高考數(shù)學(xué)新增分大一輪新高考（魯京津瓊）專(zhuān)用精練階段強(qiáng)化練（六）

階段強(qiáng)化練（六）

一、選擇題

1.（2019?四川診斷）已知直線(xiàn)/和平面a,若/〃a,P^a,則過(guò)點(diǎn)尸且平行于/的直線(xiàn)（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無(wú)數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無(wú)數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

答案B

解析假設(shè)過(guò)點(diǎn)尸且平行于/的直線(xiàn)有兩條與〃，則加〃/且"〃/,由平行公理得加〃”，

這與兩條直線(xiàn)加與“相交與點(diǎn)尸相矛盾，故過(guò)點(diǎn)P且平行于/的直線(xiàn)只有一條，又因?yàn)辄c(diǎn)P

在平面內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)尸且平行于/的直線(xiàn)只有一條且在平面內(nèi).故選B.

2.（2019?化州模擬）設(shè)"?，〃為兩條不同的直線(xiàn)，a為平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.W〃B.mVn,mVa^tn//a

C.m//n,m±a=>?±aD.m//n,m//a=>n//a

答案C

解析對(duì)于A,若“_L〃，"?〃a時(shí)，可能〃Ua或斜交，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,mA.n,,"-1.0[=>〃〃0[或??Ua,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,加正確；

對(duì)于D,機(jī)〃“，"〃a="〃a或〃Ua,故錯(cuò)誤.

故選C.

3.已知/J-平面a,直線(xiàn)"?u平面￡.有下面四個(gè)命題：

①a〃4今LL機(jī)；②a_L0=>/〃加；

③1〃tn=a邛;④/_L/M=>a〃”.

其中正確的命題是（）

A.①②B.③④

C.②④D.①③

答案D

解析V/1a,a〃4，：.l邛,I,機(jī)U￡,：.lLm,故①正確；ILa,：.mLa,又

*：mUfi,：.a.邛,故③正確.

4.如圖所示，在四面體。一/8C中，若AB=BC,AD=CD,￡是ZC的中點(diǎn)，則下列命題中

正確的是（）

A.平面N8C_L平面

B.平面48。，平面8。。

C.平面Z8CJ_平面且平面/Z）C_L平面8OE

D.平面力8C_L平面4OC,且平面/OC1.平面BDE

答案C

解析因?yàn)閆8=8C,且￡是ZC的中點(diǎn)，

所以3E_L4c.同理，DELAC.

又BECDE=E，所以4CL平面BDE.

因?yàn)?CU平面/8C,所以平面A8C_L平面5D￡

因?yàn)?CU平面/CD,所以平面平面8?！?/p>

5.（2019?唐山模擬）在長(zhǎng)方體NBCD-小囪GOi中，AB=BC=2AAi，則異面直線(xiàn)48與8c

所成角的余弦值為（）

A亞B.-C.追D返

5555

答案B

解析在長(zhǎng)方體/8C。一/山IGDI中，

連接4。，可得小。〃囪C,

所以異面直線(xiàn)48與8c所成的角，

即為直線(xiàn)48與直線(xiàn)小。所成的角，

即ND4i8為異面直線(xiàn)小8與8C所成的角，

在長(zhǎng)方體力88一小8|。。|中，

設(shè)N8=8C=2N4=2,則/山=小。=韶，BD=2\li,

在△小8。中，由余弦定理得

A\B2+AiD2-BD25+5—8

cosZDA\B=1

2A1BA1D2X3x35

故選B.

6.（2019?長(zhǎng)春質(zhì)檢）在正方體48CD一小BCQ中，直線(xiàn)/C與平面/8CQ所成角的正弦

值為（）

A.1B.也C.—D,-

222

答案D

解析如圖所示，

連接小。，力功交于點(diǎn)O,連接。G,

在正方體中，平面4Di,

：.ABA.A\D,

又小。_L/Di,且/OiCl/8=/,

平面AD\C\B,

，N4Go即為4G與平面ABC\D\所成的角，

在Rt△小G。中，sin/4G0=L

2

所以小G與平面ABCsDy所成角的正弦值為】，

2

故選D.

