微積分（第三版）課件：定積分

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的計算第四節(jié)反常積分第五節(jié)定積分的應(yīng)用定積分一、兩個典型實例二、定積分的概念三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)

導(dǎo)言：定積分的歷史源遠流長，部分內(nèi)容可以追溯到古代的面積、體積和弧長等量的計算上.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的窮竭法，中國古代數(shù)學(xué)劉徽的割圓術(shù)都滲透著積分思想方法.

十七世紀牛頓、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家對積分問題進行了完善形成了近代的定積分概念.1.面積問題

平面圖形的面積問題是最古老的數(shù)學(xué)問題，人類對于平面圖形面積的確定經(jīng)歷了從直邊形到曲邊形的發(fā)展過程.

平面曲邊圖形面積解決的最典型的古老方法是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的窮竭法.一、兩個典型實例阿基米德的窮竭法xoy1思想方法：問題:曲邊三角形面積（如圖）1.劃分:分割整體為局部；2.近似:局部近似，以直代曲；3.積累:局部積累，整體近似；4.逼近:極限逼近，實現(xiàn)近似與精確的轉(zhuǎn)化.辯證思想曲邊梯形的面積

曲邊梯形設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上非負且連續(xù),由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形.oxyoxyoxyxoy一般圖形可以化為曲邊梯形

問題求由x=a,x=b,y=0與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.曲邊梯形面積的求解方法整體分割——將曲邊梯形分割成部分小曲邊梯形；局部近似——小曲邊梯形面積由小矩形面積代替；求和積累——曲邊梯形面積由小矩形面積和近似；無限逼近——由極限實現(xiàn)近似于精確的轉(zhuǎn)化.xyo曲邊梯形面積的求解過程(1)分割（分割整體曲邊梯形為部分小的曲邊梯形）過每個分點xi作y軸的平行線,將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形.小區(qū)間長度記為

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間取分點yxo(2)近似(以小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積)xyo(3)求和(小曲邊梯形面積求和)將小矩形面積求和，可得曲邊梯形的近似值(4)取極限（取極限實現(xiàn)由近似轉(zhuǎn)化為精確）xyo2.變速直線運動的路程解

(1)分割（分割時間區(qū)間）問題：TOS始點終點...(2)近似（用勻速運動近似代替變速運動）(3)求和（將小區(qū)間移動路程求和）(4)取極限（取極限實現(xiàn)由近似轉(zhuǎn)化為精確）

兩類問題的比較概括整體分割，局部代替（以直代曲，以勻代變），求和近似，無限逼近（由近似轉(zhuǎn)化為精確）.結(jié)論：特定形式乘積和的極限抽象概括結(jié)論1.分割2.近似3.積累4.逼近1.分割2.近似3.積累4.逼近思想方法變速直線運動路程曲邊梯形面積二、定積分的概念定義其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x

稱為積分變量，a為積分下限，b為積分上限，[a,b]為積分區(qū)間.積分和被積函數(shù)積分變量積分限積分號

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值.定積分值與區(qū)間分法和取點無關(guān)，只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān).(2)定積分與積分變量的記法無關(guān).即有(3)規(guī)定

定積分概念的說明

三、定積分的幾何意義

如果,則幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

如果,則在幾何上表示曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積相反數(shù).xyoyxo

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.定積分的存在定理定理定理xyo解由定積分的定義例

證明定積分（k為常數(shù)）abkyx例利用定積分的幾何意義求定積分解上半圓的面積（如圖），從幾何意義上看，該定積分為以R為半徑的xyo性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上可積.

