人教版八年級數(shù)學下分層優(yōu)化堂堂清第17章勾股定理專題利用勾股定理解題的常見題型2

人教版八年級數(shù)學下分層優(yōu)化堂堂清第17章勾股定理 專題利用勾股定理解題的常見題型（解析版）題型一、利用勾股定理數(shù)軸上表示無理數(shù)例11如圖，點B，D在數(shù)軸上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D為圓心，DC長為半徑作弧，與數(shù)軸正半軸交于點A，則點A表示的實數(shù)是()A.B.+1C.?1D.答案】C

【解析】由題意，得BD=OB+OD=4，BC=1，則CD==，因為AD=CD，所以O(shè)A=AD?OD=?1，故點A對應的實數(shù)為?1.針對練習11、如圖，數(shù)軸上點A、B分別對應1、2，過點B作PQ⊥AB，以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點M，則點M對應的數(shù)是()A.3B.5C.6D.7【答案】B2、如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為()A.1B.2C.2D.12【答案】B

3、如圖，在平面直角坐標系中，以O(shè)為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A，若點A的坐標為(?，0)，點P的縱坐標為?1，則點P的坐標為________.【答案】(?5，?1)

【解析】過點P作PB⊥y軸于點B，則∠OBP=90°，由題意可得OP=OA=，OB=1，在Rt△OBP中，BP==5，∵點P在第三象限中，∴點P的坐標為(?5，?1).解題策略：一般地，利用勾股定理在數(shù)軸上畫出n（n為大于1的整數(shù)）的線段的關(guān)鍵是找到兩個正整數(shù)a、b，使a2+b2=n，此時只要作出直角邊長為a、b的直角三角形，斜邊的長即為n。題型二、利用勾股定理求網(wǎng)格中線段的長例21、如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形【答案】A

2、如圖，每個小正方形的邊長都為1.(1)求四邊形ABCD的周長.(2)求點A到BC的距離.【答案】解：(1)由勾股定理得，AB=52BC=42+22=2AD=42則四邊形ABCD的周長=26+35+(2)如圖，連接AC.設(shè)點A到BC的距離為h.△ABC的面積=12×(2+5)×512×1×5則12×25解得，h=1155，即點A到BC的距離為3、如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，在所給網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：(1)(I)已知點A在格點(即小正方形的頂點)上，畫一條線段AB，長度為5，且點B在格點上；(II)以上題中所畫線段AB為一邊，另外兩條邊長分別是3，22，畫一個三角形ABC，使點C在格點上(只需畫出符合條件的一個三角形)；(2)所畫的三角形ABC的AB邊上高線長.(直接寫出答案)【答案】(1)(I)見解析，(II)見解析；(2)65【解析】(1)解：(I)如圖所示：(II)如圖所示：(2)65如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，求：

（1）邊AC、AB、BC的長；

（2）求△ABC的面積；

（3）點C到AB邊的距離．

【答案】（1）AC＝，AB＝，BC＝；（2）；（3）點C到AB邊的距離為．【解析】

(1)利用勾股定理即可求出AC、AB、BC的長;

(2)利用三角形所在的正方形面積減三個小直角三角形的面積即可求出;

(3)求出AC,則點B到AC邊的距離即為AC邊上的高,利用面積定值即可求出.

解：（1）AC＝＝，

AB＝＝，

BC＝＝；

（2）△ABC的面積＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；

（3）點C到AB邊的距離為h，

則×AB×h＝，即××h＝，

解得，h＝．

【點睛】

本題考查了直角三角形面積的計算,正方形各邊相等的性質(zhì)和勾股定理的運用,本題中,正確的運用面積加減法計算結(jié)果是解題的關(guān)鍵.解題策略正方形網(wǎng)格中的每個角都是直角，在正方形網(wǎng)格中的計算都可以歸結(jié)為求任意兩格點之間的長度問題，一般情況下都是應用勾股定理來進行計算，解題關(guān)鍵是確定每一條邊所在的直角三角形。題型三、利用勾股定理求線段的長例31、如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC的長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'的長為8m，則BB'的長為()A.1mB.2mC.3mD.4m

