高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修三）第20講 8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計）（教師版）

第02講8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計）課程標準學習目標①了解一元線性回歸模型的含義，理解兩個變量之間隨機關(guān)系的一元線性回歸模型的作用與意義。②了解殘差在線性回歸與非線性回歸問題的作用及意義。③了解一元線性回歸模型參數(shù)與最小二乘估計的推導過程，理解最小二乘估計的原理。④會結(jié)合題意求一元線性回歸方程。⑤會用相關(guān)指數(shù)進行分析模型擬合的效果情況.。通過本節(jié)課的學習，要求會求一元線性回歸方程，會進行殘差分析，能判斷回歸模型的擬合效果，能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型并能進行預(yù)測知識點1：一元線性回歸模型（1）一元線性回歸模型我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機誤差.（2）隨機誤差在線性回歸模型中，和為模型的未知參數(shù)，是與之間的誤差,通常為隨機變量，稱為隨機誤差.它的均值，方程.線性回歸模型的完整表達式為,在此模型中，隨機誤差的方差越小，用預(yù)報真實值的精度越高.知識點2：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法（1）經(jīng)驗回歸方程的求解法：最小二乘法回歸直線方程過樣本點的中心，是回歸直線方程最常用的一個特征；我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線。這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估計,其中稱為回歸系數(shù)，它實際上也就是經(jīng)驗回歸直線的斜率，為截距.其中【即學即練1】（2024上·全國·高三專題練習）某校數(shù)學建模學生社團進行了一項實驗研究，采集了的一組數(shù)據(jù)如下表所示：23456752.54540302517.5該社團對上述數(shù)據(jù)進行了分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖，并指出與之間的相關(guān)系數(shù)是正還是負；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并寫出當時，預(yù)測數(shù)據(jù)的值．附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值．【答案】(1)散點圖見解析，負(2)，【詳解】（1）由題意得散點圖如圖所示：由圖可知與之間成負相關(guān)關(guān)系，所以是負．（2）因為，，，，所以，，∴關(guān)于線性回歸方程為，所以當時，．（2）求經(jīng)驗回歸方程的步驟①作出散點圖，判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可求其經(jīng)驗回歸方程；②列表求出,的值；③利用公式先計算,再根據(jù)經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心計算；④寫出經(jīng)驗回歸方程.求經(jīng)驗回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù),,由于計算量較大，所以計算時要仔細謹慎、分層進行，避免因計算產(chǎn)生錯誤要特別注意，只有兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系時，求出的經(jīng)驗回歸方程才有意義.（3）經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)①經(jīng)驗回歸直線一定過點,點通常稱為樣本點的中心；②一次函數(shù)的單調(diào)性由的符號決定，函數(shù)遞增的充要條件是；函數(shù)遞減的充要條件是.這說明：與正相關(guān)的充要條件是；與負相關(guān)的充要條件是.③在經(jīng)驗回歸方程中，是經(jīng)驗回歸直線的斜率，是截距.一般地，當回歸系數(shù)時，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當每增大一個單位時，平均增大個單位；當時，說明兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系，它的意義是當每增大一個單位時，平均減小個單位.知識點3：殘差（1）殘差對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.（2）殘差圖作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好.（3）殘差分析殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.其步驟為：計算殘差化殘差圖在殘差圖中分析殘差特性.【即學即練2】（2024·全國·高三專題練習）對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，其樣本中心為，回歸方程為，則相應(yīng)于樣本點的殘差為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為殘差是實際觀察值與估計值（擬合值）之間的差，所以相應(yīng)于樣本點的殘差為，故選：C.知識點4：決定系數(shù)（1）殘差平方和殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.（2）決定系數(shù)決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報變量的能力.，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差.【即學即練3】（2023下·青海西寧·高二?？茧A段練習）甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回歸模型擬合效果最好的同學是.【答案】選甲相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型擬合效果越好．【詳解】相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強，回歸模型擬合效果越好，所以效果最好的是甲．（3）決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別①相關(guān)系數(shù)反映兩個變量的相關(guān)關(guān)系的強弱及正相關(guān)或負相關(guān)，決定系數(shù)反映回歸模型的擬合效果.②在含有一個解釋變量的線性模型中，決定系數(shù)的數(shù)值是相關(guān)系數(shù)的平方，其變化范圍為，而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為.③當相關(guān)系數(shù)接近于1時，說明兩變量的相關(guān)性較強，當接近于0時，說明兩變量的相關(guān)性較弱；而當接近于1時，說明經(jīng)驗回歸方程的擬合效果較好.題型01由散點圖判斷是否線性相關(guān)【典例1】（2023下·河南南陽·高二唐河縣第一高級中學?？茧A段練習）2003年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者數(shù)據(jù)，以及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點圖日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人數(shù)100109115118121134141152168175186203下列說法：①根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系.其中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．以上都不對【答案】B【詳解】由題意，做出散點圖如下圖所示，

