黑龍江省名校聯(lián)盟2023-2024學年高三年級上冊模擬測試 數學 附答案

黑龍江名校聯(lián)盟2024屆高三模擬測試

數學試卷

(本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.)

注意事項：

L答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題

卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡

皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相

應的區(qū)域內，寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設復數z滿足z+2Z=—3—i,則忖=()

A.2B.y/2C.3D，V3

2.已知尤<0,y<0,且2x+y=—2,則4*+2,的最小值為()

A.lB.y/2C.2D.2V2

3.已知集合AB,若4={x|log3A；,1},且AcB=(O,2],則集合8可以為()

A.{X|2X<4}oj

C.y=D.卜1y=A/2-X}

cos^rx,(x.O)

4.已知函數/(%)=<2，則/

lx

A.2B.-2C.-4D.4

5.已知。=(1,機)1=(〃,2),向量匕在向量a方向上的投影向量為且a+〃與向量(—2,—1)共線且方

向相反，貝I()

m.c

A.一二一1B.m+n=2

n

C.m—n=2D.mn=l

6.若A5c分別為.ABC的三個內角，則“51114>51115”是“854+85(4+。)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.若正四棱柱A5CD-44G2與以正方形A5CD的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓

柱的側面積之比為（）

A.萬B.y/2C.血乃D.27r

.已知數列｛%｝的前幾項和為

8S,n，若。］=。2=3,且V幾.2,“eN*都有4（Sa-S“_J一S〃+i=0,則

)

3,n=1

A.{S?—2S-J是等比數列B.a=<

n2,2-'+l,n..2

3,n=l

C.a=jD$=48

n2"-l,n..2

二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知等差數列｛4｝的前"項和為S“，若邑023<°，邑024>0,則下列結論正確的是（）

A.{%}是遞增數列B.koM<|%0121

C.S](J12，，S"D.S]O15>S]008

10.關于函數/(x)=gcos］?"-2x）的圖象和性質，下列說法正確的是（

)

5萬

A.x=—是函數/（尤）的一條對稱軸

8

1是函數八X）的一個對稱中心

B.

137r

c.將曲線y=—Sin2x向左平移一個單位可得到曲線y=/（尤）

28

D.函數在［一言,°的值域為V2￡

一丁5

11.已知直線/：依—丁+2—2。=0與圓。：。—4）2+（丁—1）2=/（廠>0）相交于不同的兩點/,乂0為坐標

原點，則（）

A.直線/過定點（2,-2）

B.re(2,+oo)

C.當r=3時，|兒w|e[4,6]

D.當r=5時，CM.CN最小值為-25

12.在正四棱柱中ABCD-44cA,A\=^AB=2,E,F分別為棱AB,CG的中點，記a為過D.EF三點

所作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（）

2

A.異面直線EF與直線A4所成角的余弦值為y

B.a與平面BCCe的交線與BCX平行

C.截面a為五邊形

D.O點到截面a的距離為巴叵

17

三、填空題：本題4個小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數“X）是定義在R上的奇函數，當x<0時，/（x）=x—cos%+l,則當x..O時，/（%）=

14.在平行四邊形ABCD中，3BE=ED,CE=2AB+/zAD（2,//eR）,22+;/=.

32萬

15.已知球。的體積為一,其內接三棱錐O-A3C的底面A3C為直角三角形，且NAC5=90，則三棱

錐。-ABC的體積的最大值為.

16.己知/'（%）為函數八％）的導函數，且定義域均為R,若函數+與/（X）—%都是偶函數，寫出

函數以"的一個對稱中心為；

X

[/⑴T][/（2）+1]+[/（2）-1][尸（3）+1]+[/（3）-1][尸（4）+1]++[r（2023）-l][r（2024）+1]=

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知等差數列｛4｝公差與等比數列也｝公比相同，％=1也=4也一&=一3.

（1）求｛4｝和也｝的通項公式；

（2）記數列｛%｝是將數列｛%｝和｛〃｝中的項從小到大依次排列而成的新數列，求數列｛%｝前60項的和

18.（本小題滿分12分）

已知函數/（x）=xe*,xwR.

（1）求函數/（x）=W單調區(qū)間；

（2）若過點P（lJ）”eR）可以作曲線y=/（x）的3條切線，求實數f的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）

在四棱錐P—ABC。中，PB±AD,^DAB-ZCDA^45,AD//BC,且A。=2P3=4,AB=后,

PD=y/14-

（1）證明：平面PCD_L平面B43；

（2）求平面PCD與平面P3C夾角的余弦值.

20.（本小題滿分12分）

已知圓C'.x1—tnx+y1+2（2-m）y+m-l=0,meR.