【答案】B

【解析】因為AC=10m，BC=6m，所以AB2=AC2?BC2=102?62=82，所以AB=8m.因為AC'=10m，B'C'=8m，所以AB'2=AC'2?B'C'2=102?82=62，所以AB'=6m，所以BB'=AB?AB'=8?6=2(m)針對練習3

1、如圖，一個梯子斜靠在一豎直的墻AO上，測得AO=4m，若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時梯子的底端也右滑1m，則梯子AB的長度為________m.【答案】5

【解析】設(shè)BO=xm，由題意得，AC=1m，BD=1m，AO=4m.在Rt△AOB中，AB2=AO2+OB2=42+x2，在Rt△COD中，CD2=CO2+OD2=(4?1)2+(x+1)2則42+x2=(4?1)2+(x+1)2，解得x=3，所以AB===5(m)，即梯子AB的長度為5m.2、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=13，AC=15，點D是BC邊上一點，BD=5，AD=12，求BC的長.【答案】解：在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169，AB2=132=169，∴BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∵D是BC邊上一點，∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD===9，∴BC=BD+CD=5+9=14.4、小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD(如圖所示)的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度.小東經(jīng)測量得知AB=AD=5m，∠A=60°，BC=12m，∠ABC=150°.小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長度.你同意小明的說法嗎?若同意，請求出CD的長度；若不同意，請說明理由.【答案】解：同意小明的說法.理由如下：如圖，連接BD，∵AB=AD=5m，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=5m，∠ABD=60°，∵∠ABC=150°，∴∠DBC=90°，∵BC=12m，BD=5m，∴CD==13(m).答：CD的長度為13m.解題策略：求直角三角形斜邊上的高常用勾股定理和面積公式聯(lián)合求解，步驟：先用勾股定理求出直角三角形三邊的長，再用兩種方法表示出這個直角三角形的面積，然后利用面積相等列出方程，從而求出所求線段的長。在非直角三角形中求線段的長，可以先根據(jù)題意作垂線，構(gòu)造直角三角形，應用勾股定理求解。題型四、利用勾股定理證明線段相等例41如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD2+CD2=2AB2,求證AB=BCCACABDCABD答案：連接AC,由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,AD2+CD2=AC2又∵AD2+CD2=2AB2∴AB2+BC2=2AB2∴BC2=AB2∴AB=BC針對練習41.如圖，公路上A、B兩點相距，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應建在距A多少千米處？并判斷此時的形狀，請說明理由．【答案】20千米處，等腰直角三角形，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，則，即可求出；進而得出，，通過證明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形．【詳解】解：設(shè)，則，在直角中，，在直角中，，∴，解得：，即；∴市場E應建在距A的20千米處；∵，，在和中，，可得，∴，又∵，∴，∴又∵，∴是等腰直角三角形．解題策略：將有關(guān)線段構(gòu)建在直角三角形中，利用勾股定理分別表示出相關(guān)線段，利用等量代換證明線段的相等。題型五、利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系例51已知：AB=AC，CD=BC，求證：AD【答案】證明見解析

【解析】過A作AO⊥BC于O．由等腰三角形的性質(zhì)得到BC=2BO=2OC，再由勾股定理即可得到結(jié)論．過A作AO⊥BC于O．∵AB=AC，∴BC=2BO=2OC．在Rt△AOD中，∵AD2=AO2+OD2，∴AD2=AO2+（OC+CD）2．∵BC=CD，∴AD2=AO2+（OC+BC）2=AO2+OC2+BC2+2OC?BC=AC2+BC2+BC?BC=AC2+2BC2=AB2+2BC2．本題考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)以及勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線AO⊥BD．

針對練習51、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點P.求證：BP2=AP2+BC2.【答案】證明見解析