由圖可知，日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，但不是一次函數(shù)關(guān)系，①正確，②錯誤，故選：B.【典例2】（2023·全國·高二專題練習）某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：年齡x（歲）123456身高y（cm）788798108115120(1)畫出散點圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負相關(guān)．【答案】(1)答案見解析(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．【詳解】（1）散點圖如圖所示：

（2）由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近一條直線排列，因此，認為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．【變式1】（2023下·高二課時練習）下列四個圖中，兩個變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．②④【答案】D【詳解】由圖可知，②④中的點集中在一條直線的附近，所以圖②④中的兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，故選：D.題型02求回歸直線方程【典例1】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）大氣污染物（直徑不大于2.5的顆粒物）的濃度超過一定限度會影響人的身體健康．為研究濃度y（單位：）與汽車流量x（單位：千輛）的線性關(guān)系，研究人員選定了10個城市，在每個城市建立交通監(jiān)測點，統(tǒng)計了24h內(nèi)過往的汽車流量以及同時段空氣中的濃度，得到如下數(shù)據(jù)：城市編號12345678910總和x1.3001.4440.7861.6521.7561.7541.2001.5001.2000.90813.5y667621170156120721201001291030并計算得，，．(1)求變量關(guān)于的線性回歸方程；(2)根據(jù)內(nèi)濃度確定空氣質(zhì)量等級，濃度在0～35為優(yōu)，35～75為良，75～115為輕度污染，115～150為中度污染，150～250為重度污染，已知某城市內(nèi)過往的汽車流量為1360輛，判斷該城市的空氣質(zhì)量等級．參考公式：線性回歸方程為，其中以．【答案】(1)(2)輕度污染【詳解】（1）由題意得，又因為，所以所以所以變量y關(guān)于x的線性回歸方程為．（2）當輛千輛時，可得因為所以該城市的空氣質(zhì)量等級為輕度污染．【典例2】（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）在入室盜竊類案件中，出現(xiàn)頻率最高的痕跡物證之一就是足跡．負重行走對足跡步伐特征影響的規(guī)律強，而且較為穩(wěn)定．正在行走的人在負重的同時，步長變短，步寬變大，步角變大．因此，以身高分別為170cm，175cm，180cm的人員各20名作為實驗對象，讓他們采取雙手胸前持重物的負重方式行走，得到實驗對象在負重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg狀態(tài)下相對穩(wěn)定的步長數(shù)據(jù)平均值．并在不同身高情況下，建立足跡步長s(單位：cm)關(guān)于負重x(單位：kg)的三個經(jīng)驗回歸方程．根據(jù)身高170cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程①：；根據(jù)身高175cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程②：根據(jù)身高180cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程③：．(1)根據(jù)身高180cm組的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求，的值，并解釋參數(shù)的含義；身高180cm不同負重情況下的步長數(shù)據(jù)平均值負重x/kg05101520足跡步長s/cm74.3573.5071.8068.6065.75(2)在一起盜竊案中，被盜竊物品重為9kg，在現(xiàn)場勘查過程中，測量得犯罪嫌疑人往返時足跡步長的差值為4.464cm，推測該名嫌疑人的身高，并說明理由．附：．為回歸方程，，，，【答案】(1)，，參數(shù)的含義詳見解析(2)嫌疑人身高為175cm，理由詳見解析【詳解】（1）由題意可知：，，，所以，；的含義表示，負重每增加足跡步長減少.（2）設(shè)被盜竊物品重為9kg時，身高170cm的步長誤差為，高175cm的步長誤差為，高180cm的步長誤差為，由題意可得，，，，因為與測量得犯罪嫌疑人往返時足跡步長的差值最接近，所以犯罪嫌疑人身高為175cm.【典例3】（2024上·全國·高三專題練習）某種產(chǎn)品的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（萬元）之間有如下一組數(shù)據(jù)：廣告費支出x24568銷售額y3040605070(1)求出樣本點中心(2)求回歸直線方程（其中，）【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，，所以樣本點中心為.（2）由題意可得：，，所以，，所以回歸直線方程為.【變式1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學校聯(lián)考期末）近期，一些地方中小學生“課間10分鐘”問題受到社會廣泛關(guān)注，國家號召中小學要增加學生的室外活動時間．但是進入12月后，天氣漸冷，很多學生因氣溫低而減少了外出活動次數(shù)．為了解本班情況，一位同學統(tǒng)計了一周（5天）的氣溫變化和某一固定課間該班級的學生出樓人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：溫度（零下）710111517出樓人數(shù)201617107(1)利用最小二乘法，求變量之間的線性回歸方程；附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：(2)預(yù)測當溫度為時，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)（人數(shù)：四舍五入取整數(shù)）．(3)為了號召學生能夠增加室外活動時間，學校舉行拔河比賽，采取3局2勝制（無平局）．在甲、乙兩班的較量中，甲班每局獲勝的概率均為，設(shè)隨機變量X表示甲班獲勝的局數(shù)，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)19(3)分布列見解析；期望為【詳解】（1）,,,，,回歸直線方程為.（2）當時，（人）,所以，預(yù)測當溫度為時，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)為19人．（3）隨機變量可取0，1，2.,,,所以的分布列為：012p所以的數(shù)學期望為.【變式2】（2024上·全國·高三專題練習）下面給出了根據(jù)我國年年水果人均占有量（單位：）和年份代碼繪制的散點圖（年年的年份代碼分別為）．

