(1)用統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量哪一條更好，并說(shuō)明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)；

(2)用分層抽樣的方法從該工廠(chǎng)樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品

都是甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的概率.

22

20.(12分)已知雙曲線(xiàn)C：=—==1(a〉0,b>0)的一條漸近線(xiàn)的方程為—2y=0,雙曲線(xiàn)C的右焦

ab

點(diǎn)為w(3,0),雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B

(1)求雙曲線(xiàn)C的方程;

（2）過(guò)右焦點(diǎn)b的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的右支交于P,。兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方），直線(xiàn)AP的斜率為匕，直線(xiàn)3。的

斜率為附證明：2為定值

21.（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入

二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢

測(cè)，用X表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL,即：百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得

某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

天數(shù)X123456

抗體含量水平y(tǒng)510265096195

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，＞=06&與丁=〃+灰（°,b,c,d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的

回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；

（3）從這位志愿者前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：

f(x,-x)2

E(叱-W)2叱—磯X,.—x)8.3

Xyw

i=\1=1i=lJ=1

3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87

其中w=lny.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,匕），（4加2），（%，匕），…，（％匕）的線(xiàn)性回歸方程v=%+a

Z(%-祖匕TSuy.-nuv

1

的系數(shù)公式，~—=：2_2；屈.

二(4-qVw.-nu

Iz=l

22.(10分)已知拋物線(xiàn)/=2px(p〉0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=—g.

(I)求拋物線(xiàn)方程；

(II)設(shè)直線(xiàn)y=k(x—2)(左，0)與拋物線(xiàn)相交于河，N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OM±ON.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】化簡(jiǎn)/(x)=2sin(2x+gj+l,利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷，即可

【題目詳解】/(x)=2cos2x+-^sin2x=cos2x+1+-^sin2x

=2^^-sin2x+^-cos2x+1=2sin+1

???/(x)1mx=3,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

/(x)的最小正周期為〃，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

令2X+B=左雙左eZ),則1=會(huì)—二伏eZ),故函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)(keZ),C選項(xiàng)錯(cuò)

6212<2127

誤；

jrJTKTCTCKTTTC

^2x+-=k7T+-(keZ),則x=—+—(左eZ),所以函數(shù)廣⑺圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=(4eZ),D

622626

選項(xiàng)正確

故選:D

2、B

【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

【題目詳解】解析：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以24=%+%=。5+5,即%=5,4=13（%；%3）"3%=65.

故選:3

3、D

【解題分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.

【題目詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有44=256種.

故選：D

4、D

【解題分析】用基本量表示可得基本量的關(guān)系式，從而可得q=9,故可得正確的選項(xiàng).

【題目詳解】若4=1,則［=〃4，而S“=叫+

此時(shí)§工,=^--n3+2,這與題設(shè)不合,

故故7；=

1-qq-1q-1

故sjn=

(g—iq—i.

曲〃之,〃

——i--n

2(“T2(小)

而SJ；=3〃29"-2小9"-3"2+2”

故d4=48,她=8,此時(shí)d,不確定,

故選：D.

5、A

【解題分析】本題考查雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.

【題目詳解】因?yàn)槎鷟=|。段，|。叫=|。巴

所以在心中，邊耳鳥(niǎo)上的中線(xiàn)等于山閭的一半，

\ME\3

所以/片叫=90。.因?yàn)殡xH=z，

MF

\2\2

所以可設(shè)|肋［=3根，=2m(m>0),

則(3加尸+(2加『=4/,解得m=2叵°,

13

所以陽(yáng)周=嚕C，附閭=普。

由雙曲線(xiàn)的定義得2a=陽(yáng)用—|班|=叫3°,

所以雙曲線(xiàn)的離心率e=￡=屈

a

故選：A

6、A

【解題分析】由已知得5={x|-2<%<1},

因?yàn)锳={—2,—1,0,1,2},

所以Ac5={—1,0},故選A

7、A

【解題分析】利用“1”的妙用探討命題“若P則g”的真假，取特殊值計(jì)算說(shuō)明“若g則P”的真假即可判斷作答.