【解析】在直角三角形中，連接BM，利用勾股定理得到AB2AC2+（AM2MP2）=BC2+（MC2MP2）①，AM2MP2=AP2②，MC2+BC2MP2=BM2MP2=BP2③．把②③代入①證得結(jié)論．連接BM，如圖，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，則AB2AC2=BC2．又∵在直角△AMP中，AP2=AM2MP2，∴AB2AC2+（AM2MP2）=BC2+（AM2MP2）．又∵AM=CM，∴AB2AC2+（AM2MP2）=BC2+（MC2MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，則AM2MP2=AP2，②∵△BPM與△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2MP2=BM2MP2=BP2，③把②③代入①，得AB2AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．本題考查了勾股定理．正確利用等量代換是解題的難點．2、已知：△ABC中，AD為BC中線，求證：AB【答案】證明見解析

【解析】過A作AE⊥BC于E．由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2，AD2=AE2+DE2．再由AD為中線，得到BD=DC，然后計算AB2+AC2即可得到結(jié)論．過A作AE⊥BC于E．由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2．∵AD為中線，∴BD=DC，∴AB2=（BD+DE）2+AE2，AC2=AE2+（BD－DE）2，∴AB2+AC2=（BD+DE）2+AE2+AE2+（BD－DE）2=2BD2+2AE2+2DE2=2BD2+2AD2=2（BD2+AD2）．本題考查了勾股定理的應用．解題的關(guān)鍵是用勾股定理表示出AB2、AC2、AD2．3、已知：鈍角△BAC，CD垂直BA延長線于D，求證：BC【答案】證明見解析

【解析】在Rt△BCD和Rt△ADC中，分別用勾股定理即可得到結(jié)論．在Rt△BCD中，∵∠D=90°，∴BC2=BD2+DC2，∴BC2=（BA+AD）2+DC2=BA2+AD2+DC2+2AB?AD=AB2+AC2+2AB?AD．本題考查了勾股定理的應用．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．

4、已知：四邊形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求證：AB【答案】證明見解析

【解析】利用勾股定理證明即可．∵BD⊥AC，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2．本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記定理是解題的關(guān)鍵．

解題策略：看到已知條件中出現(xiàn)線段的平方，或者證明結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方，往往需要從勾股定理入手，找出直角三角形三邊的關(guān)系，其間常常會用到線段的等量代換。題型六、利用勾股定理求非直角三角形中的線段長例61、如圖，△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，∠BDA=60°，DB=5，DC=7【答案】22

【解析】將△DAB逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△EAC，連接DE，作AH⊥DE于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CE=BD=5，∠AEC=∠ADB=60則CE=BD=5，∠AEC=∠ADB∴∠ADE∴∠DEC∴DE∴DH在Rt△DAH中，故答案為：22本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到相等的線段和角是解題的關(guān)鍵．

針對練習61、如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一點，點F是CD延長線上的一點，且BE=DF，連接AE、AF、EF.(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，請求出EF的長.【答案】（1）見解析；（2）5【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90?在△ABE和△ADF中，{AB=AD∴△ABE≌△ADF（（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∠BAE=∵∠BAE+∠EAD=∴∠DAF+∠EAD=90?∴EF=2、如圖，在△ABC中，AB=42(1)求BC邊上的高線長.(2)點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF.①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù).②如圖3，連結(jié)AP，當PF⊥AC時，求AP的長.【答案】(1)4；(2)①90°；②2【解析】(1)如圖1，過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ABD中，AD=AB?sin45°=42(2)①如圖2，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.又∵AE＝BE，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠AEP＝90°.②如圖3，由(1)可知：在Rt△ADC中，AC=AD∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，則∠AFE＝∠B.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AFAB＝AEAC，即AF4∴AF＝23在Rt△AFP中，AF＝PF，則AP＝2AF＝2已知：如圖，△ABC的面積為84，BC＝21，現(xiàn)將△ABC沿直線BC向右平移a（0＜a＜21）個單位到△DEF的位置．

