第05講相交線（十一大題型）

第05講相交線（十一大題型）1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.2.對(duì)頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．要點(diǎn)：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對(duì)頂角①兩條直線相交形成的角；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③沒(méi)有公共邊.對(duì)頂角相等.①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對(duì)出現(xiàn)的.①有無(wú)公共邊；②兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì).鄰補(bǔ)角①兩條直線相交而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).知識(shí)點(diǎn)二、垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)：(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．要點(diǎn)：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【典例1】．下列各選項(xiàng)中，與屬于對(duì)頂角的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義：如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊應(yīng)互為反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角互為對(duì)頂角，據(jù)此可得答案．【解析】解：由對(duì)頂角的定義可知，只有A選項(xiàng)中的與屬于對(duì)頂角，故選：A．【典例2】．下列四個(gè)圖形中，和是對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角的定義，“對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角”，據(jù)此即可判斷．【解析】解：A、和不是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、和不是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；C、和是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)符合題意；D、和不是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C【典例3】．如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，已知，則．【答案】/40度【分析】本題考查了對(duì)頂角．直接根據(jù)“對(duì)頂角相等”即可求解．【解析】解：直線a，b相交于點(diǎn)O，已知，則，故答案為：．【典例4】．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則．【答案】/90度【分析】本題考查對(duì)頂角，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角相等得到，再根據(jù)，代入計(jì)算計(jì)算即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【典例5】．下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】鄰補(bǔ)角是指兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角，且兩個(gè)角的和為，由此即可求解．【解析】解：、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；、是對(duì)頂角，原選項(xiàng)不符合題意；、是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)符合題意；、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角的概念及識(shí)別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【典例6】．已知與是鄰補(bǔ)角，是的鄰補(bǔ)角，那么與的關(guān)系是（

）A．對(duì)頂角 B．相等但不是對(duì)頂角 C．鄰補(bǔ)角 D．互補(bǔ)但不是鄰補(bǔ)角【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念進(jìn)行判斷即可．【解析】解：∵∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，∠2是∠3的鄰補(bǔ)角，∴∠1與∠3是對(duì)頂角，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．【典例7】．如圖，圖中鄰補(bǔ)角有幾對(duì)（

）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【解析】解：與，與，與，與，與，與，與，與是鄰補(bǔ)角，共8對(duì)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是鄰補(bǔ)角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，稱為互為鄰補(bǔ)角．【典例8】．如圖，直線AB、MN相交于一點(diǎn)O，，則∠COM的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【答案】C【分析】相鄰且互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角【解析】解：∠COM與∠NOC相鄰且互補(bǔ)，所以互為鄰補(bǔ)角.故選：C【點(diǎn)睛】熟記鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.【典例9】．如圖，點(diǎn)在直線上，平分，且，則．【答案】【分析】本題考查鄰補(bǔ)角，角平分線，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義以及角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可．掌握鄰補(bǔ)角的定義以及角平分線的定義是正確解答的關(guān)鍵．【解析】解：，，平分，，．故答案為：．【典例10】．如圖，直線、相交于點(diǎn)G，，平分，若，則°．【答案】30【分析】本題考查了垂線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知可設(shè)，，從而可得，然后根據(jù)垂直定義可得，從而可得，再利用角平分線的定義可得，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：∵，∴設(shè)，，∴，∵，∴，∴，∵平分?，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案為：30．【典例11】．當(dāng)兩條不同的直線有時(shí)，我們稱這兩條直線，這個(gè)點(diǎn)叫做它們的．【答案】公共點(diǎn)相交交點(diǎn)【分析】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，熟知相交線的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：當(dāng)兩條不同的直線有公共點(diǎn)時(shí)，我們稱這兩條直線相交，這個(gè)點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)，故答案為：公共點(diǎn)，相交，交點(diǎn)．【典例12】．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)（