11,

【題目詳解】因?yàn)閄>。，y>0,由x+2y=2孫得：—+-=1,

2yx

11A

貝!l(x+y)—+-=|+后,

12yx)

當(dāng)且僅當(dāng)x=0y,即>=匕也,x=l+立時(shí)取等號(hào)，因此，P=q,

22

3

因x>0,y>0,由x+yN—+逝，取x=2,y=2,則x+2y=6,2孫=8,即x+2y/2盯，q]p,

所以。是4的充分不必要條件.

故選:A

8、A

【解題分析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M,N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.

【題目詳解】因AM=xAB+yAC+。一x—y)AD,則AM—A。=x(A3—A。)+y(AC—A￡>),即

DM=xDB+yDC，

而x,yeR,則共面，點(diǎn)M在平面BCD內(nèi)，

y.DN=ADA+(l-A)DC(AeR),即CN=/IC4,于是得點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，

棱長(zhǎng)為1的正四面體ABC。中，當(dāng)4以長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面BCD上的射影，即正△BCD的中心，

因此，AM=-AB+-AC+-AD,當(dāng)ON長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)O在直線(xiàn)AC上的射影，即正△AC。邊AC的中點(diǎn),

333

AN=-AC,而/BAC=ND4C=60，AB-AC=AD-AC=lxlxcos60=-

229

11121

所以AMAN=—(AB+AC+A。)一AC二—(ABAC+AC+ADAC)=-.

3263

故選：A

9、D

【解題分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗(yàn)證得到答案

【題目詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,

3q+3d=9①3

a1

此時(shí)64+152=9

若甲不成立，貝！I6q+15d=36②，由①,③可得

q+3d=6(3)d=

2

與②矛盾；A錯(cuò),

ax-1①%=1

若乙不成立，貝！|<6%+15d=36②，由①,③可得5,此時(shí)6q+15J=31；

d=—

a1+3d=6③3

與②矛盾；B錯(cuò),

4=1①

a1—1

若丙不成立，貝!|3q+3d=9②，由①，③可得＜5,此時(shí)3%+3d=8；

d=—

q+3d=6③3

與②矛盾；C錯(cuò),

tZj=1

a=1

若丁不成立，貝!I3q+3d=9,由①，③可得<,此時(shí)34+3d=9；

d=2

6al+15J=36

，D對(duì),

故選：D.

10、C

【解題分析】如圖由題可得爐=孚7T</,進(jìn)而可得/+￡—1>。，即求.

a+b

22

【題目詳解】如圖根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)。在直線(xiàn)y=x上，可設(shè)。(％x),x>0,則=+==1,

ab

可得〃<ac,

/.c1+ac-a1>0，BPe2+e-l>0,又e<l

解得咚

故選：C.

11、B

【解題分析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.

【題目詳解】充分性：若。內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到力的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上時(shí)，可得a//，；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在

一條直線(xiàn)上時(shí)，則尸平行或相交，故充分性不成立；

必要性：若。///，則a內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到廠(chǎng)的距離相等，故必要性成立，

所以“a內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到廠(chǎng)的距離相等”是“&//月”的必要不充分條件.

故選:B.

12、C

【解題分析】根據(jù)K?的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.

【題目詳解】■力儀3.918,P(7f2>3.841)?0.05,

在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對(duì),

由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有95%的可能性生病，A錯(cuò),

由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為95%,B錯(cuò)，

由已知數(shù)據(jù)沒(méi)有95%的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯(cuò)，

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①③④

【解題分析】通過(guò)機(jī)，〃的取值判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸，判斷①，求出圓的半徑判斷②；通過(guò)求解雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,

判斷③；利用m=0,n>0,判斷曲線(xiàn)是否是兩條直線(xiàn)判斷④

【題目詳解】解：①若根>">0,則

mn

22

工+工=1

因?yàn)榉匠袒癁椋?—,焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸，所以①正確；

mn

②若機(jī)=〃>0,則C是圓，其半徑為:不一定是薪，所以②不正確;

③若加<0,則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為〃a2=t少2,化簡(jiǎn)可得>=±_-x,所以③正確;

n

④若加=0,n>0,方程化為〃y2=i,則c是兩條直線(xiàn),所以④正確;

故答案為：①③④

14、a>b

【解題分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),利用"x)的單調(diào)性求解即可.