（1）證明：圓C過定點；

（2）當機=0時，點尸為直線1上的動點，過尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,求四邊

63

形己4cB面積最小值，并寫出此時直線AB的方程.

21.（本小題滿分12分）

某校高中“數學建?！睂嵺`小組欲測量某景區(qū)位于“觀光湖”內兩處景點A,C之間的距離，如圖，3處為碼頭

7TJT

入口，。處為碼頭，5。為通往碼頭的棧道，且5D=100m,在6處測得=—,/CBD=一,在

46

27r34

D處測得/BDC=——,ZADC=——（AB,。,。均處于間一測量的水平面內）

34

（1）求A,C兩處景點之間的距離;

（2）棧道3D所在直線與AC兩處景點的連線是否垂直？請說明理由.

22.(本小題滿分12分)

已知函數/(x)=e*+?ln^,tz<0.

(1)當。=一e時，求函數“力的極值;

參考答案與解析

1.【答案】B

【解析】依題意，令2=%+其,尤,丁eR,則5=無一其，所以z+2彳=3x—yi=-3-i,所以

x=-1,y=1,即z=—1+i，所以目=J(—l)2+F=夜,故選B.

2.【答案】A

【解析】因為x<0,y<0,所以4*+2,=2?工+2>22亞可/=2，聲7=1，當且僅當22工=2丫，即

2x=y=—1時，等號成立，故選A.

3.【答案】D

【解析】因為log3X<l,所以0<x<3,所以集合4=(0,3],對于A選項，不等式2、<4的解為

%—2w0

x<2,Ar>B^(O,2\,所以A選項不合題意；對于B選項，不等式上<0等價于<[x(x-2)而解得

x2

B=[0,2),AnB^(0,2],所以B選項不合題意；對于C選項,

{9'=萬7}=[0,+%),4八8n(0,2],所以C選項不合題意；對于D選項,

{x[y=JT^}=(—8,2],ACB=(O,2],符合題意，故選D.

4.【答案】C

故選C

5.【答案】A

a-ban+2ma1.所以號=4①’又"〃與向量(-2,T共

【解析】依題意E-=/，./,==a

\a\n\a\yjl+m-J1+療2

線，a+b=(l+n,m+2),所以一(l+〃)+2(m+2)=0②，由①②聯(lián)立,

m=-1m=—7

解得《1或〈I/又〃+/?與向量(―2,-1)方向相反,

n=l[n=-ll

m=-lm=-l

所以「舍去，所以，故選A

n=-lln=l

6.【答案】C

nh

【解析】依題意可知，在上ABC中，由正弦定理可知——=——，若sinA>sinB,則于是

sinAsinB

A>B，且函數>=cosx在（0,句上單調遞減，所以cosA<cos3,又

cos（A+C）=-cosB,!jJiJcosA<-cos（A+C）=cos5,所以滿足充分性；且以上過程可逆，因此也滿足必

要性，故選C.

7.【答案】B

【解析】依題意，設正四棱柱ABC。-的底面邊長為。，高為用,圓柱的高為色，則圓柱的底面

半徑為豐口，則有/%=《專力外,整理得，后,正四棱柱與圓柱的側面積之比

2〃x

8.【答案】D

【解析】依題意，因為4（S“—S,i）—S〃M=0,

即S向—2sL2s“-4%=2母-2S,I)/>2,

又52_251=(囚+%)_2><3=0,所以S〃=2S,n-19n>2,又S]=q=3,

所以數列｛Sj是以3為首項，2為公比的等比數列，所以S〃=3X2〃T,所以

3,〃二1

32〃-22'S'="i+。2+/+%+“5=3+3+6+12+24—48,故選D.

9.【答案】AC

2023(4+%023)

【解析】依題意，邑023=2O23〃]0i2<0，所以4oi2v。，

2

S2024=2024(『3)=2024"2+，3)〉0,所以?1012+?1013>0,

所以《013>一％012>0,所以數列｛%｝的公差大于。，且|%013|>|%0/，所以A選項正確，8選項不正確;

所以So1？最小，即Sioi2<S"，所以C選項正確;

S1015—Sioog="1015+6014+6013+“1012+^011+^010+“1009=^^1012<°，所以D選項不正確，故選AC.