7.（2019?湖南岳陽(yáng)一中質(zhì)檢）如圖，在長(zhǎng)方體4BCZ）一/山IGOI中，AB=AD=0AA\=\,

而對(duì)角線(xiàn)48上存在一點(diǎn)P,使得/P+DiP取得最小值，則此最小值為（）

A.2B.3C.1+3D.S

答案D

解析把對(duì)角面小C繞/山旋轉(zhuǎn)至

使其與在同一平面上，連接/A,

在△44G中，AA\=\,AiDi=S,

=N4/歸+90°=150°,

則AP+DiP的最小值為

ADi^^/12+（A/3）2-2X1X-V3XCOS150°=①

故選D.

8.（2019?湖南五市十校聯(lián)考）已知￡,尸分別是三棱錐尸一N8。的棱NP,8c的中點(diǎn)，AB=6,

PC=6,EF=30則異面直線(xiàn)48與PC所成的角為（）

A.120°B.45°C.30°D.60°

答案D

解析取4c的中點(diǎn)。，連接E。，F(xiàn)D,

因?yàn)镋,尸分別是三棱錐尸一48c的棱4尸，8c的中點(diǎn)，

所以ED〃PC,FD//AB,

則直線(xiàn)DE與直線(xiàn)所成的角即異面直線(xiàn)與PC所成的角，

又因?yàn)?8=6,PC=6,EF=30

所以在△DEF中，cosZ￡Z）r-----------------------=—,

2DEDF2

即NEDF=120°,所以異面直線(xiàn)與PC所成的角為60°.

9.（2019?淄博期中）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu),

它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)，六根完全一樣的正四棱

柱體分成三組，經(jīng)90。柳卯起來(lái).若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯

班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計(jì)）（）

A.28兀B.307tC.60兀D.1207t

答案B

解析由題意知，該球形容器的半徑的最小值為

京25+4+1=亭,

,該球形容器的表面積的最小值為4jtxF9占30兀

故選B.

10.（2019?安徽皖南八校聯(lián)考）已知一個(gè)三棱錐的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,/,a,且長(zhǎng)為〃

的棱與長(zhǎng)為啦的棱所在直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則三棱錐的體積的最大值為（）

A3口3「也口3

A.—B.—C.—D.—

121266

答案A

解析如圖所示，在三棱錐/一8c。中，4D=a,BC=?AB=AC=BD=CD=1,

則該三棱錐為滿(mǎn)足題意的三棱錐，將△88看作底面，

則當(dāng)平面ZBCJL平面BCD時(shí)，

該三棱錐的體積有最大值，此時(shí)三棱錐的高//=也，

2

/\BCD是等腰直角三角形，則

綜上可得，三棱錐的體積的最大值為［X1x^=也.

32212

故選A.

11.（2019?成都診斷）如圖，在矩形Z8CD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,AF=FG=BG

=1，現(xiàn)分別沿ERG”將矩形折疊使得力。與8c重合，則折疊后的幾何體的外接球的表

面積為（）

A.24兀B.6兀

答案c

解析由題意可知，在矩形/8CO中，EF//AD,GH//BC,8c=2,AF=FG=BG=1,沿

EF,G/Z將矩形折疊使得/。與8c重合后，所得幾何體是底面為等邊三角形的三棱柱.

底面等邊三角形的外接圓直徑2r=一=，所以r=也,

sin6003

三棱柱的高為8c=2,所以外接球的球心與底面的圓心距離為1,

所以三棱柱的外接球半徑火=優(yōu)工1T

所以外接球的表面積為S=4兀相=?.故選c.

3

12.（2019?衡水中學(xué)模擬）如圖，在正方體中，點(diǎn)E,F分別為棱BBi,CCi

的中點(diǎn)，點(diǎn)。為上底面的中心，過(guò)E,F,O三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分，其中含4

的部分為不含4的部分為匕，連接4和匕的任一點(diǎn)設(shè)小M與平面小8cbDi所

成角為a,貝Isina的最大值為（）

N口2#02也門(mén)2#

A.—B.---C.---D.---

2556

答案B

解析連接EF,因?yàn)镋F//平面ABCD,

所以過(guò)EFO的平面與平面ABCD的交線(xiàn)一定是過(guò)點(diǎn)。且與EF平行的直線(xiàn)，

過(guò)點(diǎn)。作G，〃8c交CD于點(diǎn)G,交力8于“點(diǎn)，則G"〃E/，連接E”,FG,

則平行四邊形EFG/7即為截面，則五棱柱為％,三棱柱EBH-FCG為

Vz,

設(shè)M點(diǎn)為人的任一點(diǎn)，過(guò)"點(diǎn)作底面小5GA的垂線(xiàn)，垂足為N,連接小N,

則即為4〃與平面486n所成的角，

所以NM4iN=a.

