高中物理 彈簧與物塊的分離問題 專項訓(xùn)練（教師版）

“彈簧與物塊的分離”模型

模型建構(gòu)：

兩個物體與彈簧組成的系統(tǒng)。兩個物體在運動到某一位置時就會分開，那么這個位置就

是物體間的分離點。

【模型】彈簧與物塊的分離

【特點】①都要建立動力學(xué)方程；②分離條件是：相互作用的彈力F“=0

這個問題可以分成兩類“模型”：

【模型1】水平面上“彈簧與木塊的分離”模型門！n

如圖1,B與彈簧相連，而A、B是緊靠在一起的AB絲吧吧吧吧)彳

兩個物體，當(dāng)彈簧原來處于壓縮狀態(tài)，如果地面是光滑0

圖1

的，則物體A、B在向左運動的過程中A'B何時分離。

K解析》物體應(yīng)在彈簧的原長處分離。由于水平面光滑，當(dāng)彈簧從壓縮狀態(tài)回到自然伸

長位置時，一直加速運動。當(dāng)它剛剛回到平衡位置時，物塊B受的彈力為阻力，開始減速。

而物塊A不受外力做勻速直線運動。v》v

AB

此時A、B分離。

【體驗1】但是如果物體與地面之間是不光滑的，題目條件如模型1。試討論分離條件。

R解析］假設(shè)A、B在某一位置分離，此時刻兩物體的相互作用力為零F*=0

同時，兩物體的加速度相同。

則。=Ng;a=日g+一

AABB

mB

g、…(Nf)g

所以X=-A——4i—

k

討論：

(1)如果日等于口或均為零；x等于零。兩物體在0點分離；

AB

(2)如果口大于N,*大于零，兩物體在。點的右側(cè)分離；

AB

(3)如果口小于口，x大于零，兩物體的分離點在0點的左側(cè)。

AB

11

K點評》兩物體分離的條件是：相互間的彈力F『0等于零；兩物體瞬時加速度相等。

【模型2】豎直面上“彈簧與木塊的分離”模型

如圖2所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計的薄板,在薄板上放重物，,忘

用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，重物何時與木板分離

K解析》當(dāng)物體分離時，物體間的彈力F=0

物塊只受重力，物塊的加速度為g,木板的加速度也為g

彈簧的狀態(tài)應(yīng)為原長，即彈簧恢復(fù)原長時，二者分離

此時物塊與薄板有共同的加速度。

從動力學(xué)的角度可以得到，豎直方向的彈簧類問題兩物體的分離點是在彈簧的原長處。

模型典案：

【典案1】A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖3所示，已知木塊A、B質(zhì)量分別為kg

和kg,彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m,若在木塊A上作用一個豎直向上的力F,使A由靜止

開始以m/sz的加速度豎直向上做勻加速運動(g=10m/S2)

(1)使木塊A豎直做勻加速運動的過程中，力F的最大值；

(2)若木塊由靜止開始做勻加速運動，直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少

了J,求這一過程F對木塊做的功。

K解析1(1)設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為x

有kx=(m”njg,

所以x=(m+mB)g/k①

對A施加向上的F力，分析A、B受力如圖4

對A：F+F“~m—Aa

對B：kxz=m/

22

可知，當(dāng)F“豐0時，AB有共同加速度a=a',

由②式知欲使A勻加速運動，隨F”減小F增大，

當(dāng)FN=0時，F(xiàn)取得了最大m值F,即

F/m.(g+a)=N

(2)又當(dāng)F:0時，A、B開始分離，由③式知，此時彈簧壓縮量kx，=m,(a+g)

