2023屆九江二模數(shù)學(xué)試題及答案

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題(文科)

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛笛把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號，第II卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.

第I卷(選擇題60分)

一、選擇題：本大題共12冰題，每小題5分|共6)分-在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求在I，

1,已知更數(shù)Z滿足力=近+1刀則z?=(C)

22

叵

A.+烏」+烏

222222

解:?.”=!-3i,.?.z2=-1-3i,故選C.

2222

2.已知集合Z={x|xNO},8={xR=ln(Y-3}，則Q/)n8=(A)

X

A.(—1,0)B.(-oo,0)C.(—2,-1)D.(—oo,-1)

解：；q4={x|x＜0},8={*|-1＜丫＜0或丫＞1},，(44)03邑{*|二1之￥有力故選A.

x+2yNl

3.已知實數(shù)x,y滿足條件x-y/I,則z=3x-4y的最大值為(D)

J-14。

A.-7B.1

C.2D.3

x+2y>}

解:作出不等式組<x-y41表示的平面區(qū)域，如圖所示，

y-l<0

平移直線%:3x-4y=0,當(dāng)過點4(1,0)時，zmox=3,故選D.

4.已知命題p:玉GR.X2+2X+2，-OVO,若〃為假命題，則實數(shù)4的取值范圍為(D)

A.(1,+^c)B.[l.ix)6.(oo,l)D.(-oo,I]

解：依題意，，得4=4-4(2-0)40,故選D.

5.正方體中，M是8G的中點，則直線與4c的位置關(guān)系是(B)

A.異面垂直B.相交垂直C.異面不垂直D.相交不垂直

D\Ci

解:連接BZ),C[D,易知J.平面8g,.%C,

連接4。，B。，則4。〃弊7,???”是BG的中點，是的中點,

.?.直線。W與4c相交.故選B.C

4095

6.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的是〃=1,5=0,輸出的結(jié)果為■；；二

4096

則判斷框中“O”應(yīng)填入的是⑹

A./?<13B.Ji>12

C.n<12D.il11

解：當(dāng)i時，

~2

=1-甘=糠故選c/輸出s/

，y2

7.已知雙曲線。：\-4=1(26>0)的左右焦點分別為片，耳，“是雙曲線。左支上一點,

ab

且孫_LM^,點片關(guān)于點M對稱的點在J，軸上，則C的離心率為(A)

A.V3+1B.-j2+\C.V5+1D.

解：設(shè)點片關(guān)于點河對稱的點為P,連接尸￡,則△即居為舊角形,

.?.4^耳=30。.又|用引=勿，；.“|=4;,鵬"任］曲雙曲線

的定義知2。=解得e=￡=-y3—=JJ+L故選A.

aV3-1

8.已知數(shù)列｛%｝的通項為名=——1—,則其前8項和為(D)

(〃+1)—1

二5829

A，BC.—Dn.一

w4545

解:％=—?—=-(-一一—)，:數(shù)列｛%｝的前〃項和為

n(n+2)2n〃+2

11學(xué)1113

X▲

++、/-\

-一=-(

2^22\227

。

4#-X十

311

^-=2-9故選

2O-D.

S1045

9.定義在RjsfiS奇函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(-1)=0,則關(guān)于x的不等式切(x)<0的解集

為(A)

A.(-1,O)U(O,1)B.(-oo,-l)U(0,l)C.(-oo,-l)U(l,-H?)D.(-l,0)U(L+8)

解：因為/(x)為奇函數(shù)，且/(-1)=0,則/(I),又/(*)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則/(x)在(-8,0)

上單調(diào)遞增，且當(dāng)xwQoo,-1)11(0,1)時,/(x)<0；當(dāng)xw(-l,0)U(L+8)時，/(x)>0.

產(chǎn)或卜<。，

xf(x)<0<^.?.XG(-1,0)U(0,1).故選A.

10.己知函數(shù)/(X)=5m(*+7)七|5出(*-2)|,貝U下列結(jié)論正確的是(B)

44

A./(x)周期為叫在隹,2］上單調(diào)遞減B./(X)周期為2兀，在代，型］上單調(diào)遞減

2424

C./a)周期為兀，在成，手］上單調(diào)遞增D.7(x)周期為2兀，在成，,］上單調(diào)遞增

解；,.,/(不+九)=一sin(x+2)+|sin(x—二)|=/(x),/(jf+2K)=sin(x+—)+1sin(^f--)|=f(x)>

4444

???/(。周期為2兀.

