微積分（第三版）課件：導(dǎo)數(shù)與微分

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)求導(dǎo)法則第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)與參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分第六節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分一、速度與切線二、導(dǎo)數(shù)的概念三、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)變化率與邊際模型第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念問題導(dǎo)言——微分學(xué)產(chǎn)生的歷史背景

十七世紀(jì)人類創(chuàng)建了微積分.微積分的創(chuàng)建是人類精神的最高勝利.它對(duì)自然科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.

在此期間,在自然科學(xué)領(lǐng)域發(fā)生了幾件重大事件：

★1608年望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明,引起了天文學(xué)研究的高潮,推動(dòng)了光學(xué)研究的發(fā)展.

★1619年開普勒經(jīng)過觀測(cè)研究,提出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律,引起了全世界的關(guān)注.

在此階段,人們提出了一系列與物體運(yùn)動(dòng)速度、加速度,曲線的切線相關(guān)聯(lián)的問題.

這些問題將其概括為兩類：

(1)變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度問題.(2)平面曲線的切線問題.★1638年伽利略建立了自由落體定律與動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式,激起人們用數(shù)學(xué)求解問題的熱情.

這兩類問題盡管內(nèi)容和提法不同,但從思想方法上看都有一個(gè)共同的特征就是研究變量的變化程度及其相互關(guān)系.研究的代表人物是科學(xué)大師牛頓與萊布尼茨.一、速度與切線

例設(shè)物體作自由落體運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為.其中s表示位移,t表示時(shí)間.求時(shí)刻的瞬時(shí)速度

分析對(duì)瞬時(shí)速度的理解

速度:用來描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量稱為速度.這里的速度是與時(shí)間間隔相關(guān)聯(lián)的,它是距離與時(shí)間之比,它反映的是該段時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度.即

瞬時(shí)速度:物體運(yùn)動(dòng)中某一時(shí)刻的速度.在此無時(shí)間間隔、無法運(yùn)動(dòng)、無法體現(xiàn)速度,構(gòu)成矛盾體.為了確定瞬時(shí)速度就要給出數(shù)學(xué)上瞬時(shí)速度的定義.問題解決的思想方法：欲求瞬時(shí)速度平均速度（當(dāng)很小時(shí)）其平均速度為問題的求解過程：當(dāng)時(shí)間很小時(shí),在此越小,

越接近v,當(dāng)小得不能再小時(shí)

當(dāng)時(shí)間在取得增量時(shí),位移有增量數(shù)據(jù)觀察：時(shí)隨的變化情況9.319.7519.79519.799519.799951[0.9,1][0.99,1][0.999,1][0.9999,1][0.99999,1]-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.0000110.299.8499.80499.800499.800049[1,1.1][1,1.01][1,1.001][1,1.0001][1,1.00001]0.10.010.0010.00010.00001時(shí)間區(qū)間時(shí)間區(qū)間由極限概念知,瞬時(shí)速度為平均速度的極限

設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t).其中s表示位移,t表示時(shí)間.求時(shí)刻的瞬時(shí)速度則在t0到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

當(dāng)時(shí)間在取得增量時(shí),則在到的時(shí)間段內(nèi),位移有增量1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度當(dāng)越小時(shí),平均速度將越接近瞬時(shí)速度,當(dāng)無限趨近于零時(shí),平均速度也將無限趨近瞬時(shí)速度.為此,瞬時(shí)速度為平均速度當(dāng)時(shí)的極限,即

在此,平均速度稱為位移s在t0到時(shí)間段內(nèi)的平均變化率,而瞬時(shí)速度則稱為位移s在時(shí)間t=t0的(瞬時(shí))變化率.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度概括以勻代變，運(yùn)用極限實(shí)現(xiàn)勻與變的轉(zhuǎn)化.思想方法變速直線運(yùn)動(dòng)自由落體運(yùn)動(dòng)

瞬時(shí)速度

平均速度

方程2.平面曲線的切線斜率

圓的切線:與圓只有一個(gè)接觸點(diǎn)的直線稱為圓的切線.

對(duì)于一般曲線而言與曲線只有一個(gè)接觸點(diǎn)的直線未必為曲線的切線.

萊布尼茨曾把曲線的切線定義為連接曲線上無限接近的兩點(diǎn)的直線.Ｍ附近另取C上一點(diǎn)N,作割線ＭN.