即x'(a+g)/k④

AB共同速度V2=2a(x-x')⑤

由題知，此過程彈性勢能減少了Wp二Ep二J

設(shè)F做功對這一過程應(yīng)用動能定理或功能原理

W+E-(m+mB)g(x-x，)=|加隗)vz⑥

聯(lián)立①④⑤⑥，且注意到E=J

可知，W=X10-2J

K點評X此題命題意圖是考查對物理過程、狀態(tài)的綜合分析能力。難點和失分點在于能

否通過對此物理過程的分析后,確定兩物體分離的臨界點，即當(dāng)彈簧作用下的兩物體加速度、

速度相同且相互作用的彈力F“=0時，恰好分離。

【案例2］如圖5所示，輕彈簧上端固定，下端連接一質(zhì)量為機的

重物，先由托盤托住加，使彈簧比自然長度縮短L,然后由靜止開始以

加速度。勻加速向下運動。已知a<g,彈簧勁度系數(shù)為k，求經(jīng)過多少時

間托盤M將與m分開?一n一?a

MUT

【解析】當(dāng)托盤與重物分離的瞬間，托盤與重物雖接觸但無相互作

圖5

用力，此時重物只受到重力和彈簧的作用力

在這兩個力的作用下，當(dāng)重物的加速度也為。時，重物與托盤恰好分離。

由于a<g,故此時彈簧必為伸長狀態(tài)。

然后由牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解：

根據(jù)牛頓第二定律得：mg_kx=ma①

33

m\g-a)

由①得：x=—^

由運動學(xué)公式有：L+x=Lat2②

kL+m\e-a)1

聯(lián)立①②式有：一廠一二，小③

\2kL+m\g-a)

解得：x=」---------------

yka

K點評》本題屬于牛頓運動定律中的臨界狀態(tài)問題。求解本類題型的關(guān)鍵是找出臨界條

件，同時還要能從宏觀上把握其運動過程，分析出分離瞬間彈簧的狀態(tài)。我們還可這樣探索:

若將此題條件改為。Ag,情況又如何呢

【典例3】如圖6所示，一勁度系數(shù)為k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著兩個質(zhì)量均

為m=12kg的物體A、和B,物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上。

現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使物體A開始向上做勻加速

運動，經(jīng)s物體B剛要離開地面。設(shè)整個過程中彈簧都處于彈性限度內(nèi)，

取g=10m/S2,求：

(1)此過程中所加外力F的最大值和最小值。圖6

(2)此過程中外力F所做的功。

［解析］(1)A原靜止時，設(shè)彈簧壓縮X,,

由受力平衡和胡克定律有：kx-mg------------①

物體A向上做勻加速運動，開始時彈簧的壓縮形變量最大，向上的彈力最大，則所需外

力F最小，設(shè)為F,

由牛頓第二定律：F+kx—mg=ma-----------②

當(dāng)B剛要離地時，彈簧由縮短變?yōu)樯扉L，此時彈力變?yōu)橄蛳吕瑼,則所需外力F最大，

設(shè)為F2

對B：kx=mg------------③

2

對A：F-kx2-mg=ma-----------④

44

由位移公式對A有7+4=92----------⑤

又七二⑥

由①②③④⑤⑥可得:

々=*2=陛=3.=oe

12k800

a=s2F=45NF=285N

(2)s末的速度：v=at二義m/s=m/s

2

對A全程由動能定理得：Wp-mg(xjx?=2mV2

解得：W『J

也可用能量守恒求解：

在力作用的內(nèi)，在初末狀態(tài)有x,=Xz，所以彈性勢能相等，由能量守恒知，外力做了功，

將其它形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢能和動能。即：

圖,=雁式/+勺)+上1用3y1=12x10x(0.15+0,15)J+-1xl2x(3.75x0,4)n2J=49.57

【典案41如圖7質(zhì)量為m=10kg的物塊A與質(zhì)量為m=2kg的物塊放在傾角為30。光滑

斜面上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，輕彈簧一端與物塊B連接，另一端與固定檔板連接，彈簧的勁度系