???當(dāng)2版-九MxM2H+后wZ時，sin(x-馬MO,???/(r)=sin(K+')-sin(x-.)=V^cosK,

44444

此時/(X)在［2桁一空,2E］,〃GZ上單調(diào)遞增，［2/m,2ht+-］,%eZ上單調(diào)遞減，

44

???當(dāng)2H+工?不<24兀+2，時，sin(x-2)Z0??、/'(?￥)J61n(k十二)十空)K>/isin4,

44444

此時/(x)在［2加+:,2碗+1］,無GZ上單調(diào)遞1跖f2hc+^.2/nt+^J,AGZ上單調(diào)遞減，

?\/(x)在［］,今］上單調(diào)遞減，故選及

11.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉

下彩謊.如圖為青花饒大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近

似看成由大小兩個橢圓圍成.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相

等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切

點為P,盤子的中心為。，筷子與大橢圓的兩交點為43,點“關(guān)于O

的對稱點為C.給出下列四個命題:①兩橢圓的焦距長相等；②兩橢圓的離心率相等；③|"|=|08|；

④BC與小橢圓相切.其中正確的個數(shù)是(B)

A.1B.2C.3iD.4

解:設(shè)大小橢圓的長軸區(qū)之比與短軸長劃t均為a">1)

P(XoJo)，X(x,,3L)，包X■.必y.

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)小橢圓的方程為4+A=i(。=二F),

卜

j-22

則大橢圓的方程為當(dāng)■+4v=2.

a2b2

①大橢圓的焦距長為=2，互＞2c,兩橢圓的焦距長不相等，①錯誤;

②大橢圓的離心率e=〃。二92=￡,兩橢圓的離心率相等，②正確:

a

③直線收貨罟=L

M+警=i,4

由?描去J,整理得S+空一竺算X+噂一;1?262=0,

2%

...*+丫=云==以：爭=2%,即三將=%,線段48的中點即為點P,

22222

,.ay0+dx0crb2

?41=|尸81,③正確.

④當(dāng)尸(0,與時，則/(JI=8(-71二la,6),C(MZTa,—6)、若；U2,則刀。與小橢圓不相

切，④錯誤.

故選B.

12.設(shè)a=sin二,5=6-1,c=ln-,則a,6,c的大，b^<^(B)

22

A.a>b>cB.b>a>cQb>c>aD.c>b>a

解:將g用變量x替代，則。=011》，Z>=ex-1,c=ln(x+l),其中xe(0』)，

易證屋-l>x>sinx,.,.6>a,

1

令/(x)=sinx-ln(x+l),則/'(x)=cosx———,/"(x)=-sinx+

x+1(X+l)2

易知/"(x)在(0,1)上單調(diào)遞也且.7"(-0)=1>0,,HD=1-sinl<0,.\3,r0e(0,1),使得f\x0)=0,

當(dāng)xe(0,4)時，7"(x"0r/'伙)單蠲遞增；當(dāng)xe(￡0,l)時,f\x)<Q,/'(x)單調(diào)遞減.

又/'(0)=0,/'(l)=cosl-g>0,.?./'(勸>0,.?./(X)在(0,1)上單調(diào)遞增,

/(x)>/(0)=0,即sinx>In(x+l),:.a>c,

綜上，b>a>c,故選B.

第II卷(非選擇題90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22-23題為選考題,

學(xué)生根據(jù)要求作答.

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量a,b滿足?=。,2),且。1(盤-3),則5.

解：由a知a(a-b)0)A=a2=|?|2=1:+22=5.

14.從垃長為1的正內(nèi)邊形的各個頂點中，任取兩個連成線段，則該線段長度為2的概率為/?

解:連接正六邊形的任意兩個頂點,共可連成15條線段,其中長度為2的線段有3條，故其概率為卷=1.

15.函數(shù)/(x)=4sin^x-\x-\\的所有零點之和為6.

解：令/(x)=0,得4sin?x=|x-l|,問題等價于函數(shù)歹=4sin'x與y=|x-l|圖象的所有交點的橫

22

坐標(biāo)之和，?.?兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線1=1對稱，且有且僅有6個交點(片,必),(三,必),…,(噸,乂)，

6

/.y',xl=3x2=6.

16.’2據(jù)祖唯原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任可行于這兩個平面的平面所截，如果兩

個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖L所示'一個容播是半徑為次的半球，另一個容器

是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為夫的圓錐，這兩個容器的容積相等.若將這兩容

器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個圓柱形容器的底面半徑為4cm,

高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個半徑為4cm的實心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端

解:設(shè)鐵球沉到容器底端時，水面的高度為人由圖2知，容程內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等

于圓柱的悻梯由圖1知相翊I臺白斛枳加上球在水面下的部分體積也等于相應(yīng)圓柱的體積，故容器內(nèi)水

的體積等于相■應(yīng)圓臺的體積.?容器內(nèi)水的體枳為％<=兀*42*1=16兀，相應(yīng)圓臺的體積為

1,2,164U（4-/J）3TI64n（4-A）3TC..?,

-xnx4x4一一XJCX（4-萬）-x（4-力）=-------------,，16兀=--------------,解得A

333333

/z=4—7i6=4-2^?4-2xl.26=1.48cm.