）①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交；③有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；④直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)，相交線，對(duì)頂角，點(diǎn)到直線的距離分別判斷．【解析】解：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確，不合題意；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交，故正確，不合題意；③有公共頂點(diǎn)且相等的角不一定是對(duì)頂角，故錯(cuò)誤，符合題意；④直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到直線的距離，故錯(cuò)誤，符合題意；∴錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的性質(zhì)，相交線，對(duì)頂角，點(diǎn)到直線的距離，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)．【典例13】．平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】題目主要考查相交線，理解題意，掌握相交線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【解析】解：如圖，三條直線兩兩相交時(shí)將平面分為7部分，故選C．【典例14】．如圖，用三角板經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，這樣的垂線只能畫出一條．這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．【答案】在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，進(jìn)行作答即可．【解析】解：由題意，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；故答案為：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．【典例15】．如圖，在同一平面內(nèi)，，垂足都為點(diǎn)O，則與重合的理由是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．垂線段最短C．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【分析】本題考查垂線的性質(zhì)，由垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可判斷．【解析】解：在同一平面內(nèi)，，垂足都為點(diǎn)O，則與重合的理由是：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：D．【典例16】．根據(jù)語(yǔ)句“直線與直線相交，點(diǎn)在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．”畫出的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與直線相交，點(diǎn)M在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解析】解：A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故本選項(xiàng)不合題意；B．點(diǎn)M不在直線上，故本選項(xiàng)不合題意；C．點(diǎn)M不在直線上，故本選項(xiàng)不合題意；D．直線與直線相交，點(diǎn)M在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相交線以及點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線．【典例17】．按下列語(yǔ)句畫圖：點(diǎn)在直線上，也在直線上，但不在直線上，且直線兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中語(yǔ)句，結(jié)合直線與直線、點(diǎn)與直線關(guān)系逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【解析】解：由點(diǎn)在直線上，也在直線上，可知直線與直線交于點(diǎn)；A、C不符合題意；由點(diǎn)不在直線上，可知B不符合題意；再由直線兩兩相交，即可確定D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線、點(diǎn)與直線的關(guān)系，熟記相關(guān)定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【典例18】．平面內(nèi)兩兩相交的條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，則等于（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】先求出m、n的值，再代入求解．【解析】解：平面內(nèi)兩兩相交的3條直線，它們最多有3個(gè)交點(diǎn)，最少有1個(gè)交點(diǎn)，∴m=3，n=1∴m+n=4，故選A.【點(diǎn)睛】當(dāng)三條直線都交于一點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，兩兩相交不在同一點(diǎn)，有3個(gè)交點(diǎn)，注意掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)．【典例19】．在同一平面內(nèi)不重合的三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．可能是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè) B．可能是0個(gè)，1個(gè)，3個(gè)C．可能是0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè) D．可能是0個(gè)，2個(gè)，3個(gè)【答案】C【分析】在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有兩種,平行和相交,三條直線互相平行無(wú)交點(diǎn),兩條直線平行,第三條直線與它相交,有2個(gè)交點(diǎn),三條直線兩兩相交,最多有3個(gè)交點(diǎn),最少有1個(gè)交點(diǎn)．【解析】解：由題意畫出圖形，如圖所示：故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,此類題沒(méi)有明確平面上三條不重合直線的相交情況,需要運(yùn)用分類討論思想,解答時(shí)要分各種情況解答,要考慮到可能出現(xiàn)的所有情形,不要遺漏,否則討論的結(jié)果就不全面．【典例20】．下列判斷正確的是（

）A．從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做點(diǎn)到已知直線的距離B．過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度就是這點(diǎn)到已知直線的距離C．作出已知直線外一點(diǎn)到已知直線的距離D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【答案】D【解析】略【典例21】．（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做【答案】一條垂線段最短點(diǎn)到直線的距離【分析】（1）本題考查垂線相關(guān)知識(shí)，掌握概念即可解題．（2）本題考查垂線段相關(guān)知識(shí)，掌握概念即可解題．（3）本題考查點(diǎn)到直線的距離相關(guān)知識(shí)，掌握概念即可解題．【解析】解：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．故答案為：一條．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．故答案為：垂線段最短．（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．故答案為：點(diǎn)到直線的距離．【典例22】．下列說(shuō)法正確的是（

