重點(diǎn)突圍：專題01 平行線的判定與性質(zhì)（解析版）-人教七下期中綜合復(fù)習(xí)

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題01平行線的判定與性質(zhì)【典型例題】1．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．【答案】2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【解析】【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，結(jié)合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出AD∥BC．【詳解】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線的定義）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，平行線的判定．正確掌握線段、角、相交線與平行線的知識(shí)是解題的關(guān)鍵，還需掌握推理能力．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2022·福建·泉州五中七年級(jí)期末）如圖，直線a、b被直線c所截，下列說法不正確的是（）A．1與5是同位角 B．3與6是同旁內(nèi)角C．2與4是對(duì)頂角 D．5與2是內(nèi)錯(cuò)角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角的定義對(duì)各選項(xiàng)作出判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠5是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∠3與∠6是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意．C、∠2與∠4是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∠5與2不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義，解答此題的關(guān)鍵是確定三線八角，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．2．（2022·湖南雙峰·八年級(jí)期末）下列命題是真命題的是（）A．如果數(shù)，的積，那么，都是正數(shù)B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．有公共點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)乘積的符號(hào)確定，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、如果數(shù)，的積，那么，同號(hào)，則本選項(xiàng)是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；B、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，則本選項(xiàng)是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)橛泄岔旤c(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個(gè)角稱為對(duì)頂角，所以有公共點(diǎn)的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，則本選項(xiàng)是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；D、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則本選項(xiàng)是真命題，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘積的符號(hào)確定，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的定義，判斷命題的真假，熟練掌握有理數(shù)乘積的符號(hào)確定方法，平行線的性質(zhì)定理，有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個(gè)角稱為對(duì)頂角是解題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是直線m外一點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在直線m上，PB⊥AC于點(diǎn)B，那么點(diǎn)P到直線m的距離是線段（）的長度．A．PA B．PB C．PC D．AB【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答即可．【詳解】解：∵PB⊥AC于點(diǎn)B，∴點(diǎn)P到直線m的距離是線段B的長度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度叫點(diǎn)到直線的距離．4．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=3cm，則平移的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得的長度等于平移的距離，即可求解．【詳解】∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，即的長度等于平移的距離，∵BE=3cm，∴平移的距離為3cm．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移，熟練掌握平移的距離都等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)間長度是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）八年級(jí)期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點(diǎn)照射到拋物線上的光線等反射以后沿著與直線平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（）°A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解【詳解】解：故選C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧丹東·八年級(jí)期末）如圖，①，②，③，④可以判定的條件有（）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐個(gè)排查即可．【詳解】解：①由于∠1和∠3是同位角，則①可判定；②由于∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，則②可判定；③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是內(nèi)錯(cuò)角，則③不能判定；④①由于∠2和∠5是同旁內(nèi)角，則④可判定；即①②④可判定．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定定理，平行線的判定定理主要有：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．二、填空題7．（2021·北京房山·七年級(jí)期末）如圖A，C，E共線，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使ABCD，這個(gè)條件是______，你的依據(jù)是_____．【答案】∠ECD=∠A同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理添加即可．【詳解】解：∵∠ECD=∠A，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）故答案為：∠ECD=∠A；同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠BOE＝90°，∠DOE＝130°，則∠AOC＝______．【答案】40°【解析】【分析】先根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠BOD，再根據(jù)對(duì)頂角相等可求∠AOC．【詳解】解：∵∠BOE=90°，∠DOE=130°，∴∠BOD=130°-90°=40°，又∴∠AOC=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠BOD．9．（2021·上海民辦浦東交中初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，則∠CBF＝______度．【答案】125【解析】【分析】首先根據(jù)垂直定義可得∠ACD＝90°，再根據(jù)余角的定義可得∠ACH的度數(shù)，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FBC+∠ACH＝180°，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵∠DCH＝35°，∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，∵EF∥GH，∴∠FBC+∠ACH＝180°，∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，故答案為：125．