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年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班營(一)考試真題2024年3月30日本次考試共五道解答題,每題20分,共計(jì)100分;考試時(shí)間是8:30-10:10,共100分鐘。是從中隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)排列出的最大的三位數(shù),是從中隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)排列出的最大的三位數(shù)。求的概率.,求所有的,使得中有無窮多項(xiàng)為正整數(shù).求所有的,使對恒成立.是2024次多項(xiàng)式,,求.,求的值.2024年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班營(一)考試真題解答解:若中含9,則。有,則;在中無9的情況下:此時(shí),所以,解:由題可知,若,則,即;若,則,即;①當(dāng)時(shí),可用數(shù)學(xué)歸納法證,若,則,則數(shù)列遞減,不存在無窮多項(xiàng)為正整數(shù).②當(dāng)時(shí),同①可用數(shù)學(xué)歸納法證:且遞增.則不存在無窮多項(xiàng)為正整數(shù).③當(dāng)時(shí),,同②可用數(shù)學(xué)歸納法證:且遞增,則不存在無窮多項(xiàng)為正整數(shù).④當(dāng)時(shí),為常數(shù)列,符合要求.綜上,時(shí),存在無窮多項(xiàng)為正整數(shù).三、解:①有零點(diǎn),則.若時(shí),有,則在時(shí)矛盾,舍棄.②不存在零點(diǎn),則只須同時(shí)滿足綜上,為所求.四、解:若為的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則,即也為一個(gè)復(fù)數(shù)根,那么均為根.若,則均不同,則有無窮根,矛盾.由故也未一個(gè)根所以.令,則有則僅有一個(gè)解.綜上,.五、解:令.有柯西不等式:相加①(一個(gè)
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