（1）求BC邊上的高；

（2）若AB＝10，

①求線段DF的長；

②連結(jié)AE，當△ABE時等腰三角形時，求a的值．【答案】（1）8；（2）①DF＝17；②a的值為10或12或．

【解析】

（1）作AM⊥BC于M，根據(jù)三角形的面積公式計算；

（2）①根據(jù)勾股定理求出BM、AC，根據(jù)平移的性質(zhì)解答；

②分AB=BE、AB=AE、EA=EB三種情況，根據(jù)勾股定理計算即可．

（1）作AM⊥BC于M，

∵△ABC的面積為84，

∴×BC×AM=84，

解得，AM=8，即BC邊上的高為8；

（2）①在Rt△ABM中，BM=，

∴CM=BC﹣BM=15，

在Rt△ACM中，AC==17，

由平移的性質(zhì)可知，DF=AC=17；

②當AB=BE=10時，a=BE=10；

當AB=AE=10時，BE=2BM=12，

則a=BE=12；

當EA=EB=a時，ME=a﹣6，

在Rt△AME中，AM2+ME2=AE2，

即82+（a﹣6）2=a2，

解得，a=，

則當△ABE時等腰三角形時，a的值為10或12或．

【點睛】

本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．

解題策略：在非直角三角形中求線段的長度時，可以根據(jù)題意作垂線構(gòu)造直角三角形，再應用勾股定理求解。題型七、利用勾股定理求折疊問題中線段的長例71如圖，在長方形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=9，將長方形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，求FP的長.【答案】解：∵DC=3DE=9，∴DE=3，EC=6.根據(jù)折疊的性質(zhì)得EC=EP=6，∠PEF=∠CEF，∠EPF=∠C=90°.根據(jù)長方形的性質(zhì)得∠D=90°，在Rt△DPE中，∵EP=2DE=6，∴∠DPE=30°，∠DEP=60°，∴∠PEF=∠CEF=12×(180°∴∠PFE=30°，∴EF=2EP=12，∴根據(jù)勾股定理，得FP=EF2-E針對練習7如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點，將AC沿AD折疊，使點C落在AB上的E點，求CD的長.【答案】CD的長為3.

【解析】

翻折前后，對應線段、對應角不變，據(jù)此構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．

在Rt△ACB中，

因為∠C=90°，AC=6，BC=8，

由勾股定理，得

AB===10，

由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，

DE=CD，∠AED=∠C=90°，

所以BE=ABAE=106=4，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，

DE2+BE2=BD2，

即CD2+42=(8CD)2，

解得CD=3，

所以CD的長為3.

【點睛】

本題考查的知識點是圖形的折疊變換以及勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．如圖，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E．

（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面積．【答案】（1）△BDE是等腰三角形．(2)10.

【解析】

（1）由折疊可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可證明；

（2）設(shè)DE=x，則BE=x，AE=8x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面積公式求出面積的值．

（1）△BDE是等腰三角形．

由折疊可知，∠CBD=∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

即△BDE是等腰三角形；

（2）設(shè)DE=x，則BE=x，AE=8﹣x，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．

【點睛】

本題主要考查翻折變換的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與勾股定理的知識，此題難度不大．3、折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.【答案】3cm

【解析】要求CE的長，就必須求出DE的長，如果設(shè)EC=x，那么我們可將DE，EC轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)我們可得出AD=AF，DE=EF，那么DE，CE就都轉(zhuǎn)化到直角三角形EFC中了，下面的關(guān)鍵就是求出FC的長，也就必須求出BF的長，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形ABF中，已知了AB的長，AF=AD=10，因此可求出BF的長，也就有了CF的長，在直角三角形EFC中，可用勾股定理，得出關(guān)于x的一元二次方程，進而求出未知數(shù)的值．依題意可得：BC=AD=AF=10，DE=EF．在△ABF中，∠ABF=90°，∴BF=A設(shè)EC=x，則EF=DE=8﹣x．∵∠C=90°，∴EC2+FC2=EF2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴EC=3（cm）．通過折疊的性質(zhì)，將所求和已知的線段轉(zhuǎn)換到同一個三角形中是解題的關(guān)鍵．

4、如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求GC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AF=AB，∠AFG=90°，然后利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等即可；（2）先求出DE、CE的長，從而得到EF，設(shè)BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的長，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，繼而則可求得CG的長.（1）在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，又∵△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AFAG=AG∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)；（2）∵AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，∴DE=FE=2，CE=4，不妨設(shè)BG=FG=x，（x＞0），則CG=6x，EG=2+x，在Rt△CEG中，（2+x）2=42+（6x）2，解得x=3，∴GC=BCBG=63=3.本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應用等，綜合性較強，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)以及定理是解題的關(guān)鍵.