10.【答案】ABD

【解析】依題意，因為/(%)=1<05]子"一2%)=^0)5]2%一2F

1(.5?^.j1f.57r

二—cos2x--------4"=—cos2x-

242

令2%一區(qū)=左匹左wZ,x=S+區(qū)，左,當k=0時，x,

4288

STC

所以尤=—是函數/(力的一條對稱軸，所以A選項正確(另解：因為

8

5111弓457r

cos0-2xW=cos4萬=彳，即當了=二時，函數y(x)取得最大值，所以》=也是

I482288

函數””的一條對稱軸)；

人三5萬,71,「k兀1兀i，八7?lli/77萬八

令2%-----=k/c—,keZ,x=-------1--------，左wZ,當左=0,%=—，所以0

42288189

是函數/(%)的一個對稱中心，所以B選項正確(另解：因為

7%8s0-2x上,c°s上=。，即x=孑7萬TC是函數的零點，所以\[7wIT，oj?是函數

48228

“X)的一個對稱中心).

對于C選項,

5萬1.15?！ㄘＸ?%3兀

因為〃x)=gcos|2x-=—sin2x-------1--=-sin|2x-=lsin2A網

2422I28

1[31]1(33兀

又將曲線丁=—sin2x向左平移也個單位可得到曲線丁=—sin2x+?=-sin|2%+，所以C選

282k82\

項不正確;

因為/(x)=gcos]2x-2U」c°s2x+網3萬-6萬」1c°s2x+3兀

242

當TW。則+,所以函數/(x)的值域為一^^；，所以

D選項正確，故選ABD

11.【答案】CD

【解析】由直線ta-y+2—2。=0,可化為a(x—2)+(—y+2)=0,即直線/過定點

尸(2,2),所以A選項不正確;

因為直線/與圓C有總有兩個公共點，可得點P(2,2)在圓C內部,

所以(2—4尸+(2—1)2</，解得廠〉、/5,所以B不正確;

當廠=3時，圓C的方程為(x—4)2+(y—1)2=9,可得圓心C(4,l),又P(2,2)

貝U|CP|=E，可得長的最小值為2,戶=4,最大值即為直徑6,所以C選項正確;

當廠=5時，圓C的方程為(x—4)2+(y—1)2=25,

則CM-CN=\CM\\CN\cosZMCN=25cos/MCN

當直線/過圓心C(4,l),此時cos/MQV=—1,可得cos/493的最小值-1,

所以CM-CN的最小值為-25

故選CD.

12.【答案】ACD

【解析】

如圖，對于A選項，異面直線■與直線A&所成的角，即為直線"與直線Cq所成角，連接EC,則

nEFC即為直線EF與直線CG所成的角，在EFC中，FC=^CC.=2,

.__________________pr2

EC=y/EB-+BC2=A/5-則EF=4EC2+FC2=3,所以cos/麻°=三三=%，所以A選項正確；

Er3

延長。。交延長線于H，連接E"交3C于/,

延長HE交0A延長線于K，連接AK交AA于J,

則五邊形即為平面。流尸截該四棱柱得到的截面.即截面a為五邊形，所以C選項正確;

a與平面3CG耳的交線即為亞，則雙〃AK,又B3〃AR,ARcD[K=R,所以打與BQ不平

行，所以B選項不正確;

HCHFFC1

對于。選項，由于大百萬萬二5,所以HC=CD=2,

rLL)~HDX

AEKAKE

又--------一，所以KA=—,

HDKDKH43

=KH=J42+[I]=1A/13,DH=4nAKD#為等腰三角形,

KD1X

KF=dKH?-FH2=-734，

3

所以AKD.H的面積為

S&KAH=1D]HX/CF=2V2X|A/34=|V17

設。點到截面a的距離為h,則-DHK=^D-DXKH，

xx

~~DK-HDxDD[=gxS\D\KHh

即J_X]LX§X4]X4=！X￡7X〃，解得力=^§2叵，即0點到截面e的距離為生叵,

3U3J331717

所以。選項正確，故選ACD.

13.【答案】/（x）=x+cos%-l

【解析】當X>O,fVO,/（T）=f—COS（f）+1,又因為〃％）為R上的奇函數,

所以/（-X）=-/（X）=-x-cos（-x）+1,解得/（X）=X+COS%―1,

X/（0）=0+cos0-l=0,所以當1N0,/（x）=x+cosx—l.