數(shù)為K=400N/m,現(xiàn)給物塊A施加一個平行與斜面向上

的力F,使物塊A沿斜面向上做勻加速直線運動，已知

力F在前內(nèi)是變力，后為恒力，求力F的最大值和最小

值。(g=10m/s2)圖7

【解析】原系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則M與m受合外力為零,設(shè)此時彈簧壓縮量為xO即:

(m+M)gsin3Oo=kx0

則：x0=

由靜止開始向上勻加速運動,m與M在0?內(nèi)整體向上有共同的加速度a.設(shè)經(jīng)時間為t,

則在t內(nèi)m與M上升位移為S：S=1at2①

在0?內(nèi)以m與M為整體：F+K(X-S)-(m+M)gsin3Oo=(m+M)a②

0

55

當(dāng)七=時s=—aX2=③

由①、②、③得：F+④

分析可知在后F為恒力，此狀況只有m與M分離可存在

在t=s后，對m有：F—?mgsin3Oo=ma,(此時力F也為t=s瞬間的力)

F=(g/2+a)m⑤

由④⑤得：a=5m/s2.

分析可知F最小力應(yīng)是在t時，

即：F=(m+M)a=(2+10)X5=60N

min

在七二以后力有最大值

即：F=(g/2+a)Xm=(10/2+5)X10=100N

max

【典案5]質(zhì)量為M=6Kg的小車放在光滑的水平面上，物塊A和B的質(zhì)量均為m=2Kg且

均放在小車的光滑水平底板上，物塊A和小車右側(cè)壁用一根輕彈簧連接，不會分離，如圖8

所示，物塊A和B并排靠在一起，現(xiàn)用力向右BA

壓B并保持小車靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，,

在此過程中外力做功270J。撤去外力，當(dāng)A和------3--------------------------------Q-------------

圖8

B分開后，在A達到小車底板的最左端位置之

前，B已從小車左端拋出，

求：(1)B與A分離時，小車的速度多大

(2)從撤去外力至B與A分離時，A對B做了多少功

(3)假設(shè)彈簧伸到最長時B已離開小車。A仍在車上，則此時彈簧的彈性勢能是多大

K解析U(1)分析可知A、B分離時應(yīng)在彈簧恢復(fù)為原長時，此時AB有共同速度為v,,

設(shè)車速為v2,接觸面均光滑，動量守恒，取向右為正，

0=Mv-2mv①

又機械能守恒：已尸〈用巧+：2機匕2②

由①②得：v[=9m/s,v2=6m/s③

(2)A對B做的功應(yīng)為B的動能增量：

66

w=E=wzv0=81J

BBK2r

(3)A與B分離后，A的速度不變，彈力對A與M作負功。彈簧最長時，令A(yù)的速度

為v3,A與M有共同速度，動量再次守恒，有：

取向右為正：Mv—mv=(M+m)v

第二次機械能守恒：-(M+wl2+E/=189J⑥

23p

由③⑤⑥得：E'p=J

模型體驗：

【體驗1】用木板托住物體m,并使得與m連接的彈簧處于原長，手持木板M向下以加

速度a(a<g)做勻加速運動，如圖9。求物體m與木板一起做勻加速運動的時

K解析』m在與M一起向下做勻加速運動過程中，m受到彈簧的彈力不斷增g

O

大，板M對m的支持力不斷減小，重力保持不變。\|~|z

m與板M分離的條件為板M對m的支持力F恰好為零，且此時m與M運動、，

的加速度恰還相等。圖9

設(shè)：m與M分離經(jīng)歷t時間，彈簧伸長為X：

mg—kx=ma

又因為：x=—at2

【體驗2］如圖10所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計的薄板，在薄板上放重物,

用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，則重物將被彈簧彈射出

去，則在彈射過程中(重物與彈簧脫離之前)重物的運動情況是()'七人

A.一直加速運動B.勻加速運動

圖10

77

C.先加速運動后減速運動D,先減速運動后加速運動

【解析】物體的運動狀態(tài)的改變?nèi)Q于所受合外力.所以，對物體進行準(zhǔn)確的受力分析

是解決此題的關(guān)鍵，物體在整個運動過程中受到重力和彈簧彈力的作用.剛放手時，彈力大

于重力，合力向上，物體向上加速運動，但隨著物體上移，彈簧形變量變小，

彈力隨之變小，合力減小，加速度減小；當(dāng)彈力減至與重力相等的瞬間，合力

為零，加速度為零，此時物體的速度最大；此后，彈力繼續(xù)減小，物體受到的

合力向下，物體做減速運動，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，二者分離.