(1)根據(jù)散點圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得，，求關(guān)于的線性回歸方程.（精確到）附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，【答案】(1)與之間是正相關(guān)關(guān)系(2)【詳解】（1）由散點圖可以看出，散點大致分布在某一直線的附近，且當由小變大時，也由小變大，與之間是正相關(guān)關(guān)系.（2）由表格數(shù)據(jù)得：，，，，關(guān)于的線性回歸方程為．【變式3】（2024·全國·高三專題練習）在一次抽樣調(diào)查中測得個樣本點，得到下表及散點圖.

(1)根據(jù)散點圖判斷與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計算結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題中散點圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程；（2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍c近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計算得，，，所以，，則.所以關(guān)于的回歸方程是.題型03求樣本中心(根據(jù)樣本中心求參數(shù)）【典例1】（2024上·全國·高三專題練習）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其線性回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【答案】D【詳解】解：由圖表中的數(shù)據(jù)知：x，y呈正相關(guān)，所以，又，則樣本中心為，在第四象限，所以回歸直線經(jīng)過第一、三、四象限，故選：D【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）已知取表中的數(shù)值，若具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為，則＝（

）0134a4.34.86.7A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【答案】A【詳解】由題意可知：，，所以樣本中心為，代入回歸方程有：，解得.故選：.【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習）某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元【答案】D【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因為回歸直線過樣本點的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D【典例4】（多選）（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）某電商平臺為了對某一產(chǎn)品進行合理定價，采用不同的單價在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：單價x/元88.599.510銷量y/萬件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強的線性關(guān)系，若用最小二乘估計得到經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．相關(guān)系數(shù) B．點一定在經(jīng)驗回歸直線上C． D．時，對應(yīng)銷量的殘差為【答案】BC【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，所以樣本中心為，故在經(jīng)驗回歸直線上，B正確，由可得與具負相關(guān)，故A錯誤，將代入可得，解得，C正確，當時，，所以殘差為，D錯誤，故選：BC【變式1】（2024上·四川綿陽·高二綿陽南山中學實驗學校?？计谀┮阎獂與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過點（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【答案】C【詳解】由已知，，所以回歸直線一定過中心點．故選：C．【變式2】（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學?？计谥校┮阎兞縳，γ呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，且變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示x-2-1012y54m21據(jù)此計算出在時，預(yù)測值為-0.2，則m的值為（