14.【答案】---

4

【解析】依題意，可知8￡）=48后，則CD-C8=4（CE—C8）,

1313

整理得CE=—CD+二C5=—5A——BC,

4444

135

"=——4Ap所以2彳+〃=_工

【解析】設的中點為。「四面體A5CD的外接球的球心為。，

因為NACB=90，所以。1為ACB外接圓的圓心，

即點。1為四面體ABCD的外接球過A6,C三點的截面圓的圓心，

圓。1的半徑為廠，則A3=2r，

因為AC?+BC2=AB2=4r2，

而N°_14^1AC2+BC2_2

所以S.c——AC,BC<---------------—r,

當且僅當AC=3C時，取等號，

即當且僅當為等腰直角三角形時，ACS的面積最大，

連接。I。并延長交球面于一點，若使得四面體A5CD的體積最大，則該交點應為點。，0a即為四面體

ABCD的高，設oq=W[0,2),

則有d+/=/DO1=x+2,

=r2x+2=4-x2x+2=-x3-%2+X+，

則%面體ABC。SABC---()j()()-J3'3

令/(x)=-^X3--1X2+JX+J(0<%<2),

441

則f'(x)=-x2--x+-=--(x+2)(3x-2),

9?

當0〈犬■時，/r(x)>0,當]<%<2時，/r(x)<0,

所以了（%）在10,1）上單調遞增，在1g，2）上單調遞減,

2256

所以/OOmax=/-87

所以三棱錐O-A5C的體積的最大值為變.

81

故答案為----

【解析】依題意，因為％為偶函數，所以/（%）—%=/（—%）+%,即/@+正。=2,

X-X

令丸（同=/區(qū)，則MX）+/?（-%）=2,所以刈力關于點（o,i）對稱，所以函數/區(qū)的一個對稱中心為

XX

（0,1），

因為/［鼻+1］均為偶函數，所以+=+所以函數/'（%）的圖象關于直線x=l對稱，

Bpr（i+x）=r（i-x）,r（2+x）=r（-x）,

又因為/（x）-x=/（—x）+x，

所以/'（x）_l=_/'（_x）+l,所以/'（x）+/'（_x）=2,

r（2+x）+r（x）=2,r（4+x）+r（2+x）=2,

所以/''（4+x）=/'（x）,即函數/'（x）是周期為4的周期函數，

r（4—i）=r（-i）,即r（3）=r（-i）,r（o）=r⑷

r（i）+r（-i）=2,r（2）+廣（—2）=2,r（2）=r（-2），所以廣⑵=（（―2）=1

r（3）+r（i）=2,所以r（o）=/（4）=i,

所以廣（2）+廣（4）=2

所以也是周期為4的周期函數，

[r（i）-i][r（2）+i]+[r（2）-i][r（3）+i]+[r（3）-i][r（4）+i]+..+

[r（2023）-l][r（2024）+l]=

^r（i）-r（2）+r（i）-r（2）-i+r（2）.r（3）+r（2）-r（3）-i+

r（3”⑷+廣⑶一/⑷—i++r（2023）?r（2024）+f（2023）—廣（2024）—1

=r（1）.r（2）+r（2）-r（3）++r（2023）（20244）+/（1）-/（2024）-2023

=506[廣⑴]（2）+尸（2）尸（3）+尸（3）尸（4）+尸（4）r（5）]—廣（2024）/（2025）

+/，（l）-/f（2024）-2023

=506""）-r（2）+尸（2）尸（3）+尸（3）尸（4）+尸（4）/（5）]—尸⑼尸⑴+尸⑴—尸（0）—2023

=506[（/⑴+尸（3））（尸（2）+廣（4））]-廣（0）4⑴+廣⑴-4（0）-2023

=506x2x2-/,（l）+/,（l）-/'（0）-2023

=0

17.【解析】

（1）設等差數列｛an｝的公差和等比數列也｝的公比為f（f。0）,

因為4—4=4,'—（4+5。=—3，即4/—（1+5。=—3,解得/=2,

n2

所以%=1+2（"—1）=2"—l，d=b22-=2".

⑵數列｛bn｝中的項從小到大依次為2,4,8,16,32,64,128,,

而=99,4（；=119

依題意可知新數列｛5｝的前60項中，數列他J的項只有前6項，數列｛%｝有54項，

所以S60=（1+3+5+7++107）+（2+4+8+16+32+64）

=54。+1。7）+126

2

=3042.

18.【解析】

(1)函數/(%)的定義域為R,

/'(%)=ex+xex=ex(x+1),

令r(x)>o,解得x>—i,所以函數〃力的單調遞增區(qū)間是(—1,+。)

令/''(X)<(),解得X<—1,所以函數“X)的單調遞減區(qū)間是(—8,-1)

(2)由題意可得r(x)=(x+(e*,

設切點坐標為(為,%)，則切線斜率左=(七+1)七"，

所以切線方程為丁一胡用=(xo+l)-e%(x-x0),

將P(1J)代入得/=*(—片+5+1).