解題策略：勾股定理在有關(guān)圖形折疊（翻折）計算的問題中的方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。題型八、利用勾股定理解決生活中的應用例81在一次緝私行動中，警方獲得可靠消息：一輛走私車將路過一段水平且筆直的2號公路，但由于車上有威力巨大的爆炸裝置，在方圓120m范圍內(nèi)有危險，緝私警察無法靠近.為保證我警員的安全，決定利用遠程射擊的方法，警方選中一個距離2號公路120m的高地作為隱蔽處，當射程為200m時開始射擊.若走私車與警方隱蔽處的距離為255m時，警方做好了射擊準備.走私車又行駛了多少米后，警方可以對其進行射擊?【答案】解：如圖，由于走私車所攜帶的爆炸裝置在方圓120m范圍內(nèi)有危險，為保證警員的安全，當走私車行駛到C點之前就對其進行射擊.∵∠ACD=90°，DC=120m，BD=200m，AD=255m，∴BC=BDAC=AD∴AB=225160=65(m).【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用勾股定理分別求出BC，AC的長，進而可求得走私車由點A行駛到點B時的路程.針對練習81、如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀察站B的北偏西15（1）填空：∠BAC=度，∠C

=（2）求觀測站B到AC的距離BP（結(jié)果保留根號）.【答案】（1）30°，45°；（2）(53【解析】（1）根據(jù)已知角的度數(shù)求解即可；（2）設(shè)BP=x海里.由題意得BP⊥AC，∴∠BPC=∠BPA=90°.∵∠C=45°，∴∠CBP=∠C=45°，∴CP=BP=x，在Rt△ABP中，∠BAC=30°，∴∠ABP=60°，∴AP=tan∠ABP?BP=tan60°?BP=3∴3解得x=53∴BP=53答：觀測站B到AC的距離BP為(532、如圖，南海某海域有兩艘外國漁船A、B在小島C的正南方向同一處捕魚.一段時間后，漁船B沿北偏東30°的方向航行至小島C的正東方向20海里處.(1)求漁船B航行的距離；(2)此時，在D處巡邏的中國漁政船同時發(fā)現(xiàn)了這兩艘漁船，其中B漁船在點D的南偏西60°方向，A漁船在點D的西南方向，我漁政船要求這兩艘漁船迅速離開中國海域.請分別求出中國漁政船此時到這兩艘外國漁船的距離.(注：結(jié)果保留根號)【答案】(1)40海里；(2)中國漁政船此時到外國漁船B的距離是40海里，到外國漁船A的距離是(202【解析】(1)由題意得，∠CAB=30°，∠ACB=90°，BC=20，∴AB=2BC=40海里，答：漁船B航行的距離是40海里；(2)過B作BE⊥AE于E，過D作DH⊥AE于H，延長CB交DH于G，則四邊形AEBC和四邊形BEHG是矩形，∴BE=GH=AC=203，AE=BC=20設(shè)BG=EH=x，∴AH=x+20，由題意得，∠BDG=60°，∠ADH=45°，∴DG=33x∴203解得：x=203∴BG=203，AH=20+20∴BD=BGAD=2答：中國漁政船此時到外國漁船B的距離是40海里，到外國漁船A的距離是(2023、如圖所示,某人欲垂直橫渡一條河,由于水流的影響,他實際上岸地點C偏離了想要到達的點B140米(即BC=140米),其結(jié)果是他在水中實際游了500米(即AC=500米),求該河的寬度(即AB).【答案】該河的寬度AB為480米.