）．A．垂線段就是與已知直線相交的線段B．垂線段就是垂直于已知直線的線段C．垂線段就是一條豎起來(lái)的線段D．過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)到垂足之間的線段叫垂線段【答案】D【解析】略【典例23】．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①P點(diǎn)到直線l的距離是P點(diǎn)到直線l的垂線段；②P點(diǎn)到直線l的距離是P點(diǎn)到直線l的垂線段長(zhǎng)；③過(guò)P點(diǎn)做直線l的垂線，垂足為O，P點(diǎn)到直線l的距離是P、O點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，垂線，兩點(diǎn)的距離，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線距離的定義．直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，由此即可判斷．【解析】解：①點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，故①不符合題意；②點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段長(zhǎng)，正確，故②符合題意；③過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)到直線的距離是、點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離，正確，故③符合題意．∴正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．【典例24】．P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，，則點(diǎn)P到直線m的距離（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，熟知垂線段最短是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂線段最短和點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可．【解析】解：根據(jù)垂線段最短得出點(diǎn)P到直線m的距離是不大于，故選D．【典例25】．如圖，已知于，于，，，，，．則：（1）點(diǎn)A到直線的距離為；（2）點(diǎn)A到直線的距離為；（3）點(diǎn)到直線的距離為；（4）點(diǎn)到直線的距離為；（5）點(diǎn)到直線的距離為．【答案】3.666.484.8【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，正確理解點(diǎn)到直線的距離的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)A到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)A到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（5）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)．【解析】（1）解：，點(diǎn)A到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（2）解：，點(diǎn)A到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（3）解：，點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（4）解：，點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（5）解：，點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，．故答案為：．題型11：垂線段有關(guān)的作圖題【典例26】.如圖，已知，根據(jù)下列要求作圖并回答問(wèn)題：（1）作邊上的高；（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為；（3）點(diǎn)到直線的距離是線段________的長(zhǎng)度．（不要求寫畫法，只需寫出結(jié)論即可）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BH【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C向AB作垂線垂足為H，畫出圖形即可；（2）過(guò)點(diǎn)H向CB作垂線垂足為D，畫出圖形即可；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得出點(diǎn)B到直線CH的距離是線段BH的長(zhǎng)度．【解析】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）點(diǎn)B到直線CH的距離是線段BH的長(zhǎng)度．故答案為：BH．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖——基本作圖，一邊上的高應(yīng)是過(guò)這邊的對(duì)角的頂點(diǎn)向這邊引垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段就是這邊上的高．一、單選題1．下面四個(gè)圖形中，與是對(duì)頂角的圖形的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義作出判斷即可．【解析】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知：只有第三個(gè)圖中的兩個(gè)角是對(duì)頂角，其它都不是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，掌握對(duì)頂角的定義是解題的關(guān)鍵．2．下列圖形中，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】解：．兩個(gè)角不存在公共邊，故不是鄰補(bǔ)角，故不符合題意；、兩個(gè)角不存在公共邊，故不是鄰補(bǔ)角，故不符合題意；、兩個(gè)角不存在公共邊，故不是鄰補(bǔ)角，故不符合題意；、兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．3．下列說(shuō)法正確的是（）A．互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角 B．相等的角必是對(duì)頂角C．對(duì)頂角一定相等 D．若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角定義、對(duì)頂角定義和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷解答即可．【解析】A．有一條邊是公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，故A不符合題意．B．對(duì)頂角指角的兩邊互為反向的延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，相等的角不一定是對(duì)頂角，故B不符合題意．C．根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，對(duì)頂角一定相等，故C符合題意．D．例如等腰三角形的底角不是對(duì)頂角，但兩個(gè)底角相等，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角定義、對(duì)頂角定義和性質(zhì)，理解定義，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，4．如圖，已知直線與相交于點(diǎn)F，平分，若，則度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義及對(duì)頂角相等等知識(shí)點(diǎn)．先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得出答案．【解析】解：∵平分，∴，∴．故選：C．5．如圖，取兩根木條a，b，將它們釘在一起，得到一個(gè)相交線的模型，固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b，當(dāng)減小時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．增大 B．增大 C．減小 D．與的和增大【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、和是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時(shí)，增加，故選項(xiàng)正確，符合題意；B、和是對(duì)頂角，當(dāng)減小時(shí)，也減小，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、和是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時(shí)，增加，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、和都與是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時(shí)，和都增加，與的和增大，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義，關(guān)鍵掌握對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．6．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．