因為存在三條切線，即方程/=*(-焉+%+1)有三個不等實數根，

則方程t=*(一片+%+1)有三個不等實數根等價于函數y=t,y=e^(—x：+%0+1)的圖像有三個交點,

設8(%)=(-爐+x+l)e",則g,(x)=-(x-l)(x+2)eJC,

當xe(—2,1)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

在(一8,-2)和(1,+8)上，g'(x)<0,g(x)單調遞減,g(-2)=-3，

e

當叵或X〉上普時，g(x)<0，

畫出g(x)=(-d+x+l)e”的圖象如圖,

要使函數y=/,y=e%(-君+5+1)的圖像有三個交點,需g(2)</<0,

即—：</<0,即實數?的取值范圍5,0

19.【解析】

(1)連接3D，因為N3A￡>=45,A8=&,A￡>=4,

由余弦定理可得§￡)2=16+2-2X4XQCOS45=10，所以

BD=M，

在,PfiD中，PD=A,PB=2,BD=M,

則PD2=PB1+BD1，所以PBLBD，

又，AD,ADc5。=。

所以。51.底面ABCD,

依題意可知A3CD為等腰梯形，AB=?，可得3C=2,取中點“，連接班/,

則BC=DH=2,BC〃DH，所以四邊形5CDH為平行四邊形，DC//BH

又BH=BA=RAH=2,所以又BH上PB,PBcAB=B

所以平面B4B，

所以。平面Q4B，又。Cu平面PCD,

所以面PCD_L平面

(2)解法1：

如圖，建立空間直角坐標系,

B(0,0,0),C(V2,-V2,0),D(272,-V2,0),P(0,0,2),

PC=(V2,-V2,-2),DC=(-V2,0,0),BC=(A/2,-y/2,0),

設平面PCD法向量為m=(x,y,z),

則PC-m=A/2X-42y-2z=0,DC-m=-y/2x=0,

取z=—1，得根二(0,3,—1)

同理，設面尸BC法向量為"=(。/了)，則

PC-m=-yj2b-2c=0,BC-n=y/la-42b=0,

取a=l,得〃=(1,1,0),

+即士/?\m,nV2V3

由感思，cos(m,n)=--------=—j=~尸=—

\m\\n\V3-V23

設平面PCD與平面PCB的夾角為e,則cos。=|cos(m,〃)|=孝，

解法2：由(1)可知，依,平面^^^心匚平面四仁二平面^^平面至。。,

過。作。則平面PBC垂足為“,PCu平面PBC,則。HLPC,

過〃作PC的垂線，垂足為E，連。E，

由于HE工PC,DH工PC,HEcDH=H,HE,DHu平面DEH，

所以PCJ_平面。E”,DEu平面DEH，故PC_LDE,

D

則NDEH為所求二面角夾角的平面角.

PB=BC=2,AB=CD=4i,所以/3CP=工，

4

jrjrA/2，

DH=CDsin以=1,CH=DH=1,HE=Z/Csin,

442

也

cosNDEH=—=-^==—

DEE3

所以平面PC。與平面PBC夾角的余弦值為

20.【解析】

(1)依題意，將圓C的方程fy2+2(2—+根—1=0化為

x2-by2+4j—1+(1—x—2j)m=0

令1—%—2y=。，即％=1-2y，則(1—2y)2+J+4)一1=0恒成立，

解得x=Ly=0,即圓C過定點(1,0)

(2)當根=0時，圓C：元2+(y+2)2=5,

直線/:2+2=1

63

設P(sj),依題意四邊形B4cB的面積S=2S

當|PA|取得最小值時，四邊形B4C5的面積最小，

又網=J|PC|2—5，即當|PC|最小時，四邊形B4cB的面積最小,

圓心C(0,—2)到直線/:-+^=1的距離即為|PC|的最小值，

=26PA1mhi=J(2后-5:715

=715x75=573,即四邊形B4cB面積最小值為5石，

此時直線尸。與直線/垂直，

所以直線尸C的方程為y=2x-2,與直線/聯(lián)立，

解得P(2,2),以PC為直徑的圓的方程為x(x-2)+(y+2)(y-2)=0

即爐+9―2x—4=0,又圓。：爐+/+4)；—1=0,

兩式作差可得直線方程2x+4y+3=0

21.【解析】

(1)由題意可知，在5CD中，ZCBD=-,ZBDC=—=100

63

27r7T71

所以--------=-,所以，5CD為等腰三角形，所以5D=OC=100,

366

汽27r3兀17177rTC兀

在ABZ)中，NABD=巴，/ADB=2兀—-=—,^BAD=7T—----=-

.'434121246

100_AD

BD

BD=100由正弦定理:即1一顯,解得AD=100A/2

sin^BADsin/ABD

2T

在，ACD中，AD=100V2,DC=100,ZA