【題目詳解】設(shè)函數(shù)F(x)=#x),

F'(x)=f(x)+xf(x)>0,

.?.尸(*)=勸>)在R上為增函數(shù)，

又?；3°3>1,log"3Vl,

0J

.*.3>logff3,

.?.歹(3°3)>理og〃3),

.?.(3°-W3)>(Iogz3)/Uogz3),

:?a>b.

故答案為:a>b.

15、27r

【解題分析】根據(jù)被積函數(shù)y=J二J(2WXW2)表示一個(gè)半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.

【題目詳解】被積函數(shù)產(chǎn),4_/(2W]W2)表示圓心為(0,0),半徑為2的圓的上半部分，

所以J,"-7dx=*i"=2兀.

故答案為：2兀.

【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用定積分的幾何意義來(lái)求定積分，在用該方法求解時(shí)需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函

數(shù)值符號(hào)，本題屬于中檔題.

16、1717

【解題分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可求所有數(shù)的和.

【題目詳解】100以?xún)?nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公差為3,

共有34項(xiàng)，它們的和為1義34+^——x3=1717,

2

故答案為：1717.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)x2+y2=4；(2)±715

【解題分析】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(九》),^\PA\=2\PB\,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，列出式子，可求出軌跡方程；

(2)易知|0。|=|0￡)|=2,且NCO￡>=120°,可求出O到直線(xiàn)CD的距離，結(jié)合點(diǎn)。(0,0)到直線(xiàn)/的距離為

-Ji,可求出直線(xiàn)/的斜率

VFTi

【題目詳解】(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(羽y),

由|冏=2|P4可得也2+"4)2=2也2+(y_l)2,

整理得必+V=4,所以所求曲線(xiàn)E的軌跡方程為x2+r=4

(2)依題意，且NCOD=120。，

在AOC￡>中，NODC=30°，取CD的中點(diǎn)”，連結(jié)3,則O//LCD,

所以|0M=|0q-sinNQDC=2x；=l,

cD

H

即點(diǎn)0(0,0)到直線(xiàn)/：依_y_4=0的距離為II=1,解得左=±厲，

“2+1

所以所求直線(xiàn)/斜率為土JT?

【題目點(diǎn)撥】本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)的斜率，考查兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查學(xué)生

的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)0.040；(2)750；(3)76.5.

【解題分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中。的值；

(2)先求出競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率，由此能估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；

(3)由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

【題目詳解】(1)由頻率分布直方圖得：

(0.010+0.015+a+0.020+0.015)x10=1,

解得a=0.040

???圖中。的值為0.040

(2)競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率為：1-(0.010+0.015)x10=0.75,

二估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)為1000x0.75=750

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，

估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：

x=0.010x10x55+0.015x10x65+0.040x10x75+0.020x10x85+0.015x10x95=76.5

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這

些知識(shí)的理解掌握水平

19、(1)甲更好，詳細(xì)見(jiàn)解析

⑵-

5

【解題分析】(D根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案;

(2)由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件4件,

記為a,伍c,d,從乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有2件，記為E,F；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根

據(jù)古典概型計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：甲生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：X1=3x0.05x2+5x0.15x2+7x0.2x2+9x0.1x2=6.4；

乙生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：%2=3x0.15x2+5x0.1x2+7x0.2x2+9x0.05x2=5.6

因?yàn)榫?gt;三，所以甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平高于乙生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平，

故甲生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量更好.