因?yàn)閟ina=^上，要使a的正弦值最大，必須MN最大,小〃最小，當(dāng)點(diǎn)A/與點(diǎn)77重合時(shí)

A\M

符合題意.

fWlr

故（Sina）max=ljlMjmax=〃^=”.故選B.

A\H5

二、填空題

13.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的

體積為.

答案—

4

解析由題意得，該圓柱底面圓周半徑

邛

???該圓柱的體積為^=71^=71^2j2X1=—.

4

14.（2019?洛陽(yáng)、許昌質(zhì)檢）在直三棱柱48。一481G中，NACB=90。,AC=2,BC=CCi

=/，P是BG上一動(dòng)點(diǎn),則4P+PC的最小值為.

答案V10

解析連接小8,沿8G將△C8G展開(kāi)與△48G在同一個(gè)平面內(nèi)，

在8G上取一點(diǎn)與小，C構(gòu)成三角形，

?.?三角形兩邊和大于第三邊，

：.A\P+PC的最小值是4c的連線(xiàn).

作展開(kāi)圖如圖，

由NZCB=90°,AC=2,BC=CCt=\l2,

得ABKAC+B-#,

又AA?CC\—^2,

A\8=yjAA^+AB2='\/2+6=2y/2,8cl=卜2+2=2,A\C\=AC=2,

：.ZA\BCi=45°,NC8Cj=45°,AZAIBC=90°,

：.4（=?4/2+3。=\^豆=限.

15.（2019?河北衡水中學(xué)調(diào)研）已知直三棱柱N8C一小8cl中，ZABC=120°,AB=2,BC=

CG=1,則異面直線(xiàn)ABy與BCi所成角的余弦值為.

較案

口5

解析如圖所示，

設(shè)M,N,P分別為48,8所和的中點(diǎn)，

則4囪，8G的夾角為MN和N尸的夾角或其補(bǔ)角，

MN=-AB\^-,

22

NP=-BC\=^,

22

作8c的中點(diǎn)。，則△PQM為直角三角形，

"：PQ=\,MQ=^AC,

△/8C中，由余弦定理得

AOfBYBC2-2AB?BCcosNABC

=4+l-2X2Xlxl2j=7,

：.AC=S,；.M0=￥，

在△MQP中，MP=\lMQ2+PQ2=^-

在△2/歐中，由余弦定理得

MM+N尸一戶(hù)”

cosZMNP=

ZMN?NP

一遍

ox亞x近5

與8G所成角的余弦值為坐.

16.已知四面體48CD,48=4,NC=4D=6,ZBAC^ZBAD=60°,ZCAD^90°,則該

四面體外接球的半徑為.

答案2由

解析如圖，

設(shè)△4OC的外心是Oi,作5"_L平面ZOC,易知，在/Oi上，再作8ACLZC,垂足為〃，

連接則M”_LNC,AOI=LDC=3&AM=MH=2,AH=2應(yīng)

2

設(shè)三棱錐的外接球的球心為O,半徑為凡OOi=d,

因?yàn)?，=2/，577=^16-8=2^,

所以在XBOG中，由勾股定理可得R=y/oN+OO*=OOi)2+0〃=

叱2/+或2+2,

即Nd+(3/?=叱2啦+1/)2+2,

解得d=S，

所以R=y(2也+啦y+2=?=2?.

三、解答題

17.(2019?葫蘆島協(xié)作校聯(lián)考)如圖，直三棱柱/8C-小81G的所有棱長(zhǎng)都是2,44|1.平面

ABC,D,E分別是4C,CG的中點(diǎn).

⑴求證:/E_L平面4山。;

(2)求三棱錐5一48。的體積.

(1)證明:AB=BC=CA,D是NC的中點(diǎn)，

：.BD±AC,

,.?力力1_1_平面Z8C,平面441cle_1_平面/8C,

又平面力/iCiCC平面/8C=ZC,8。＜=平面/8C,

.?.5D_L平面44CC,J.BDVAE.

又?.?在正方形44CC中，D,E分別是ZC,CG的中點(diǎn)，

：.A\D±AE.

又AiDCBD=D,A\D,8。＜3平面小8。，

.?./E_L平面

⑵解連接/囪交48于O,

為ZS的中點(diǎn)，

...點(diǎn)S到平面小8。的距離等于點(diǎn)N到平面小8。的距離.

,?—BifBD~V.4-.&BD

=VR_.Ar)=-X