（2）畫一條直線的垂線段可以畫無(wú)數(shù)條．（3）在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)能畫一條且只能畫一條直線和已知直線垂直．（4）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：（1）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，故此選項(xiàng)正確；∵在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能畫一條且只能畫一條直線與已知直線垂直，經(jīng)過(guò)的點(diǎn)不確定，可以畫無(wú)數(shù)條，故（2）（3）選項(xiàng)正確；∵從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)叫做點(diǎn)到直線的距離，故（4）選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴正確的選項(xiàng)是（1）（2）（3），共3個(gè)，故選：C．7．已知∠1與∠2是對(duì)頂角，∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.【解析】解：∵∠1與∠2是對(duì)頂角，∴∠1＝∠2，∵∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的性質(zhì).8．如圖：若∠AOB與∠BOC是一對(duì)鄰補(bǔ)角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC內(nèi)部，并且∠BOE＝∠COE，∠DOE＝72°.則∠COE的度數(shù)是()A．36°B．72°C．44°D．56°【答案】B【分析】設(shè)∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知數(shù)表示出來(lái)，建立x的方程，用代數(shù)方法解幾何問(wèn)題是一種常用的方法．【解析】解：設(shè)∠EOB=x，則∠EOC=2x，則∠BOD=（180°3x），則∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+（180°3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，設(shè)未知數(shù)，把角用未知數(shù)表示出來(lái)，列方程組，求解．角平分線的運(yùn)用，為解此題起了一個(gè)過(guò)渡的作用．9．如圖，為直線上一點(diǎn)，，OE平分，OG平分，OF平分，下列結(jié)論：①；②與互補(bǔ)；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題意得出，，則，根據(jù)平分線的定義得出，然后逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解析】解：設(shè)，∵OE平分，∴，∴，則，∵OG平分，OF平分，∴∴，故①正確；∵，∵未知，故②不正確；，故③正確；，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．如圖，2條直線最多有＝1個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多有＝3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有＝6個(gè)交點(diǎn)，……由此猜想，8條直線最多有＿＿＿個(gè)交點(diǎn).A．32 B．16 C．28 D．40【答案】C【分析】由題目所給信息進(jìn)行分析后找出規(guī)律，歸納為一般性公式即可得到答案．【解析】由題目所給信息進(jìn)行分析總結(jié)可得，n條直線最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)M=，當(dāng)n=8時(shí)，=28，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．二、填空題11．如圖，點(diǎn)在直線上，，垂足為，，則線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離．【答案】【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)行判斷即可，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：，線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離，故答案為：．12．如圖，這是小濤同學(xué)在體育課上某一次跳遠(yuǎn)后留下的腳印．通過(guò)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：米，米，米，米，其中AC，DE分別垂直起跳線于C，E．小濤這次跳遠(yuǎn)成績(jī)是米．【答案】【分析】此題主要考查了垂線段最短，正確理解題意是解題關(guān)鍵．直接利用跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該是垂線段最短距離進(jìn)而得出答案．【解析】解：由題意可得：小濤同學(xué)這次跳遠(yuǎn)的成績(jī)應(yīng)該是的長(zhǎng)米．故答案為：．13．如圖，直線相交于點(diǎn)O，則的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是．【答案】/和【分析】對(duì)頂角:有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角稱為對(duì)頂角.鄰補(bǔ)角的定義：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角.根據(jù)這兩個(gè)定義求解即可．【解析】解：的對(duì)頂角是；的鄰補(bǔ)角是，；故答案為：；，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握定義，鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，不要漏解．14．如圖，直線相交于點(diǎn)．的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是．【答案】或【分析】根據(jù)對(duì)頂角定義，結(jié)合圖形可知的對(duì)頂角是；根據(jù)鄰補(bǔ)角定義，結(jié)合圖形可知的鄰補(bǔ)角是或，從而得到答案．【解析】解：由圖可知，的對(duì)頂角是；的鄰補(bǔ)角是或，故答案為：；或．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角定義及鄰補(bǔ)角定義，熟記對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角定義，結(jié)合圖形求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．如圖，點(diǎn)O是直線上一點(diǎn)，，是的平分線，則的度數(shù)是°．【答案】25【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算．先求出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，利用，進(jìn)行計(jì)算即可．正確的識(shí)圖，找準(zhǔn)線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，∴，，∵是的平分線，∴，∴；故答案為：25．16．如圖，直線、相交于點(diǎn)O，平分，平分，且，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】首先根據(jù)平分，可得，再根據(jù)，計(jì)算出和的度數(shù)，然后計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得．【解析】解：∵平分，∴，∵，，∴，，∴，∵平分，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和角平分線定義，關(guān)鍵是正確理清圖中角之間的和差關(guān)系．17．如圖，直線相交于點(diǎn)O，．（1）圖中的對(duì)頂角有對(duì)；（2）的鄰補(bǔ)角是；（3）如果，，那么．【答案】2、/38度【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義及性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義及性質(zhì)分析解答即可．【解析】解：（1）圖中的對(duì)頂角有和；和；共2對(duì)，故答案為：2；（2）的鄰補(bǔ)角是、，故答案為：、；（3）∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義及性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知直線，作，垂足為，在內(nèi)部，在內(nèi)部，且，，則的度數(shù)為．