割線的極限位置ＭT是指:當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于Ｍ時(shí),弦長(zhǎng),且夾角∠MCTN切線的定義：設(shè)有平面曲線C及C上一點(diǎn)Ｍ,當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于Ｍ時(shí),如果割線ＭN直線ＭT就稱為曲繞點(diǎn)Ｍ旋轉(zhuǎn)而趨于極限位在點(diǎn)置ＭT.線C在點(diǎn)Ｍ處的切線.平面曲線的切線斜率M

為曲線上一點(diǎn),N為M附近當(dāng)時(shí),割線斜率的極限值就是切線的斜率.T

MNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

割線斜率為設(shè)平面曲線y=f(x),一點(diǎn),作割線M

N.瞬時(shí)速度與曲線的切線斜率對(duì)比概括運(yùn)用極限實(shí)現(xiàn)勻與變、直與曲的轉(zhuǎn)化.瞬時(shí)速度切線斜率平均變化率與變化率結(jié)構(gòu)特征二、導(dǎo)數(shù)的概念

定義設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域,記若極限即存在,則稱其極限值為y=f(x)在點(diǎn)x0

處導(dǎo)數(shù),記為或記為即即函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)值等于其導(dǎo)函數(shù)在x0的函數(shù)值.

定義設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo),則稱為y=f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).或記為給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系說明：導(dǎo)數(shù)也可表示為y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).若

,則稱

若在點(diǎn)M處函數(shù)可導(dǎo)則其切線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線斜率.T

MNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)或

定理函數(shù)y=f(x)在x=x0可導(dǎo)的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.

例討論函數(shù)

在x=0處的可導(dǎo)性.解所以y=f(x)在x=0可導(dǎo),且三、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)f(x)在x=x0可導(dǎo),即此時(shí)即有則由極限定理知所以,若f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則f(x)在x=x0

處連續(xù).反之,若f(x)在x=x0處連續(xù)，則f(x)在x=x0處不一定可導(dǎo).例討論f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.因此f(x)=|x|在x=0連續(xù).因此f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).解所以解因此在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但因此在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo).(極限不存在).綜上所述,若y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則y=f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù),反之不然.例討論f(x)=在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.連續(xù)關(guān)系概念導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)；連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)圖形特征xyoxyoxyo四、函數(shù)變化率與邊際模型

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則比值表示區(qū)間長(zhǎng)度為的區(qū)間上y對(duì)x的平均變化率.而平均變化率的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的變化率.它反映函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的變化快慢程度.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題就是變化率模型.設(shè)經(jīng)濟(jì)變量是可導(dǎo)的，則稱其變化率為邊際經(jīng)濟(jì)變量，亦稱邊際函數(shù).在點(diǎn)處的變化率稱為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值.

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為單位時(shí)成本函數(shù)為，收益函數(shù)為，利潤(rùn)函數(shù)為，則有下述邊際函數(shù).產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的利潤(rùn)

邊際利潤(rùn)銷量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的收益

邊際收益產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本

邊際成本經(jīng)濟(jì)含義邊際函數(shù)邊際成本、邊際收益與邊際利潤(rùn)函數(shù)五、求導(dǎo)數(shù)舉例

利用定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)步驟：（1）求增量（2）算比值（3）求極限（4）得導(dǎo)數(shù)例

求(C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以例

求的導(dǎo)數(shù).解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以例

求的導(dǎo)數(shù).解所以一般地例

求的導(dǎo)數(shù)解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以所以解由導(dǎo)數(shù)概念得例

求的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)冪函數(shù)常函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)解因?yàn)?，從而M0點(diǎn)的切線斜率

例求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.y－1=3(x－1),即

y=3x－2.所以過點(diǎn)M0的切線方程為法線斜率1.導(dǎo)數(shù)的定義：3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.內(nèi)容概括2.可導(dǎo)的充要條件導(dǎo)數(shù)與微分一、和差積商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、求導(dǎo)公式第二節(jié)求導(dǎo)法則（C為常數(shù)，）一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

定理設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)可導(dǎo),則u(x),v(x)的和、差、積、商也可導(dǎo),且有（1）（2）（3）第二節(jié)求導(dǎo)法則（C為常數(shù)）特別地特別地證設(shè)變量x取得增量,相應(yīng)函數(shù)u,v有增量（1）因此（2）所以（3）所以例解例解例證明解同理解例二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)，且，則其反函數(shù)y=f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，且有

證因?yàn)閲?yán)格單調(diào)連續(xù),其反函數(shù)也嚴(yán)格單調(diào)連續(xù).所以

解因內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，所以例

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)同樣可得或有同樣也可得

解因在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，所以例

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)例

求函數(shù)導(dǎo)數(shù).

