第十八講全等三角形講義

第四章第四章三角形第十八講全等三角形滿分講義知識梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)1：全等三角形的定義和性質(zhì)1.定義能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．知識點(diǎn)2：全等三角形的判定1.全等三角形的判定（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可間寫成“角角邊”或“AAS”）（4）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2.證明三角形全等的思路3.全等三角形模型模型圖形示例歸納總結(jié)平移模型可看成是由一個三角形沿其一條邊所在直線平移得到.對稱模型兩個三角形關(guān)于某一直線對稱,即這條直線兩邊的部分能完全重合,重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn).旋轉(zhuǎn)模型可看成由三角形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成,故一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些角的和或者差中.角平分線模型把角平分線看成一條公共邊所在的射線,在角的兩邊截取相等的線段,就可以構(gòu)造出全等三角形.三垂直模型也叫雙直角三角形,其中的證明多數(shù)可以用到同(等)角的余角相等這一結(jié)論,相等的角就是對應(yīng)角.典例解析呈現(xiàn)命題點(diǎn)命題點(diǎn)1全等三角形的判定（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在上，，，添加一個條件，不能證明的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．根據(jù)求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵，∴，即，，∴當(dāng)時，利用可得；當(dāng)時，利用可得；當(dāng)時，利用可得；當(dāng)時，無法證明；故選：D．（2023年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長度，就可以道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】A【分析】根據(jù)題意易證，根據(jù)證明方法即可求解．【詳解】解：O為、的中點(diǎn)，，，（對頂角相等），在與中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．（2024·全國·八年級競賽）下列說法：有兩邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等；周長相等的兩個等邊三角形全等；有一條邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．其中錯誤的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了三角形全等的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理，逐一進(jìn)行判斷即可得出答案，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：有兩邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形不一定全等，如果兩等腰三角形的兩腰對應(yīng)相等但底不相等，兩等腰三角形則不全等，符合題意；周長相等的兩個等邊三角形的三邊也對應(yīng)相等，符合，，，，不符合題意；有一條邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，如果直角邊和斜邊對應(yīng)相等，那么兩個直角三角形不全等，符合題意；有兩條邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形，當(dāng)角是兩邊的夾角是可以判定這兩個三角形全等，當(dāng)角不是兩邊的夾角時，就不能判定這兩個三角形全等，符合題意；綜上說法錯誤，共個，故選：．（2024·全國·八年級競賽）如圖，已知點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為外一點(diǎn)，如果，且，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查全等三角形的判定，先證明，根據(jù)可證明．【詳解】解：∵，∴，即，∵∴，又，∴∴選項(xiàng)D正確；而選項(xiàng)A、B、C都無法證明三角形全等，故選：D．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在和中，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可．【詳解】A、，不能判斷，選項(xiàng)不符合題意；B、，利用SAS定理可以判斷，選項(xiàng)符合題意；C、，不能判斷，選項(xiàng)不符合題意；D、，不能判斷，選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，根據(jù)SSS、SAS、ASA、AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關(guān)鍵．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，，，要使，還需添加一個條件是【答案】（或或或）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，添加條件為：或，根據(jù)可證明；添加條件為：或，根據(jù)可證明．【詳解】解：∵，，∴，，①添加條件為：，在和中，，∴；②添加條件為：，在和中，，∴；③添加條件為：，∴，在和中，，∴；④添加條件為：，在和中，，∴；∴這個條件可以是（或或或）．故答案為：（或或或）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上任意一點(diǎn)，連接，作，交線段于點(diǎn)E．(1)若，求和的度數(shù)；(2)若，求證：．【答案】(1)，；(2)見解析．【分析】（1）直接利用三角形內(nèi)角和定理可求出；然后根據(jù)平角的定義和等腰三角形的性質(zhì)求出和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）求出，利用即可證明．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．命題點(diǎn)2全等三角形的性質(zhì)（2022年廣東省深圳市龍崗區(qū)金稻田學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬題）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點(diǎn)B′在AB邊上，點(diǎn)A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是()A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠BC．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△A′B′C，∴，∴，∴∠BCB′＝∠ACA′，故A正確；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∴，∵，∴∠ACB＝2∠B，故B正確；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∵無法判斷和是否相等，∴∠B′CA和∠A不一定相等，∴∠B′CA和∠B′AC不一定相等，故C錯誤；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∵，∴，即B′C平分∠BB′A′，故D正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（黑龍江省哈爾濱市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意易得，，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022年黑龍江省省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，中，，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若的面積是24，，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，∵AB=AC，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△AED==6，∵G是AD的中點(diǎn)，∴S△EGD==3，∵E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．一個三角形的兩邊長分別為4和8，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示,是邊上的中線，設(shè)，延長至E，使，則，證明，則，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，即可得到x的取值范圍．此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線、三角形的三邊關(guān)系等知識，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖所示：是邊上的中線，則，延長至E，使，則，在與中，∵，∴，∴，在中，，即，∴．故選：D．如圖，，點(diǎn)在線段上，，，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用“”判定，可證，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，故答案為：．如圖，在中，，，平分，于點(diǎn)，則的周長為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)角角邊證明，繼而得出，再根據(jù)勾股定理求出的長度，根據(jù)的周長為求解即可，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平分，∴,∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴的周長為，故答案為：．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若，則的長為．【答案】3【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．已知，，若的面積是，則中邊上的高是.【答案】8【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)高相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的面積公式求出中邊上的高，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：設(shè)中邊上的高是，由題意得，，解得，，，中邊上的高中邊上的高，故答案為：8已知三邊長分別是4，，9，的三邊長4，，若這兩個三角形全等，則．【答案】或/或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，或，分別求出的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵兩個三角形全等，∴，或，∴或，∴或，故答案為：或．命題點(diǎn)3全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根據(jù)ASA證明△ACB≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴△ACB≌△ACD，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACB≌△ACD是解本題的關(guān)鍵．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，．求證：．【答案】見解析【分析】先由題意可證，可得，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是的中點(diǎn)，，.求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件證得，，然后證明，應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】證明：∵B是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，在和中，．求證：．【答案】證明見解析【分析】直接利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：在和中，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（吉林省長春市九臺區(qū)20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在和中，延長交于F．，，．求證：【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．由“”可證，即可得結(jié)論．【詳解】證明：，，在和中，，，（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請?jiān)谏鲜鋈齻€條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證