三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小威滿分12分）

九江市正在創(chuàng)建第七屆全國文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對九江創(chuàng)文的了解和重視，組織全校高三學(xué)生

進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識競賽（滿分100）,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計他

們的知識競賽成績分布如下：

[0,60)[60.70)f70..B0)[80,90)[90.100]

文科生116234416

理解生92427328

合計1040507624

（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中,按文理科類分層抽樣抽取5名學(xué)生.

①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人：

②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎”與

文理科類有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

PgNk。)0.100.050.010.0050.001

上02.7063.8416.6357.87910,828

snigd-bc）1廿一,,

K'=-----------------------------,其中〃=a+A+c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

解：（1）①得分小于80分的學(xué)生中，文科生與理科生人數(shù)分別為：40和60,比例為2：3...........2分

所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人......3分

②這5名學(xué)生有2人是文科生，記作力,生，3人是理科生，記作仇,仇,4,隨機(jī)抽取兩名同學(xué)可能的情況

有10種：（%,/）,（4,4）,（%也）,（%也）,（a向,（生也）,（%”），（4,4）,屹也），（4，與）

..........4分

其中至少有一名文科生情況有7種：（a,生），（4”|）,（4也），@也），（生，幻，（生，區(qū)），（。2也）

...........5分

7

因此抽取的2名耀至少有〒名文科生的概率為P=—..........6分

10

（2）由題中數(shù)據(jù)可得如下2x2列聯(lián)表:

創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎未獲優(yōu)秀獎總計

文科生6040100

理科生4060100

總計100100200

..........9分

片=一幽強(qiáng)—=200(60x60-40x40)2=&<知用28………11分

(a+b)(c+cf)(a+c/b+d)100x100x100x100

所以沒有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競賽優(yōu)秀獎”與文理科類有關(guān).....12分

18.(本小題滿分42分)

在銳相△49C中，角48c所對的邊為％6,c,已知(a-6+c)(a-6-c)+，6=0,

6csinC=：3ccosA^-3acosC,

⑴求C：

(2)求a+6的取值范圍.

解：⑴由(a~~b+c)(a-b-c)+ab=0,+b2-c2=ab...........2分

"2a.A-_ai

由余弦定理得cosC==-..........3分

2ab2

冗

?.?Ce(0,7t),???C=y..........4分

由正弦定理及bcsinC=3ccosX+3acosC,得csinBsinC=3sinCcos4+3sin4cosc=3sin8

..........5分

vsinB^O,/.csinC=3,又。=四，J.csinZ=3,解得。=2宕.....6分

33

(2)由正弦定理可得一一=」一=，一=竺=4,即。=4sin4,5=4sin5..........7分

sin力sin3sinCJ3

T

10分

0<A<-\

2r

9,.吟<妹，，./十部/，金-J.sin(/i+》€(wěn)(丁刀....n分

0<等_.4J6263362

32

：.a+be(6,4y/3]......12分

19.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱柱48。一4與G中，4c，平面的“，4網(wǎng)=女,

AB=1,AC=AA,=2,。為梭的中點.

⑴求證：4DJ?平面4G。：

(2)若E為棱3C的中點，求三棱維E-4G。的體積.

證明：⑴C_L平面4。f平面44聲聲，，47_140,

.........1分

vAC//A<CX,?.A^CX1AD.........2分

由已知得48=80=1,_4BDe-,：.-ADB=~,同理可得4|。4='........3分

336

7T

NAD4.斗71=QADB+“D&)=萬,即血，％。.....4分

又［。，，平面，工平面分

n4G=4404GE4GoAD1A1CXD........5

解：⑵連接典，???//姐用=5，45=1,BBi=2,：.ABX1AB,且〃4=JJ

.........6分

???4。1平面4狀3,???4。144,

vACQAB=A,平面⑷3C,，典J?平面的C........嚀分

vAB=1,AC=2,AB1.AC,

B

：.三棱柱ABC-4耳G的體積P=；x/Sx力。x，=；X1義2x6=6........8分

???D,E分別為B4，BC的中點，匕校儂一.。=看產(chǎn).....9分

3321

9s校惟。―a4比D4校椎J—即I"B4X3'2"10分

七枝財-/WC=/.........11分

?0-V--=tXr=^-2...........12、分

?“三枝??-dqc>_y復(fù)'2644止

20.(本小趣湖分12分)

已知P是拋物線芯4-='2/沙Cp>0)上一動點，。(0,3)是圓":5-1『+3-⑼2=1上一點，|PQ|的

最小值為2亞.