）A．3 B．2.8 C．2 D．1【答案】C【詳解】由題意知回歸方程為過點，則，即；又，，由于回歸方程為必過樣本中心點，故，故選：C【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習）變量x，y的數(shù)據(jù)如下所示：x54321y21.5110.5回歸直線恒過點．【答案】【詳解】變量的平均值為，變量的平均值為，故回歸直線恒過點.故答案為：.【變式4】（2024上·全國·高三專題練習）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：年份20192020202120222023年份代碼12345年借閱量萬冊4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得關(guān)于的線性回歸方程為.則.【答案】【詳解】根據(jù)表格可知，，，代入，可得.故答案為：題型04根據(jù)回歸直線方程估計數(shù)據(jù)【典例1】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知在特定的時期內(nèi)某人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時間（分鐘）與一個月內(nèi)減輕的體重（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：3040506070一個月內(nèi)減輕的體重與每天投入的體育鍛煉時間之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計當此人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時間為90分鐘時，該月內(nèi)減輕的體重約為（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】A【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，將代入得，解得，即，則當時，.故選：A.【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）某科學興趣小組的同學認為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個）與溫度的部分數(shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測當溫度為時，微生物數(shù)量為個.【答案】9【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，，因為點在直線上，所以，即，故當時，，即預(yù)測當溫度為時，微生物數(shù)量為9個.故答案為：9【變式1】（2024上·全國·高三專題練習）如果在一次實驗中，測得的五組數(shù)值如下表所示，經(jīng)計算知，y對x的線性回歸方程是，預(yù)測當時，（

）x01234y1015203035A．73.5 B．74 C．74.5 D．75【答案】B【詳解】由題意可得：，即樣本中心點為，則，解得，所以，令時，，預(yù)測當時，.故選：B【變式2】（2024上·全國·高三專題練習）牛膝是莧科多年生藥用草本植物，具有活血通經(jīng)、補肝腎、強筋骨等功效，可用于治療腰膝酸痛等癥狀．某農(nóng)戶種植牛膝的時間（單位：天）和牛膝的根部直徑（單位：）的統(tǒng)計表如下：20304050600.81.32.23.34.5由上表可得經(jīng)驗回歸方程為，若此農(nóng)戶準備在時采收牛膝，據(jù)此模型預(yù)測，此批牛滕采收時間預(yù)計是第天．【答案】110【詳解】，，又過點，所以，即，當時，，所以此批牛膝采收時間預(yù)計是第110天．故答案為：110題型05殘差計算【典例1】（2024·全國·高三專題練習）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（