解

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理設(shè)u=g(x)在x可導(dǎo),y=f(u)在相應(yīng)點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在x可導(dǎo)，且有

推論若y=f(u),u=g(v),v=h(x),

則只要滿足相應(yīng)的條件,復(fù)合函數(shù)y=f(g(h(x)))就可導(dǎo),且有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般稱為鏈?zhǔn)椒▌t.證由得到當(dāng)時(shí)，由u=g(x)可導(dǎo)知u=g(x)連續(xù)，此時(shí)必有或者.因而總有.所以注：在此僅給出時(shí)的證明.例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）寫出中間變量對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的運(yùn)用,分三個(gè)過程來掌握.（2）在過程中體現(xiàn)中間變量（3）將中間變量記在心里一步完成求導(dǎo)解例求函數(shù)，的導(dǎo)數(shù).令令解（1）寫出中間變量例證明證令例求函數(shù)；的導(dǎo)數(shù).解（2）在過程中體現(xiàn)中間變量解例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例求導(dǎo)數(shù)解（3）將中間變量記在心里一步完成求導(dǎo)例求導(dǎo)數(shù)解基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式初等函數(shù)的求導(dǎo)舉例例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解（1）因?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例若可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解例設(shè)存在，求的導(dǎo)數(shù)解所以導(dǎo)數(shù)與微分一、高階導(dǎo)數(shù)概念二、高階導(dǎo)數(shù)舉例第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

一、高階導(dǎo)數(shù)的概念第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則物體運(yùn)動(dòng)的速度為，加速度為

即加速度是速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是路程函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)概念.

定義若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即

如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱二階導(dǎo)數(shù)，記作類似地,可定義三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)、n階導(dǎo)數(shù).即

若y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)存在,則稱

y=f(x)為n階可導(dǎo)函數(shù),此時(shí)意味著都存在.

二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)地稱為一階導(dǎo)數(shù).

求高階導(dǎo)數(shù)的基本原則是逐階求導(dǎo).即先求一階導(dǎo)數(shù)，再求二階導(dǎo)數(shù)，以此下去，直到求到所求的階數(shù)為止.例設(shè)解例設(shè)解

二、高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)舉例例設(shè)解例設(shè)

求n階導(dǎo)數(shù)的通常方法是先逐階求導(dǎo),從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共有的規(guī)律.從中歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.解所以當(dāng)然，我們也可以從：中歸納出下面的規(guī)律：例設(shè)解以此類推例設(shè)解以此類推依此類推，可得導(dǎo)數(shù)與微分一、隱函數(shù)求導(dǎo)法二、參變量函數(shù)求導(dǎo)法第四節(jié)隱函數(shù)與參變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)

問題導(dǎo)言：函數(shù)的常見表達(dá)形式主要有顯函數(shù)形式、隱函數(shù)形式和參變量函數(shù)形式.第四節(jié)隱函數(shù)與參變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)

例如：圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓周可表示為（1）顯函數(shù)形式（2）方程形式（3）參數(shù)方程形式xy問題：如何確定隱函數(shù)和參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果變量x與y滿足方程，在一定條件下，對(duì)于x取值區(qū)間內(nèi)的任一值，都有滿足方程的惟一的y值存在，則稱由方程確定了一個(gè)隱函數(shù).設(shè)方程F(x,y)=0確定了隱函數(shù)y=f(x),求導(dǎo)數(shù)

求導(dǎo)步驟：（1）方程兩邊對(duì)變量x求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù)）；（2）解出導(dǎo)數(shù)例設(shè)y=y(x)由確定求.解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得

例求橢圓曲線處的切線方程.切線斜率切線方程為解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

例

求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).

解將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得（1）式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得將式代入得

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法，還可以得到一個(gè)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算的方法——對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的步驟：

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適合于由幾個(gè)因子通過乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的求導(dǎo).（1）對(duì)函數(shù)取絕對(duì)值；（2）對(duì)絕對(duì)值函數(shù)取對(duì)數(shù)；（3）利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo);（4）解出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.解等式兩邊取絕對(duì)值，再取對(duì)數(shù)，得例方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得所以注：解題時(shí)為了方便起見，取絕對(duì)值可以略去．解

函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得例

求導(dǎo)數(shù)

例

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù)，得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得所以一般地，對(duì)于冪指函數(shù)有二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)法設(shè)參數(shù)方程確定函數(shù)則其導(dǎo)數(shù)為證明由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有例設(shè)解例設(shè)解例求曲線在t=e處的切線方程.所以切線斜率當(dāng)t=e時(shí)，x=e，y=e.解故切線方程為導(dǎo)數(shù)與微分一、微分概念的提出二、微分的概念三、微分的幾何意義四、微分公式與運(yùn)算法則五、用微分作近似計(jì)算第五節(jié)微分第五節(jié)微分問題導(dǎo)言——研究函數(shù)改變量的意義

函數(shù)改變量對(duì)于研究函數(shù)的局部特征,函數(shù)在此點(diǎn)周圍的性態(tài)具有重要意義.微積分的許多重要概念都與其密切相關(guān).連續(xù)概念導(dǎo)數(shù)概念

對(duì)于函數(shù)改變量的研究,不僅要考慮其極限特征,還要考慮其結(jié)構(gòu)特征.微分概念就是由此提出的.

