第六章《第3單元-課時(shí)精講-實(shí)數(shù)》名師教學(xué)設(shè)計(jì)

第6章實(shí)數(shù)第3單元實(shí)數(shù)課時(shí)精講實(shí)數(shù)內(nèi)容分折在前兩個(gè)單元中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的開方運(yùn)算，并對(duì)無限不循環(huán)小數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí).在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課給出了無理數(shù)的概念，將有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，并研究實(shí)數(shù)的分類等內(nèi)容.由于無理數(shù)的概念對(duì)學(xué)生來說較為抽象，教師需要從不同方面逐步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無理數(shù)的存在性.因此，本節(jié)課首先可以從前面學(xué)過的數(shù)的開方入手，設(shè)置問題串啟發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生通過對(duì)比有理數(shù)和/2等無理數(shù)表現(xiàn)出的不同特征，感受無理數(shù)的存在性，進(jìn)而引入無理數(shù)概念.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，類比引入負(fù)數(shù)后有理數(shù)的研究過程，探討實(shí)數(shù)的分類、在數(shù)軸上的表示等問題，進(jìn)一步體會(huì)無理數(shù)的存在性.本節(jié)課中，學(xué)生對(duì)無理數(shù)的概念理解是難點(diǎn).因此，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無理數(shù)的存在性.教學(xué)中，教師可以從無限不循環(huán)小數(shù)的特征入手，講解概念，再給出幾種常見的無理數(shù)形式，并進(jìn)行概念辨析。對(duì)于學(xué)生易混淆的等，π，等，可以引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手計(jì)算，寫出它們的小數(shù)形式進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)概念判定是否為無理數(shù).同時(shí)，教師也可以利用數(shù)軸表示無理數(shù)，幫助他們進(jìn)一步感受無理數(shù)的存在性。這里可以從較為基礎(chǔ)的問題人手，先嘗試在數(shù)軸上表示π和±，借助單位圓周長和前面探討過的正方形紙片拼接問題，將這兩個(gè)無理數(shù)轉(zhuǎn)化為單位圓周長和正方形對(duì)角線的長度，從面解決問題.緊接著，可以啟發(fā)學(xué)生嘗試在數(shù)軸上表示2.學(xué)生比較容易想到的是利用2=+，在數(shù)軸上依次截取兩次的長度，從而解決問題.除此之外，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用平方根定義，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算找到2的等價(jià)表示形式2==，即邊長為2的正方形對(duì)角線的長度，從而找到另一種在數(shù)軸上表示2的方法.這個(gè)過程不僅能幫助學(xué)生體會(huì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也加深了他們對(duì)平方根的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。至于在數(shù)軸上表示，等其他開方形式的無理數(shù)，由于涉及勾股定理，本節(jié)課不再講解，但可以作為拓展問題供學(xué)生思考、探究.學(xué)生分折本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的開方，對(duì)無限不循環(huán)小數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí).本節(jié)課，學(xué)生將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)無理數(shù)的概念，將有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍.對(duì)七年級(jí)學(xué)生來說，無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念較為抽象，他們很難有深刻的認(rèn)識(shí).因此，在本節(jié)課的教授中，教師一定要從具體的例子出發(fā)，給學(xué)生充足的時(shí)間去思考、動(dòng)手探索，使他們從感性的角度認(rèn)識(shí)抽象的概念.學(xué)生在以往學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常在判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)注意辨析無理數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生將容易混淆的數(shù)統(tǒng)一化成小數(shù)形式，讓他們經(jīng)歷動(dòng)手計(jì)算的過程，再按照概念進(jìn)行判斷，加深印象，更好地理解有理數(shù)和無理數(shù)是兩類不同的數(shù)以及無理數(shù)表現(xiàn)出的特征。另外，學(xué)生對(duì)于“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的”可能不完全理解.這里不作深究，只需要學(xué)生能通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的作圖問題，了解無理數(shù)的幾何意義即可.在此基礎(chǔ)上，教師直接告訴學(xué)生每個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.至于更深層次的理解、證明，需要到高中、大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，這里不必說明.目標(biāo)確定1.會(huì)按要求對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類。2.會(huì)找出兩個(gè)無理數(shù)之間的整數(shù).3.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)的概念以及分類。2.對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí).難點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)、無理數(shù)的概念.2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)“實(shí)數(shù)”學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)能夠說出無理數(shù)的概念能夠說出實(shí)數(shù)的概念.會(huì)按要求對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類.會(huì)找出兩個(gè)無理數(shù)之間的整數(shù).