）A．38.1 B．22.6 C． D．91.1【答案】C【詳解】因為觀測值減去預(yù)測值稱為殘差，所以當時，，所以殘差為.故選：C.【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃哂芯€性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗回歸方程為，且，，則相應(yīng)于點的殘差為．【答案】/【詳解】經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心，，，經(jīng)驗回歸方程為．當時，，殘差為．故答案為：.【典例3】（2023·全國·高二專題練習）隨機選取變量和變量的對觀測數(shù)據(jù)，選取的第對觀測數(shù)據(jù)記為，其數(shù)值對應(yīng)如下表所示：編號計算得：，，，，．(1)求變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點后保留位），判斷這兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度；(2)假設(shè)變量關(guān)于的一元線性回歸模型為.（?。┣箨P(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測當時的值；（ⅱ）設(shè)為時該回歸模型的殘差，求、、、、的方差．參考公式：，，．【答案】(1)答案見解析(2)①答案見解析；②【詳解】（1）解：，所以，這兩個變量負相關(guān)，且具有較強的線性相關(guān)性.（2）解：①，則，所以，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，當時，則，所以，當時，的預(yù)測值為；②由，計算得該回歸模型的殘差如下表所示：所以，殘差的方差為.【變式1】（2024·全國·高三專題練習）根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的散點圖分析x與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】把代入，得，所以在樣本點處的殘差.故選：B.【變式2】（2024·全國·高三專題練習）從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為，設(shè)殘差記為觀測值與預(yù)測值之間的差（即殘差）那么選取的女大學生身高為175cm時，相應(yīng)的殘差為.【答案】4【詳解】已知y與x的線性同歸方程為當時：，相應(yīng)的殘差為：故答案為：4【變式3】（2023·高二課時練習）高中女學生的身高預(yù)報體重的回歸方程是（其中，的單位分別是cm，kg），則此方程在樣本點處的殘差是.【答案】1.5【詳解】由樣本數(shù)據(jù)得到，女大學生的身高預(yù)報體重的回歸方程是，當時，，此方程在樣本處殘差為：.故答案為：1.5.題型06相關(guān)指數(shù)計算【典例1】（2024上·全國·高三期末）2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2F遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標志著中國人首次進入自己的空間站.某公司負責生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造.根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：，模型②：；序號1234567x234681013y15222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小；(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測對A型材料進行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益.附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當越大時，回歸方程的擬合效果越好..回歸模型模型①模型②79.3120.2【答案】(1)(2)收益為【詳解】（1）對于模型①，對應(yīng)的，故對應(yīng)的，故對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對于模型②，同理對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，.（2）故模型②擬合精度更高?更可靠.故對A型材料進行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益為.【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知與之間的數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若，則認為回歸效果良好）.附：，，，.【答案】（1）；（2）表格見解析，良好.【詳解】（1）由已知圖表可得，，，，則，，故.（2）∵，∴，，，，，則殘差表如下表所示，∵，∴，∴該線性回歸方程的回歸效果良好.【典例3】（2021下·山東青島·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素．某企業(yè)去年前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下表所示：月份物流成本利潤殘差根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為．（1）求的值，并利用已知的線性回歸方程求出月份對應(yīng)的殘差值；（2）請先求出線性回歸模型的決定系數(shù)（精確到）；若根據(jù)非線性模型求得解釋變量（物流成本）對于響應(yīng)變量（利潤）決定系數(shù)，請說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？（3）通過殘差分析，懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應(yīng)該為萬元．請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程．附1（修正前的參考數(shù)據(jù)）：，，，．附2：．附3：，．【答案】（1），；（2）；線性回歸模型擬合程度更好；（3）．【詳解】（1）因為，，所以，解得，所以月份對應(yīng)的殘差值；（2）由已知公式得，，所以線性回歸模型擬合程度更好；（3）由（1）可知，第八組數(shù)據(jù)的利潤應(yīng)為（萬元）此時，又，，，所以，所以，所以重新采集數(shù)據(jù)后，線性回歸方程為.【變式1】（2022下·寧夏·高二六盤山高級中學校考階段練習）有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)和，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了如下的兩個模型：①，②.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)第①個線性模型比第②個線性模型擬合效果好.若分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是.①＞，②＜，③＜，④＞.【答案】①③【詳解】解：用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因為第①個線性模型比第②個線性模型擬合效果好，所以，；故答案為：①③【變式2】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）混凝土的抗壓強度x較容易測定，而抗剪強度y不易測定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗公式，下表列出了現(xiàn)有的9對數(shù)據(jù)，分別為，，…，．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成對數(shù)據(jù)的抗壓強度x為橫坐標，抗剪強度y為縱坐標作出散點圖，如圖所示．(1)從上表中任選2個成對數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？(2)根據(jù)散點圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗回歸方程分別為：①，②．經(jīng)驗回歸方程①和②的殘差計算公式分別為，，．（?。┣螅唬áⅲ┙?jīng)計算得經(jīng)驗回歸方程①和②的殘差平方和分別為，，經(jīng)驗回歸方程①的決定系數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程②的決定系數(shù)．附：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，．【答案】(1)，答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）0.9847【詳解】（1）不妨設(shè)選擇的成對數(shù)據(jù)分別為，，則．又由表格數(shù)據(jù)得，當時，，則．因為任意兩個樣本點都在一條直線上，則樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)絕對值都是1（在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下），顯然據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)是不合理的．樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系．一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推新變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小，則越不可靠．（2）（?。ㄖ本€經(jīng)過數(shù)據(jù)的中心）．（ⅱ）∵，∴，則，越大，越接近于1，則模型的擬合效果越好，因此經(jīng)驗回歸方程②的擬合效果更好，為最優(yōu)模型．【變式3】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過試驗測得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下：行駛里程/萬km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標、輪胎凹槽深度為縱坐標作散點圖，如圖所示.(1)根據(jù)散點圖，可認為散點集中在直線附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關(guān)，并計算得如下數(shù)據(jù)，請求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關(guān)系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并推斷它們線性相關(guān)程度的強弱；2.576.20115.1029.46附：相關(guān)系數(shù)(2)通過散點圖，也可認為散點集中在曲線附近，考慮使用對數(shù)回歸模型，并求得經(jīng)驗回歸方程及該模型的決定系數(shù).已知（1）中的線性回歸模型為，在同一坐標系作出這兩個模型，據(jù)圖直觀回答：哪個模型的擬合效果更好？并用決定系數(shù)驗證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即.【答案】(1)，相關(guān)性較強(2)答案見解析【詳解】（1）由題意，，∵，∴，∴行駛里程與輪胎凹楳深度成負相關(guān)，且相關(guān)性較強.（2）由圖像可知，車胎凹槽深度與對數(shù)回歸預(yù)報值殘差、偏離更小，擬合度更高，線性回歸預(yù)報值偏美較大.由題（1）得線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，由題意，對數(shù)回歸模型的決定系數(shù)，∵，∴對數(shù)回歸模型的擬合度更高.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說法正確的是（