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．10．（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，要在豎直高AC為3米，水平寬BC為12米的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要______米．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，地毯的水平長度與BC的長度相等，垂直長度與AC的長度相等，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，地毯的水平長度與BC的長度相等，垂直長度與AC的長度相等，所以地毯的長度至少需要12+3=15（米）．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移現(xiàn)象，熟練應(yīng)用平移的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝34°，則∠2＝_____°．【答案】56【解析】【分析】先根據(jù)余角的定義求出∠3的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠1＝34°，∴∠3＝90°﹣34°＝56°．∵直尺的兩邊互相平行，∴∠2＝∠3＝56°．故答案為：56．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2022·全國·七年級(jí)）如圖，E在AD的延長線上，下列四個(gè)條件：①∠3=∠4；②∠C+∠ABC=180°；③∠A=∠CDE；④∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是________．（填序號(hào)）【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理，逐一判斷，即可得到答案．【詳解】∵，∴，∴①不符合題意；∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；∴②符合題意；∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD；∴③符合題意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．三、解答題13．（2022·全國·七年級(jí)）如圖，已知GH、MN分別平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，試說明ABCD的理由．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)角平分線的意義可得∠AGE＝2∠AGH，∠DMF＝2∠DMN，等量代換可得∠DMF＝∠FGB，根據(jù)平行線的判定定理即可求得ABCD【詳解】∵GH平分∠AGE，∴∠AGE＝2∠AGH同理∠DMF＝2∠DMN∵∠AGH＝∠DMN∴∠AGE＝∠DMF又∵∠AGE＝∠FGB∴∠DMF＝∠FGB∴ABCD（同位角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，角平分線的意義，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC，且DE∥BF，那么AB與DC平行嗎？為什么？【答案】AB∥DC，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠DEA＝∠FBA，再根據(jù)角平分線性質(zhì)推出∠CDE＝∠FBA，等量代換得到∠CDE＝∠DEA，根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】解：AB∥DC，理由如下：∵DE∥BF，∴∠DEA＝∠FBA，∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC，∴∠CDE＝∠CDA＝∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，∴AB∥DC．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解此題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，試說明．證明：∵（己知），∴（___________________），∴____________（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（___________________），∴（___________________），∴（兩直線平行，同位角相等）．【答案】垂直定義；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【解析】【分析】根據(jù)垂直定義求出∠B=∠CDF=90°，根據(jù)平行線的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．【詳解】證明：∵（己知），∴（垂直定義），∴ABCD（同位角相等，兩直線平行），∵（已知），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：垂直定義；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行于同一條直線的兩條直線平行【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，④平行于同一直線的兩直線平行．16．（2022·黑龍江杜爾伯特·七年級(jí)期末）完成下面的證明：已知：如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求證：AD∥BC．證明：∵AB⊥AC（已知）∴∠＝90°（）∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）∴∠1+∠BAC+∠B＝（）即∠+∠B＝180°∴AD∥BC（）【答案】見解析【解析】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直的定義），∵，（已知），∴（等量關(guān)系），即，∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直、平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．17．（2022·吉林長春·七年級(jí)期末）如圖，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB與CD平行嗎？BC與DE呢？觀察下面的解答過程，補(bǔ)充必要的依據(jù)或結(jié)論．解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1（①）∴∠ABC＝60°（等量代換）又∵∠2＝120°（已知）∴（②）+∠2＝180°（等式的性質(zhì)）∴AB∥CD（③）又∵∠2+∠BCD＝（④°）∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)）∵∠D＝60°（已知）∴∠BCD＝∠D（⑤）∴BC∥DE（⑥）【答案】對(duì)頂角相等；∠ABC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【解析】【分析】先求出∠ABC＝60°，即可證明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D即可證明BC∥DE．【詳解】解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1（對(duì)頂角相等），∴∠ABC＝60°（等量代換），又∵∠2＝120°（已知），∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性質(zhì)），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），又∵∠2+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)），∵∠D＝60°（已知），∴∠BCD＝∠D（等量代換），∴BC∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故答案為：對(duì)頂角相等；∠ABC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的判定條件．18．（2022·江蘇昆山·七年級(jí)期末）如圖所示，已切直線AB∥直線CD，直線EF分別交直線AB、CD于點(diǎn)A，C．且∠RAC＝60°，現(xiàn)將射線AB繞點(diǎn)A以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)得到射線AM．同時(shí)射線CE繞點(diǎn)C以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線CN，當(dāng)射線CN旋轉(zhuǎn)至與射線CA重合時(shí)，則射線CN、射線AM均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（秒）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線AM與射線CN相交，設(shè)交點(diǎn)為P．①當(dāng)t＝20（秒）時(shí)，則∠CP