解設(shè)此薄板的邊長(zhǎng)為x,面積為

,則邊長(zhǎng)由變到面積改變量為一、微分概念的提出

例正方形的金屬薄板受熱后邊長(zhǎng)由變到試確定其面積改變量.其結(jié)構(gòu)特征分析：

的線性主部高階無窮小當(dāng)很小時(shí)可由線性主部代替改變量

例自由落體運(yùn)動(dòng).求當(dāng)時(shí)間由變到時(shí)路程的改變量.

解

當(dāng)時(shí)間由變到時(shí),路程改變量為當(dāng)很小時(shí)可由線性部分代替改變量（以勻速代替變速）問題函數(shù)改變量主要部分具體實(shí)例面積問題落體運(yùn)動(dòng)概括函數(shù)將上述討論概括如下：

由此引出微分概念.二、微分的概念

定義設(shè)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域.若其中A與無關(guān)，而是關(guān)于的高階無窮小，則稱y=f(x)在可微，而稱為y=f(x)在點(diǎn)處的微分，記為

問題:

函數(shù)改變量在什么條件下可以表達(dá)成且當(dāng)很小時(shí)

設(shè)在處可導(dǎo),則有由極限性質(zhì)，得即反之,若則所以

定理

y=f(x)可微的充分必要條件是y=f(x)可導(dǎo),且有.

由于，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之比，因此導(dǎo)數(shù)也稱微商.(1)若則即規(guī)定則微分可以表達(dá)為微分概念說明：(2)函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)是等價(jià)的.(3)當(dāng)很小時(shí)可以用微分dy作為函數(shù)改變量的近似代替量.三、微分的幾何意義微分代表曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量.

設(shè)函數(shù)的圖形是一條曲線，是曲線上點(diǎn)處的切線，設(shè)的傾角為，切線的斜率為.當(dāng)自變量x有改變量時(shí)，得到曲線上另一點(diǎn)，x0x0+

xyOxL

xdyy=f(x)MNQP四、微分的基本公式五、微分的運(yùn)算法則

定理

設(shè)u=u(x)，v=v(x)可微，則有復(fù)合函數(shù)微分運(yùn)算法則

若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有，這就是微分形式的不變性.利用微分形式的不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)的微分.

設(shè)y=f(u),u=g(x)

都可微，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))也可微，此時(shí)有求函數(shù)y=f(x)微分的基本方法：1.利用導(dǎo)數(shù)求微分①求導(dǎo)數(shù)②寫微分２.利用微分基本公式與微分運(yùn)算法則求微分例設(shè)解例設(shè)y=xtanx－sinx，求dy.解也可以直接用公式求微分.例設(shè)解如果不引入中間變量u，則可例設(shè)解例設(shè)解例設(shè)y=y(x)由確定求.解方程兩邊求微分，得解得

解面積增量與微分分別為六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用(1)計(jì)算函數(shù)改變量的近似值

由微分概念可得當(dāng)很小時(shí)，函數(shù)改變量的近似計(jì)算公式

例半徑為r的金屬圓片加熱后,半徑增長(zhǎng)了Δr試寫出其面積的改變量與微分.，

設(shè)y=f(x)在可導(dǎo)，當(dāng)自變量從變到x，即取得增量，則有當(dāng)x很接近時(shí)，即很小時(shí)，有近似公式即

當(dāng)容易計(jì)算時(shí)，就可以用上述的近似公式來計(jì)算附近點(diǎn)的函數(shù)值.(2)計(jì)算函數(shù)值的近似值特別地，在公式可以證明下述公式取得公式例解例解練習(xí)：求函數(shù)值的近似值導(dǎo)數(shù)與微分一、邊際分析二、彈性分析第六節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的簡(jiǎn)單應(yīng)用第六節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、邊際分析

定義設(shè)函數(shù)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)稱為的邊際函數(shù)，稱為在點(diǎn)的邊際函數(shù)值.

的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)時(shí)，x改變一個(gè)單位，y改變個(gè)單位.

經(jīng)濟(jì)分析中，常用的邊際函數(shù)有邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)等.

對(duì)于經(jīng)濟(jì)函數(shù)