知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.AABBB活動(dòng)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)1提出問題教師活動(dòng)①學(xué)生活動(dòng)①問題1如果一個(gè)正方形邊長為1，那么它的對(duì)角線長是多少？（提示：動(dòng)手拼圖試試看）問題2得出的這個(gè)數(shù)具有什么特點(diǎn)？問題3它是有理數(shù)嗎？（提示：先回憶有理數(shù)的分類，統(tǒng)一化成小數(shù)形式，再進(jìn)行比較.）教師用計(jì)算機(jī)展示的小數(shù)形式：2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057…總結(jié)：我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而任何一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)的形式，必是有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù).反過來，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).而是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，因此它不是一個(gè)有理數(shù).問題1根據(jù)前面學(xué)過的知識(shí)，容易求出對(duì)角線長為.問題2根據(jù)“算術(shù)平方根估計(jì)”中學(xué)過的內(nèi)容，我們知道是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).問題3想要判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)，需要先明晰有理數(shù)的特征.有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，它們都可以化成小數(shù).其中整數(shù)可以看成是小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)，分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).例如=0.25，=0.6=0.666666666…，號(hào)=0.i42857=0.142857142857.而是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).不符合有理數(shù)特征.活動(dòng)意圖說明學(xué)生通過問題串的引導(dǎo)，回顧有理數(shù)的分類和數(shù)的開方等相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而對(duì)比有理數(shù)和等無理數(shù)表現(xiàn)出的不同特征，初步認(rèn)識(shí)到無理數(shù)的存在性，引出無理數(shù)的概念。環(huán)節(jié)2探究新知教師活動(dòng)②學(xué)生活動(dòng)②我們已經(jīng)知道是無限不循環(huán)小數(shù)，它不是有理數(shù).我們將無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).問題1除了，你還見過其他無理數(shù)嗎？追問：的大小和十分接近，也和一樣是無理數(shù)嗎？（提示：化成小數(shù)形式試試看.）問題2所有的平方根、立方根，都是無理數(shù)嗎？反過來，無理數(shù)是否都是開方得到的？問題1如，，等都是無理數(shù).追問：盡管取值和接近，但它是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù).經(jīng)過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，化成小數(shù)形式是無限循環(huán)小數(shù)，而是無限不循環(huán)的.問題2不一定。例如，這樣開方能開盡的數(shù)，是有理數(shù)；開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).無理數(shù)包括但不限于開方開不盡的數(shù)，例如就不是開方得到的.教師給出一道例題（如下），要求學(xué)生獨(dú)立完成.例1下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？－，3.3，，0.80808，，.分析：要判斷一個(gè)數(shù)是否是無理數(shù)，關(guān)鍵分析這個(gè)數(shù)是否是無限不循環(huán)小數(shù).總結(jié)常見的無理數(shù)類型：（1）開方開不盡的數(shù)：，，,…；（2）含有的數(shù)：，,+1，…；（3）特殊形式的無限不循環(huán)小數(shù)，例如，0.101001000…（但0.101001000不是）.例1解：－是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；3.3是有理數(shù)；是無限循環(huán)小數(shù)，仍是有理數(shù)；0.808008是有限小數(shù)，因而是有理數(shù)；是無理數(shù)；是有理數(shù).環(huán)節(jié)3溫故知新教師活動(dòng)③學(xué)生活動(dòng)③問題請(qǐng)回顧引入負(fù)數(shù)后，我們研究有理數(shù)的過程.類似地，引入無理數(shù)之后，我們可以從哪些方面研究實(shí)數(shù)？按照定義，我們將實(shí)數(shù)分類：像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負(fù)之分，如，－，是正無理數(shù)，－，－，－是負(fù)無理數(shù).所以實(shí)數(shù)也可以這樣分類：那么，實(shí)數(shù)是否也能借助數(shù)軸表示呢？試試看，你能在數(shù)軸上找到表示士，的點(diǎn)嗎？在引入負(fù)數(shù)之后，我們先對(duì)擴(kuò)充得到的有理數(shù)進(jìn)行分類，而后我們探討了怎樣利用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)，進(jìn)而借助數(shù)軸研究了有理數(shù)的數(shù)序，即如何比較大??；定義了有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)，進(jìn)而又研究了運(yùn)算法則、運(yùn)算律.由此，我們也可以先研究實(shí)數(shù)的分類，再探究實(shí)數(shù)是否也能借助數(shù)軸表示.活動(dòng)意圖說明本環(huán)節(jié)類比有理數(shù)的研究過程，提出研究實(shí)數(shù)部分需要探究的問題，并依據(jù)實(shí)數(shù)的概念，給出實(shí)數(shù)的分類方式.接下來，學(xué)生用足夠的時(shí)間思考數(shù)軸上如何表示士，.環(huán)節(jié)4解決問題教師活動(dòng)④學(xué)生活動(dòng)④問題1如何在數(shù)軸上找到表示士的點(diǎn)？問題2如何在數(shù)軸上找到表示的點(diǎn)？進(jìn)一步思考：你能在數(shù)軸上找到表示2的點(diǎn)嗎？給學(xué)生足夠時(shí)間思考后，教師給出不同方法：方法一：2=+，在表示的點(diǎn)右側(cè)再取長度即可.方法二：根據(jù)平方根的定義.=2×2=2×2××=4×2=8，2==.也就是說，2是面積為8的正方形的邊長.同樣地，這個(gè)正方形可以由兩個(gè)面積為4的正方形拼成.也就是說，邊長為2的正方形的對(duì)角線即為2.由此即可找到表示2的點(diǎn).