性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)

(估值定理)證明

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點

,使得證明

設(shè)f(x)在[a,b]上最大值為M、最小值為m,則有

函數(shù)的均值：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.中值定理的幾何意義ξyy=f(x)xoab

矩形面積曲邊梯形形面積例估計定積分的值．解先求在[-1,1]上的最大值和最小值比較在駐點及區(qū)間端點處的函數(shù)值因為令，得駐點故最大值

，最小值．由估值性質(zhì)得定積分一、原函數(shù)存在定理二、微積分基本公式第二節(jié)微積分基本公式稱為變上限的積分.一、原函數(shù)存在定理oxyaxby=f(x)第二節(jié)微積分基本公式定理（微積分基本定理）證明

考慮函數(shù)改變量由積分中值定理有

結(jié)論：變上限函數(shù)對積分上限x的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的值f(x).對應(yīng)變上限積分函數(shù)還有變下限積分函數(shù)對于變上（下）限積分函數(shù)也可以進行函數(shù)的復(fù)合，由變上限積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有結(jié)論：

若函數(shù)可微，函數(shù)連續(xù)，則例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解由變上限積分知例求下列極限解由洛必達法則，得二、微積分基本公式變速直線運動的路程問題

設(shè)物體作變速直線運動其路程函數(shù)為s=s(t),速度函數(shù)為v=v(t).則在時間間隔內(nèi)有上述等式對一般函數(shù)是否成立？即推測下述結(jié)論.定理(微積分基本公式)證明即(牛頓-萊布尼茨公式)即

牛頓—萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法.即若求定積分的值,只要求出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x),然后計算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，揭示了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.在理論上把微分學(xué)與積分學(xué)溝通了起來.所以微積分基本公式是整個微積分中最重要的公式.基本公式應(yīng)用形式例求下列定積分解由微積分基本公式

在利用微積分基本公式求積分時，經(jīng)常要對被積函數(shù)進行恒等變形，然后利用定積分性質(zhì)計算積分.例求下列定積分解將被積函數(shù)變形，再由微積分基本公式得解

把被積函數(shù)化簡.例

計算例設(shè)，求定積分解

一、定積分的換元積分法二、定積分的分部積分法第三節(jié)定積分的計算

定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若滿足下列條件：(2)當t在α與β之間變化時，單調(diào)變化且連續(xù)，則

上述條件是為了保證兩端的被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而可積．應(yīng)用中須注意：換元要換限，（原）上限對（新）上限，（原）下限對（新）下限.第三節(jié)定積分的計算一、定積分的換元積分法例

求積分解例求積分解說明：在不進行代換的前提下，可以利用湊微分法直接求定積分.即先對所求的積分湊微分，不引入新的變量直接求出原函數(shù)，再用微積分基本公式求定積分.（湊微分）（基本公式）例求積分解解例求積分解例求積分令有例

證明結(jié)論：證明

由定積分性質(zhì)知所以

該例表明連續(xù)偶函數(shù)在[–a,a]上的積分等于區(qū)間[0,a]上積分的兩倍；奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于零，利用該性質(zhì)，可以簡化連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算.則則例求積分解

例若函數(shù)f(x)在[0,1]連續(xù)，證明證明所以特別地定理設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有定積分分部積分公式

分部積分公式，它可以將求的積分問題轉(zhuǎn)化為求的積分,當后面這個積分較容易求時，分部積分公式就起到了化難為易的作用．或二、定積分的分部積分法定積分分部積分法應(yīng)用的基本過程

使用分部積分公式關(guān)鍵在于恰當?shù)倪x擇和u.

和u的選擇要體現(xiàn)化難為易的原則.湊微分用公式例求積分解例求積分解例求定積分解因此由此可得統(tǒng)一起來就是例如定積分一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)反常積分三、函數(shù)第四節(jié)反常積分

導(dǎo)言：定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間，被積函數(shù)為有界函數(shù)，但在實際問題中，往往需要突破這兩個限制，來考察無窮區(qū)間上的積分或無界函數(shù)的積分，從而形成了反常積分的概念.相應(yīng)地，前面所討論的定積分也叫做常義積分.