圖11

正確答案：C

【體驗3】如圖11所示，一根輕質(zhì)彈簧兩端與質(zhì)量分別為m,和m2的木塊相連，豎直放

置在水平地面上。問：至少要向下壓多大的力F于q上，才可以使突然撤去外力F后m,恰

好離開地面

K解析Um恰好離開地面的臨界條件是彈簧比原長再伸長x,且kx=mg和m速度為零。

22221

設(shè)未加壓力F時，彈簧的壓縮量為x°；加壓力F時，彈簧的壓縮量為x,,

貝I］：kx=mgkx=F+mg

0111

應(yīng)用簡諧運動的對稱性求解：m,不離開地面，m,做簡諧運動，則

振幅：A=x—x=x+x

1002

所以x-x+zx=-1—+-----

'2Qkk

加壓力F時，F(xiàn)+mg=kxi

F=kx-mg=(m+m)g

1112

［點評］物體與彈簧組成的系統(tǒng)做簡諧運動時，具有明顯的對稱性，這類題一般用對稱性

來求解會簡單得多。

【體驗4】如圖所示，質(zhì)量為m的物體A用一輕彈簧與下方地

面上質(zhì)量也為m的物體B相連，開始時A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此

時彈簧壓縮量為一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連接物

體A、另一端C握在手中，各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A上方的

一段繩子沿豎直方向且足夠長?，F(xiàn)在C端施水平恒力F而使A從靜

88

止開始向上運動。(整個過程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi))

(1)如果在c端所施恒力大小為3mg,則在B物塊剛要離開地面時A的速度為多大

(2)若將B的質(zhì)量增加到2m,為了保證運動中B始終不離開地面，則F最大不超過多

少

K解析』由題意可知：彈簧開始的壓縮量％=罩，在B物塊剛要離開地面時彈簧的

ok

伸長量也是x=-mAe

ok

(1)若F=3mg,在彈簧伸長到x。時，B開始離開地面，此時彈簧彈性勢能與施力前相

等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動能及重力勢能的和。即

F-=mg-+1mv2可解得：v=2j2gx()

(2)所施力為恒力F。時，物體B不離開地面，類比豎直彈簧振子，物體A在豎直方向

上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體A做簡諧運動。

在最低點：mg+kxo=mai

式中k為彈簧勁度系數(shù)，a,為在最低點A的加速度。

在最高點，B恰好不離開地面，此時彈簧被拉伸，伸長量為2x。，則：

K(2x；+mg-F=ma2

考慮到：kx=mg簡諧運動在上、下振幅處a=a

012

解得：F0=V"