【答案】/151度【分析】由垂直可知，，再利用已知條件，得出，進(jìn)而求得，即可求出的度數(shù)．【解析】解：，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線、角度的和差計(jì)算，根據(jù)題意正確找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題19．如圖所示，是鈍角.（不寫作圖過(guò)程，保留作圖痕跡）(1)畫出點(diǎn)A到的垂線段.(2)過(guò)點(diǎn)C畫的垂線.【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）根據(jù)題意畫出點(diǎn)A到的垂線段即可；（2）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)C畫的垂線即可．【解析】（1）如圖，線段即為點(diǎn)A到的垂線段，（2）如圖，線段即為所作的垂線，【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解垂線段的概念及作法．20．如圖，直線相交于點(diǎn)是內(nèi)部的一條射線．(1)寫出和的鄰補(bǔ)角；(2)寫出圖中所有的對(duì)頂角．【答案】(1)的鄰補(bǔ)角為的鄰補(bǔ)角為(2)與互為對(duì)頂角，與互為對(duì)頂角【解析】略21．如圖，已知于，于．(1)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)到直線的距離是線段_______的長(zhǎng)；(3)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線_______距離；(4)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線_______距離；(5)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；(6)線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，(6)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離是線段的長(zhǎng)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離是線段的長(zhǎng)；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；（5）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；（6）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離．【解析】（1）∵，∴點(diǎn)到直線的距離是線段的長(zhǎng)；故答案為：．（2）∵，∴點(diǎn)到直線的距離是線段的長(zhǎng)；故答案為：．（3）∵，∴線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；故答案為：．（4）∵，∴線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；故答案為：．（5）∵，∴線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；故答案為：，．（6）∵，∴線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線距離；故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)到直線的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．22．如圖，直線和直線相交于點(diǎn)，平分．(1)寫出圖中的對(duì)頂角______，和兩個(gè)鄰補(bǔ)角______；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，．(2)的度數(shù)為．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的定義即可求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知，，由此即可求解．【解析】（1）解：的對(duì)頂角是，∵，∴的鄰補(bǔ)角是，故答案為：，．（2）解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角，角平分線綜合，掌握角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．23．按下列要求畫圖并填空：如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，P是CD上的一點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)P畫出CD的垂線，交直線AB于點(diǎn)E；(2)過(guò)點(diǎn)P畫PF⊥AB，垂足為點(diǎn)F；(3)點(diǎn)O到直線PE的距離是線段的長(zhǎng)；(4)點(diǎn)P到直線CD的距離為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)OP(4)0【分析】（1）根據(jù)垂線的定義，利用三角板的兩條直角邊畫圖即可；（2）根據(jù)垂線的定義，利用三角板的兩條直角邊畫圖即可；（3）根據(jù)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度是這點(diǎn)到直線的距離解答即可；（3）根據(jù)直線上的點(diǎn)到這條直線的距離等于0解答即可．【解析】（1）解：如圖，直線PE即為所求；（2）解：如圖，直線PF即為所求；（3）解：點(diǎn)O到直線PE的距離是線段OP的長(zhǎng)．故答案為：OP；（4）解：由圖可知，點(diǎn)P到直線CD的距離為0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的作法，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．24．按下列要求畫圖并填空：如圖，（1）過(guò)點(diǎn)A畫直線BC的平行線AD；（2）過(guò)點(diǎn)B畫直線AD的垂線段，垂足為點(diǎn)E；（3）若點(diǎn)B到直線AD的距離為4，BC=2，則=．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）4【分析】（1）根據(jù)平行線的畫法畫出即可；（2）根據(jù)垂線的畫法畫出即可；（3）根據(jù)平行線間的距離處處相等得出三角形ABC的高為4cm，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【解析】解：（1）如圖:AD即為所求（2）如圖:BE即為所求（3）因?yàn)锽C//AD,所以三角形ABC的高為4cm；所以；故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖的知識(shí)以及三角形的面積公式，正確的作出圖形是解答第（3）題的關(guān)鍵，難度不大．25．如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，射線平分，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了對(duì)頂角相等，角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算；根據(jù)角平分線的定義可得，，則，根據(jù)題意可得，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．【解析】解：射線平分，，由于，可設(shè)，則，又，，，，解得，，答：的度數(shù)為26．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分．(1)的對(duì)頂角為________；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【解析】解：（1）（2）因?yàn)镺A平分，，所以．又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，，所以，．由?）可得．27．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于點(diǎn)O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度數(shù)．解：∵∠BOD＝∠AOC（對(duì)頂角相等），∠AOC＝60°（）∴∠＝°∵OE平分∠BOD（

已知

）∴∠BOE＝∠＝°（）∵OF⊥OE（已知）∴∠EOF＝°（