）A．B．變量y與x是負相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過點D．x增加1個單位，y一定增加2個單位【答案】C【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)及回歸方程求出樣本中心點，再逐項判斷即可得解.【詳解】依題意，，由，解得，A錯誤；回歸方程中，，則變量y與x是正相關(guān)關(guān)系，B錯誤；由于樣本中心點為，因此該回歸直線必過點，C正確；由回歸方程知，x增加1個單位，y大約增加2個單位，D錯誤.故選：C2．（2024上·全國·高三專題練習）變量，之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：44.55.56121110已知變量對呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】計算出，代入回歸方程，求出的值.【詳解】，則有，解得故選：B.3．（2024上·全國·高三期末）某同學在研究變量之間的相關(guān)關(guān)系時，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了線性回歸方程，則（

）4.85.878.39.12.84.17.29.111.8A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出散點圖，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】畫出散點圖如下：

從而可以看出中，.故選：D4．（2024·全國·高三專題練習）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)殘差的特點，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D選項的擬合精度最高.故選：D.5．（2024下·全國·高二隨堂練習）一組成對數(shù)據(jù)樣本中心點為，由這組數(shù)據(jù)擬合的線性回歸方程為，用最小二乘法求回歸方程是為了使（

）最小.A．總偏差平方和 B．殘差平方和C．回歸平方和 D．豎直距離和【答案】B【分析】使用最小二乘法的定義進行求解.【詳解】最小二乘法求回歸方程，是為了使殘差平方和最小，B正確；其他選項錯誤.故選：B6．（2024·全國·高三專題練習）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過觀察散點圖并結(jié)合選項函數(shù)的類型得出結(jié)果.【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.7．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）某學校一同學研究溫差（單位：℃）與本校當天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，該同學記錄了5天的數(shù)據(jù)：5689121620252836由上表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C． D．時，殘差為0.2【答案】C【分析】根據(jù)和的變化規(guī)律，即可判斷A；計算，即可判斷B；將樣本點中心代入回歸直線方程，即可求，即可判斷C；根據(jù)回歸直線方程計算時的，計算，即可判斷D.【詳解】由表格可知，越大，越大，所以與有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；，，樣本點中心為，經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點，故B正確；將樣本點中心代入直線方程，得，所以，故C錯誤；，當時，，，故D正確.故選：C8．（2024上·全國·高三專題練習）已知一組成對數(shù)據(jù)中y關(guān)于x的一元非線性回歸方程，已知，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得和的平均數(shù)，根據(jù)樣本中心滿足回歸方程，即可求解.【詳解】因為y關(guān)于x的一元非線性回歸方程，設(shè)，則回歸直線方程，又因為，可得，即樣本中心為，將樣本中心代入回歸直線方程，可得，解得，即.故選：B.二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（