【解析】根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊AB的長即可．根據(jù)題意可知AC=500米，BC=140米，由勾股定理得AB=AC答：該河的寬度AB為480米.本題考查了勾股定理的應用，正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵．解題策略：應用勾股定理解決實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，必要時設(shè)未知數(shù)列方程。題型九、利用勾股定理探究動點問題例91已知：如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為.（1）求邊的長；（2）當為直角三角形時，求t的值；（3）當時，求點A、P之間的距離.答案：（1）（2）4或（3）解析：（1）在中，，，，.（2）由題意得：，分以下兩種情況：①如圖，當時，為直角三角形，則，.②如圖，當時，為直角三角形，則，由勾股定理得：，，解得，綜上，t的值為4或.（3）當時，，，在中，，即點A、P之間的距離為.針對練習91．如圖，線段AB，BC，CD和BD都為，動點P從點A出發(fā)，沿以的速度運動到點D，動點Q從點D出發(fā)，沿以的速度運動到點A.若兩點同時開始運動時，P，Q相距.試確定兩點運動時，的形狀.答案：兩點運動時，是直角三角形解析：運動時，動點P運動的路程為，即點P運動到D點(點P與點D重合)，動點Q運動的路程為，即點Q在BA上，且.在中，，，，因為，所以是直角三角形，且，所以，所以兩點運動時，是直角三角形.2．如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個單位長度的速度運動.設(shè)點P的運動時間為t秒.(1)求AC的長及斜邊AB上的高；(2)①當點P在AC延長線上運動時，CP的長為______；(用含t的代數(shù)式表示)②若點P在的角平分線上，則t的值為______；(3)在整個運動中，直接寫出是等腰三角形時t的值.答案：(1)(2)①.②(3)見解析解析：(1)在中，，，，由勾股定理得：.設(shè)斜邊AB上的高為h，，，.AC的長為4，斜邊AB上的高為2.4；(2)略(3)由圖可知，當是等腰三角形時，點P必在線段AC或線段AB上，①當點P在線段AC上時，此時是等腰直角三角形，此時，，，；②當點P在線段AB上時，若，則點P運動的長度為：，，；若，如圖2，過點C作于點H，則，在中，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，點P運動的長度為：，，；若，如圖3所示，過P點作于點Q，則，，，，PQ為的中位線，，在中，由勾股定理得：，點P運動的長度為：，，.綜上，t的值為0.5或4.75或5或5.3.3．如圖，在中，，cm，cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4厘米的速度沿折線運動（運動一周回到點A時停止運動），設(shè)運動時間為t秒（）.（1）點P在AC上運動時，是否存在點P，使得？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（2）若點P運動到BC上某點時使的面積為16，求此時t的值.答案：（1）（2）解析：解：（1）假設(shè)存在，如圖所示，連接PB，由題意得：，，，cm，cm，，，，，解得，，符合題意，當時，存在點P，使得；（2）由題意得：，∵，，.解題策略：幾何問題常代數(shù)化解決，而勾股定理又是形化數(shù)的典范，因此此類問題只要結(jié)合相關(guān)幾何圖形的性質(zhì)建立方程，即可快速求解。題型十、利用勾股定理求最短路徑例101問題的提出：如果點P是銳角△ABC內(nèi)一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離之和(1)問題的轉(zhuǎn)化：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB(2)問題的解決：當點P到銳角△ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°【答案】（1）證明見解析；（2）滿足：∠APB=∠APC=120°時，PA+PB(2)問題的解決：運用類比的思想，把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當B、P、P′、C′在同一直線上時，PA+(3)問題的延伸：如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角△ABC′，利用勾股定理求AC′的長，即是點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．問題的轉(zhuǎn)化：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：∠PAP′=60°，PA=P′A，△APP′是等邊三角形，∴PP′=PA，∵PC=P′C，∴PA問題的解決：滿足：∠APB=∠APC=理由是：如圖2，把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當B、P、P′、C′在同一直線上時，PA+∵∠APB∴∠APB+∠APP′=180°，∴B由旋轉(zhuǎn)得：∠AP′C′=∠APC=120°，∵∠AP′P=60°，∴∠AP′C′+∠AP′P=180°，∴P∴B∴此時PA+故答案為：∠A