本節(jié)主要討論兩類積分問題：（1）無限區(qū)間上的積分問題；（2）無界函數(shù)的積分問題.一、無窮限的反常積分引例

解考慮曲線與直線x=b及x軸所圍成圖形的面積則所求圖形的面積為bxyO

定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù),取b>a

稱極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作,即若極限存在，則稱反常積分收斂；若極限不存在，則稱反常積分發(fā)散.無窮區(qū)間上的反常積分定義為類似地，無窮區(qū)間上的反常積分定義為上述三種積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.(c

為任意定常數(shù))例討論下列無窮限積分的斂散性：解

同定積分類似，無窮限反常積分也有類似于定積分的微積分基本公式、線性運算法則、換元積分法與分部積分法等,但要注意每一步運算過程必須是收斂的.引入記號則有計算表達式:例求積分解例求積分解在此解例討論下列無窮限積分的斂散性：例證明

引例求曲線與

x軸,y

軸和直線x=1所圍成圖形的面積.二、無界函數(shù)的反常積分解因為函數(shù)在（0,1]上無界，此時，所求面積可以定義為

定義設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，且取，稱極限為f(x)在(a,b]上的無界函數(shù)的反常積分，記為若極限存在，則稱反常積分收斂.若極限不存在，就稱反常積分發(fā)散.

若函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù)，且則反常積分定義為當極限存在稱其收斂，否則發(fā)散.此時，如果上式右端反常積分都收斂，則稱反常積分收斂,否則稱反常積分發(fā)散.

上述三種積分統(tǒng)稱為無界函數(shù)的反常積分.無界函數(shù)的反常積分也稱為瑕積分，相應(yīng)的無窮間斷點稱為瑕點.

若函數(shù)f(x)在[a,b]上除點x=c∈(a,b)外都連續(xù),且，則反常積分定義為例

計算反常積分解

顯然瑕點為

a,所以

說明：由于無界函數(shù)的反常積分其形式與定積分一致，因此，在求積分時首先要區(qū)分是定積分還是無界函數(shù)的反常積分.例求積分解因為x=0為被積函數(shù)的瑕點，所以注：在上式中，由洛必達法則有例

討論瑕積分的收斂性.解在[0,2]

內(nèi)部有被積函數(shù)的瑕點x=1，取所以，瑕積分發(fā)散.（瑕點在區(qū)間的端點處）（該極限不存在）（瑕積分定義）例解三、函數(shù)性質(zhì)證明由分部積分公式可得

一、定積分的幾何應(yīng)用二、定積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用第五節(jié)定積分的應(yīng)用第五節(jié)定積分的應(yīng)用回顧：曲邊梯形面積的求解過程及思想方法xyo

定積分概念源于幾何問題，利用定積分可以求解常見的幾何量：面積、體積和弧長.(1)分割化整為零(2)近似以常代變(3)求和積零為整(4)極限無限累加(1)分割分割S為n個部分量的和(2)近似(3)求和(4)取極限求積過程的簡化——微元法(1)求微元取任意子區(qū)間,部分量的近似值為稱其為微元.記為(2)求積分將微分元素在區(qū)間[a,b]上積分得整體量值為求積分過程微元法這兩步是關(guān)鍵1.定積分應(yīng)用的微元法(1)求微元取區(qū)間[a,b]的任意子區(qū)間,落在該小區(qū)間上的部分量的近似值為稱其為微分元素(簡稱微元).記為(2)求積分將微分元素在區(qū)間[a,b]上積分得整體量值為

問題：求分布在區(qū)間[a,b]上具有可加性（可以表示成部分量的和）非均勻整體量S的值.上述方法稱為定積分應(yīng)用的微元法.可用定積分來表示的非均勻整體量S的特征：2.平面圖形的面積利用定積分的微元法aoyx+dxxby=f(x)y=g(x)xcoyy+dyydx例解xOy（1，1）（-2，-2）

例求拋物線與直線所圍成圖形的面積.解解方程組得交點(1,1)及(-2,-2)；取x為積分變量，變化范圍為[-2，1]，于是所求圖形面積為

例求拋物線與所圍成圖形的面積.解解方程組得交點(1,1)；（1）取x為積分變量（2）取y為積分變量xOy123.用定積分求幾何體的體積