）A．若回歸方程為，則變量y與x負相關(guān)B．運用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心C．若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D．若散點圖中所有點都在直線上，則相關(guān)系數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)統(tǒng)計案例相關(guān)知識逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為回歸方程為，可知，所以變量y與x負相關(guān)，故A正確；對于選項B：由線性回歸方程的性質(zhì)可知：回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故B正確；對于選項C：決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C正確；對于選項D：散點圖中所有點都在直線上，則，且，所以變量y與x正相關(guān)，即，可知，故D錯誤．故選：ABC．10．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當時，殘差為-2C．點一定在經(jīng)驗回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130【答案】AD【分析】x，y具有較強的正相關(guān)關(guān)系，可判斷相關(guān)系數(shù)的范圍，判斷A；計算x，y的平均值，代入回歸直線方程求出a的值，即可求出時的預(yù)測值，求得殘差，判斷B；看是否適合回歸直線方程，判斷C；將代入回歸直線方程，求出預(yù)測值，判斷D.【詳解】由題意可知x，y具有較強的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當時，，殘差為，B錯誤；點即點，當時，，即點不在經(jīng)驗回歸直線上，C錯誤；當時，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130，D正確，故選：AD三、填空題11．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學收集了變量，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：x0.5233.545y15為了研究，的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗證回歸直線正好經(jīng)過樣本點，則．【答案】69【分析】結(jié)合線性回歸方程必過樣本中心點求解.【詳解】因為線性回歸方程經(jīng)過樣本點，所以.因為：，所以.所以：.故答案為：6912．（2023·高二單元測試）下列關(guān)于回歸分析的說法正確的是（填上所有正確說法的序號）①相關(guān)系數(shù)越小，兩個變量的相關(guān)程度越弱；②殘差平方和越大的模型，擬合效果越好；③用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越小，說明模型的擬合效果越好；④用最小二乘法求回歸直線方程，是尋求使取最小值時的、的值；⑤在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高.【答案】④⑤【分析】利用相關(guān)系數(shù)與兩個變量的相關(guān)程度的關(guān)系可判斷①；利用殘差的定義可判斷②；利用相關(guān)指數(shù)與模型的擬合效果之間的關(guān)系可判斷③；利用最小二乘法的概念可判斷④；利用殘差圖可判斷⑤.【詳解】對于①，對于相關(guān)系數(shù)，越接近于，兩個變量的相關(guān)程度越弱，①錯；對于②，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，②錯；對于③，用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越大，說明模型的擬合效果越好，③錯；對于④，用最小二乘法求回歸直線方程，是尋求使取最小值時的、的值，④對；對于⑤，在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，⑤對.故答案為：④⑤.四、解答題13．（2023上·遼寧沈陽·高二?？计谀┠嘲嗌鐣嵺`小組在寒假去書店體驗圖書銷售員工作，并對某圖書定價x(元)與當天銷量y(本/天)之間的關(guān)系進行調(diào)查，得到了一組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)變量大致呈線性關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表所示定價x（元）681012銷量y（本/天）141187參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率的最小二乘估計值公式為(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸直線方程，預(yù)測當該圖書每天的銷量為4本時，該圖書的定價是多少元？【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用最小二乘法直接計算求回歸直線方程即可；（2）利用回歸直線方程代入計算即可.【詳解】（1）由表格可知，則，所以，則，故；（2）由（1）知，當時，，即當該圖書每天的銷量為4本時，該圖書的定價是元.14．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校?？计谀┲辈ж浭且环N直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個月的帶貨金額：月份12345帶貨金額萬元350440580700880(1)計算變量的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.(2)求變量之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2023年6月份該公司的直播帶貨金額.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距.【答案】(1)0.99(2)，986萬元.【分析】（1）直接代入相關(guān)系數(shù)方程即可.（2）求出線性回歸方程，再代入即可.【詳解】（1）（2）因為，所以，所以變量之間的線性回歸方程為，當時，（萬元）.所以預(yù)測2023年6月份該公司的直播帶貨金額為986萬元.B能力提升15．（2023上·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？计谥校┮阎呷硨W生為了迎接高考，參加了學校的5次模擬考試，其中5次的模擬考試成績?nèi)绫硭?，次?shù)（x）12345考試成績（y）498499497501505設(shè)變量x，y滿足回歸直線方程．(1)假如高考也符合上述的模擬考試的回歸直線方程，高考看作第10次模擬考試，預(yù)測2024年的高考的成績；(2)從上面的5次考試成績中隨機抽取3次，其中2次成績都大于500分的概率．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分