⑴求拋物線E的方程；

(2)可(。,6)是回河內(nèi)一點，直線/過點N且與直線MM垂直，I與拋物線C相交于％,4兩點，與圓”

相交于4,4兩點，且國4』=邑4,1，當(dāng)6取最小值時，求直線/的方程.

解:⑴設(shè)P(x0,對，則石=2py0,

I尸。1=Jx；+3。-3)2=J2呼+(為一3)2=Jy；+(2p—6)M+9.....1分

若0vp43,當(dāng)盟=3—p時，|PQLn廣廊二彳*20,解得p=2.....2分

若p>3,、當(dāng)對，-|P。1nmr3H2應(yīng).....T分

二拋物線E的方程為x；=4j....“4分

⑵???。(0,3)是圓口：(*-1>+3-⑼2=1上一點，.?.(0-1)2+(3-⑼2=],膽=3,.”(],3),

???N(a,b)是圓M內(nèi)一點，，0<a<2,2<b<4.....5分

由園4|=K4I，知線段44的中點與線段44的中點重合，即N為線段44(44)的中點

…2]

..0+6=14—FaNl+=20+1,當(dāng)且僅當(dāng)。=逐，6=1+應(yīng)時取等號.....10分

a

此時N在圓M內(nèi)，滿足題意.....11分

?,?直線/的方程為y-Q+J5)=一1—近),即*一Jiy+2=0.....12分

21.(本小題滿分的分)

已知函數(shù)/(X)二e-or^sinr,aeR.

(1)當(dāng)。=0時,證明：/(x)>0；

(2)當(dāng)a=1時，判斷/(x)零點的個數(shù)并說明理由.

解：(1)當(dāng)a=0時，/(x)=ex-x-sinx^ex-r-l--1分

令g(x)=e*-x-l,g，(x)=e=-［.....2分

由g，(x)vO,得x<0；g，(x)>0,得x>0.....3分

:.g(x)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在(0,妙0)上單調(diào)遞增.....4分

.?.g(x)2g(Q)=Q,由于J./(X)>0-—?嗚分

(2)當(dāng)a=I時，,〃悶弓e'」一*-s詒x.

①當(dāng)xe(—8,0］時，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x+sinx,〃'(x)=l+cosx20.....6分

:.h(x)在(-co,0］上單調(diào)遞增，/?(x)W方(0)=0,.-./(x)2>0,/(x)在(-8,0］上無零點

.....7分

②當(dāng)xw(0,何時，/'(x)=eZ-l—cosx,顯然/'(x)在(0,兀］上單調(diào)遞增，

X/,(0)=e-'-2<0,/'(7t)=eZ>0,.?.現(xiàn)e(0,兀)，使得了'(Xo)=O.....8分

/./(X)在(0,X。)上單調(diào)遞減，在(X。,兀)上單調(diào)遞增，

R

又/(0)=e-i>0,/(7t)=e-'-7I>0,又/(l)=-sinl<0.....。理

所以玉,e(0,1),&e(l㈤使得/($)=/(￡)=0,二/㈤在(°，句上有且僅有兩個零點.....10分

③當(dāng)XG(兀,+8)時，/'(x)>eX"-2>0,二/(X)在(兀,+8)上單調(diào)遞增，

，/(*)>/(n)=e"'1-n>0,：.f(x)在(n,+a>)上無零點.....11分

綜上所述，/(x)有且只有兩個零點.....12分

請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

-1

在直角坐標(biāo)系xQy中，己知直線/的方程為45-第"+1=0,曲線C的參數(shù)方程為/=嬴￡(二為

y=tana

參數(shù)).以。為極點，x軸的正坐軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程：

111

(2)設(shè)直線歹=日(4>0)與曲線。相交于點48,與直線/相交于點C,求2

Q|2Q8|2\oc\

的最大值.

解：(1)令x=pcos6,y=piinO,^\[2pcos0+yl2ps\n0+l=0,

即直線/的極坐標(biāo)方程為p------也------，即0=----------!——

2分

2(sine+cos。)2sin(e+：)

1,21sin2a.22,

—：-----tana=—：-----------：—=1,:.x-y'

cosacosacosa

即曲線C的普通方程為卡=1■--------5分

冗

(2)解法一>直線'=去">0)的極坐標(biāo)方程為。=。(0<?<-)..........6分

設(shè)4(01,a),則8(。2,兀+a)，C(p3,n+a)(0<a<^)?

曲線C的極坐標(biāo)方程為.?.月2=p，=_L_,

cos2acos2a

.?.j+上二+與=2cos2a

7分

|O4|2\0B^月2p2

I]

又03=f--------------r?s"~~2=2(sma+cosa)2=2+2sin2a........-8分

2(sma+cosa)\0C\p；'

,_1______11