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品有100x0.1x2=20件，乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品有100x0.05x2=10件，從

20

甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件6><^^=4件，記為a,b,c,d,從乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有

20+10

6x二0八二2件,記為E,F；從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有：

20+10

(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(a,F),

(b,c),(b,d),(b,￡),(b,F),

(c,d),(c,E),(c,F),

(d,E),(d,F),

(￡,F),共15種；其中符合條件的情況有：

(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6種.

故抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的概率為：尸=2=|.

22

20、(1)-乙=1；

45

(2)證明見(jiàn)解析.

【解題分析】(1)由題可得c=3,2=即求；

a2

(2)由題可設(shè)直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法即證

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知在雙曲線(xiàn)C中，c=3,?=c2=a2+b2,

a2

a=2,

解得，廠(chǎng)

[b=y/5,

22

所以雙曲線(xiàn)c的方程為L(zhǎng)—匕=1；

45

【小問(wèn)2詳解】

證法一：由題可知A（—2,0）,5（2,0）,

設(shè)直線(xiàn)/：丁=左。一3）,尸（石,%）,。（%,必），

,y：k（x：3）,得（5—4左2）^2+24k2x—36k2—20=0,

由

5%2-4/=20、4*7

24左236左2+20

貝!IM一~>0,xrx2〉0,

4左2—5

.%

**k1石+2%-2'

仁_%（%2-2）_（七一3）（九2—2）_石X2—2%]—3尤2+6_玉%—3（玉+々）+玉+6

k2%（玉+2）—3）（再+2）尤Iz-3尤1+2%—6石%—3（石+%）+5々一6

2

36左2+20394左2?24k

-%+6

4/—54左2—54k2—5

36左2+203々4）

+5%2—6

4k2-54k2-5

12k2-101242—10

4Jf

442—51

50—60?。?2左2一1（）25;

+5%_5

4左2—5I4左2—5

k,1

當(dāng)直線(xiàn),的斜率不存在時(shí)’/心3,此時(shí)會(huì)=不

綜上，口為定值

k2

證法二：設(shè)直線(xiàn)P。方程為x=2y+3,P（玉,yj,Q（x2,y2）,

x=my+3,/2

聯(lián)立得崗-4-2。整理得Gim-4）/+30my+25=0,

由過(guò)右焦點(diǎn)廠(chǎng)的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的右支交于P,。兩點(diǎn),

5m2-4w0,

—30m

>0,

5m2-42

則解得0（機(jī)＜K，

25

<0,

5m2-4

A=（30m）2—4x25x（5療—4）〉0,

—30m25%+%-30m65/、

%+%=

2*一丁,班％=7他+%)

5m—4―5m2_4，yiy225

由雙曲線(xiàn)方程可得A（—2,0）,5（2,0）,左=—,&=上不

玉+，12—2

Vx—my+3,/.x2-2=my2+1,xx+2=myx+5,

'（、15

A=X-2-2）=%（s+l）=S2+X=”+%）+%==_1

%-%&+2）-%（沖1+5）一沖g+5%——5（%+%）+5J―5%+25%-5

6'66

證法三：設(shè)直線(xiàn)產(chǎn)。方程為x=72+3,P（x，yJ,p（x2,y2）,

x=my+3,/\

聯(lián)立得22整理得（5/79?—4）/+930沖+25=0,

5%-4y=20,''

由過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的右支交于P,2兩點(diǎn),

5m2-4H0,

-30m八

―——>0.

5m2-42

則解得0＜根＜

4<。/，

5m~-4

A=（30m）2—4x25x（5加②—4）〉0,

—30m25

7+"2=^7,由雙曲線(xiàn)方程可得4(—2,0),5(2,0),

2

則上次5,

KiKPB-?cxc—2

石+2x1-2%1-4

5k[_5

%24kPB?左2

25

%=一為=5/-4

々-2（加/+1）（加％+1）加%為+冽（％+%）+1

25

5療4