也可以利用簡諧運動的平衡位置求恒定拉力Foo物體A做簡諧運動的最低點壓縮量為

X

X°,最高點伸長量為2x。，則上下運動中點為平衡位置，即伸長量為寧所在處。

X3/??p

由：mg+k^-^F^解得：F=^—

【點評】區(qū)別原長位置與平衡位置。與原長位置對應(yīng)的形變量與彈力大小、方向、彈性

勢能相關(guān)；與平衡位置對應(yīng)的位移量與回復(fù)大小、方向、速度、加速度相關(guān)。

99

【體驗5】如圖12所示，光滑的水平面上有m=2kg,m=m=1kg的三個物體,

ABc

用輕彈簧將A與B連接，在A、C兩邊用力使三個物體I-I-I?6

靠近，A、B間的彈簧被壓縮，此過程外力做功72J,然「

后從靜止釋放。求：圖12

(1)當(dāng)物體B、C分離時，B對C做的功有多少

(2)當(dāng)彈簧再次被壓縮到最短而后又伸長到原來時，A、B的速度各是多大

K解析U此題關(guān)鍵是判斷出B與C分離條件為彈簧恢復(fù)到原長，而彈簧再次被壓縮到最

短條件為A、B同速且向右。

(1)當(dāng)B、C分離時彈簧恢復(fù)到原長，

由動量守恒：mv=(m+m)v①

AABCBC

由機械能守恒：-mv2+--(m+m)v2=72J②

2AA2BCBC

B對C做功：W=imv2③

BCyCBC

由①②③得：v=v=6m/s,W=18J

ABCBC

(2)當(dāng)彈簧壓縮到最短時，A、B同速方向向右，則有：

mv-mv=(m+m)v,v=2m/s

AABBCAB

設(shè)彈簧再次伸長到原長時，A、B速度分別為v,和v2,則：

(m+m)v=mv+mv@

ABA1B2

111

72——mv2=—mvz+—mvz(5)

A182

2cBC92

由④⑤得：v=2m/s,向左；v=10m/s,向右

或v=6m/s,向右；v2=6m/s,向右

注意(2)求的速度是矢量，最后方向不可丟失，解題要嚴(yán)謹(jǐn)。

【體驗6】如圖，質(zhì)量為勺的物體A,通過一輕質(zhì)彈簧與下方地面

上的質(zhì)量為〃2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k,A.B都處于靜止?fàn)?/p>

2

態(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A,另一端連一輕掛

1010

鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為"、

的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。(1)求物體C下降

的最大距離。(2)若將C換成另一個質(zhì)量為(勺+根,)的物體D,仍從上述初始位置由靜止

狀態(tài)釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少已知重力加速度為g?

【解析】開始時，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為有乙|=?g

掛C井釋放后，C向下運動，A向上運動，設(shè)B剛要離地時彈簧伸長量為x,

2

有kx=mg

22

B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點.由機械能守恒，與初始

狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為

AE=mg(x+x)-mg(x+x)

3I21I2

C換成D后，當(dāng)B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得

—(m+m)。2+—mi)2=(m+m)g(x+x)-mg(x+x)-

23i2131121I2

2m(m+in)g2

聯(lián)立解得

(2m+m)k

JI3

【體驗7］如圖所示，擋板P固定在足夠高的水平桌面上，小物塊A和B大小可忽略,

它們分別帶有+Q.和+QB的電荷量，質(zhì)量分別為嗎和嗎。兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一不可

伸長的輕繩跨過滑輪，一端與B連接，另一端連接一輕質(zhì)小

鉤。整個裝置處于場強為E、方向水平向左的勻強電場中。

A、B開始時靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為k,不計一切摩擦

及A、B間的庫侖力，A、B所帶電荷量保持不變，B不會碰

到滑輪。

(1)若在小鉤上掛一質(zhì)量為M的物塊C并由靜止釋放，可使物塊A恰好能離開擋板P,求物

塊C下落的最大距離；

(2)若C的質(zhì)量改為2M,則當(dāng)A剛離開擋板P時，B的速度多大

1111

【解析】(1)開始平衡時有：嶙=EQR可得否=竿

當(dāng)A剛離開檔板時：kx、=EQA可得x,=學(xué)

故C下落的最大距離為：h=己+A；

E

由①?③式可解得h=^(Q+Q)

KBA

(2)由能量守恒定律可知：C下落h過程中，C重力勢能的的減少量等于B的電勢能的

增量和彈簧彈性勢能的增量、系統(tǒng)動能的增量之和

當(dāng)C的質(zhì)量為M時：Mgh=QE-h+\E

B彈

當(dāng)C的質(zhì)量為2M時：2Mgh=Q“Eh+AE,*+-(2M+mW^

D