總結(jié)：數(shù)軸上的任意一點(diǎn)必定表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即它所表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)（有理數(shù)或無理數(shù)）也都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.換句話說，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.利用數(shù)軸，可以比較大小嗎？請(qǐng)學(xué)生試一試.例2寫出所有大于－小于的整數(shù).問題1分析：只需要找到表示的點(diǎn).如圖1所示，將兩個(gè)邊長為1的正方形分別沿它的對(duì)角線剪開，得到4個(gè)等腰直角三角形，并拼成一個(gè)面積為2的大正方形，其邊長為.這就是說，邊長為1的正方形的對(duì)角線長是.利用這個(gè)事實(shí)，我們?nèi)菀自跀?shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，如圖2所示，進(jìn)而可以找到表示－的點(diǎn).問題2分析：直徑為1的圓的周長即為.將直徑為1的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)O’，從圖3中可以看出，O’的坐標(biāo)是.這樣，無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來.例2分析：解決問題的關(guān)鍵是要清楚所給的無理數(shù)在哪兩個(gè)整數(shù)之間，因此只要知道被開方數(shù)在哪兩個(gè)平方數(shù)之間即可.解：大于－小于的所有整數(shù)為－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.活動(dòng)意圖說明學(xué)生通過在數(shù)軸上表示無理數(shù)，進(jìn)一步感受無理數(shù)的存在性.對(duì)他們而言，在數(shù)軸上表示士，π比較容易，而表示2就比較困難.這需要他們進(jìn)一步思考探究.這個(gè)探索不僅加深學(xué)生印象，使他們理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，同時(shí)也為二次根式性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).環(huán)節(jié)5練習(xí)鞏固教師活動(dòng)⑤學(xué)生活動(dòng)⑤1.寫出大于－小于的所有整數(shù).2.下列說法正確的有_______.①無理數(shù)是無限小數(shù)；②帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)；③無限小數(shù)是無理數(shù)；④任何實(shí)數(shù)都可以開立方；⑤有理數(shù)都是實(shí)數(shù).3.寫出一個(gè)大于1且小于4的無理數(shù).（答案不唯一）1.－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.2.①②④⑤.（其中①和③需要注意，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無限小數(shù)；但不是所有無限小數(shù)都是無理數(shù).）3.例如，，π等.活動(dòng)意圖說明本環(huán)節(jié)在前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，設(shè)置練習(xí)題，鞏固學(xué)生對(duì)無理數(shù)、實(shí)數(shù)的理解。其中第2題是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)著重辨析.環(huán)節(jié)6課堂小結(jié)教師活動(dòng)⑥學(xué)生活動(dòng)⑥1.什么樣的數(shù)是無理數(shù)？實(shí)數(shù)怎樣分類？2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸有怎樣的關(guān)系？3.類比有理數(shù)的研究過程，接下來，還可以研究什么問題？1.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)3.接下來還可以探究相反數(shù)、絕對(duì)值、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律是怎樣拓展到實(shí)數(shù)范圍的.活動(dòng)意圖說明學(xué)生通過回顧本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)要點(diǎn).同時(shí)，本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生提出下一步的研究思路，啟發(fā)他們持續(xù)思考.板書設(shè)計(jì)實(shí)數(shù)1.我們將無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).常見的無理數(shù)類型：（1）開方開不盡的數(shù)：，，，…；（2）含有的數(shù)：，，+1，…；（3）特殊形式的無限不循環(huán)小數(shù)，例如，0.101001000…（但0.101001000不是）.2.3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)：數(shù)軸上的任意一點(diǎn)必定表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即它所表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)（有理數(shù)或無理數(shù)）也都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.問題1如何在數(shù)軸上找到表示士的點(diǎn)？問題2如何在數(shù)軸上找到表示π的點(diǎn)？進(jìn)一步思考：你能在數(shù)軸上找到表示2的點(diǎn)嗎？方法一：2=+，在表示的點(diǎn)右側(cè)再取長度即可.方法二：根據(jù)平方根定義求解.=2×2=2×2××=4×2=8，2==.練習(xí)診斷1.（A）在－1.414，－，，，3.142，2－，2.12112112中，無理數(shù)有________.2.（B）如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是（）A.點(diǎn)PB.點(diǎn)QC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N3.（B）滿足－<x<的所有整數(shù)的和為_______.4.（B）和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是________.反思與改進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)平方根、立方根的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)無理數(shù)、實(shí)數(shù).由于前面單元中已經(jīng)滲透了無限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)，本節(jié)課就以復(fù)習(xí)回顧開篇，提出問題串引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)有理數(shù)、無理數(shù)的不同特征，進(jìn)而認(rèn)識(shí)無理數(shù).在給出概念后，教師通過追問以及具體的例子幫助學(xué)生進(jìn)行概念辨析，深化對(duì)這一概念的理解.在此基礎(chǔ)上，將有理數(shù)擴(kuò)充到