數學競賽專題講座七年級第6講-話說同類項(含答案)

第六講話說同類項俗話說“物以類聚，人以群分”．在數學中，我們把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次數也分別相同的單項式看作一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項．整式的加減實質就是去括號合并同類項．整式的加減這一章涉及到許多概念，準確地掌握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯系是解相關問題的根底，歸納起來就是要注意以下幾點：理解“三式”〔單項式、多項式、整式〕和“四數”〔底數、指數、系數、常數〕的概念，熟悉“兩種排列”〔升冪、降冪〕，掌握三個法那么．解與整式加減相關問題時，有括號先去括號，有同類項先合并同類項，這樣能使解題過程大為簡化．“實際上，數學是一門藝術，是一門通過開展概念和技巧以使人們更為輕快地前進，從而防止蠻力計算的藝術．”——M．阿蒂亞例題講解【例1】當的取值范圍為時，式子的值恒為一個常數，這個值是．(北京市“迎春杯”競賽題)思路點撥去掉絕對值符號、合并同類項后，式子應不再含“”的項，由此得出的取值范圍．鏈接：數學概念是內容的根底．是數學推理和論證的根底．科學研究說明，概念的形成過程中，人們的心理活動經歷著以下階段：(1)區(qū)分不同的事物；(2)抽象一類事物的共同屬性；(3)用簡潔的語言符號給概念下定義、定名稱．在概念學習中，應注意以下策略：(1)關鍵字詞理解的策略；(2)正、反例比照策略；(3)相似概念比擬策略；(4)概念系統(tǒng)化策略．【例2】那么化簡得()．A．B．C．2D．(江蘇省競賽題)思路點撥由條件可推得多個關系式，這是解本例的關鍵．【例3】x＝2，y=一4時，代數式，求當時，代數式的值．思路點撥一般的想法是先求出，的值，這是不可能的(為什么?)解本例的關鍵是：將給定的、值分別代入對應的代數式，尋找式與待求式之間的聯系，整體代人求值．【例4】關于的二次多項式，當x=2時多項式的值為，求當時，該多項式的值．(“希望杯”邀請賽培訓題)思路點撥設法求出a，b的值，解題的突破口是根據多項式降冪排列、多項式次數等概念挖掘隱含的關于a，b的等式．【例5】(1)：5∣(x+9y)(x，y為整數)，求證：5∣(8x十7y)．(2)試證：每個大于6的自然數n都可表示為兩個大于1且互質的自然數之和．(全國初中數學聯賽試題)思路點撥(1)嘗試把8x+7y寫成x+9y的倍數與5的倍數的代數和的形式，(2)逆用整式的加減，將每一類自然數表示為兩個式子的和，并證明它們互質，注意分類討論．鏈接：解代數式化簡求值問題的根本方法有：將字母的值代入或字母間的關系整體代入等．關鍵是對代數式進行恰當變形，其中去括號、添括號能改變代數式的結構，是變形求簡的一種常用工具．“回到定義中去”，這是美國著名數學家玻利亞稱為的一種解題方法，在解題遇到困難的時候，請記住“回到定義中去”這個重要的思考提示．欲證明一個多項式能被某數整除，常需對該多項式進行適當的變換，或對字母進行代換，充分利用巳知條件及整除的有關性質解決問題．數學中有許多可以類比的對象，如數與式，整數與整式．教學中的許多結論就是通過類比得到的，同時類比也是學習數學中的一種有效方法．【例6】如果代數式的值為2，那么代數式的值等于______．思路點撥觀察代數式變換的形式，從整體上入手來解題．鏈接：在解數學題時，我們既要能從局部入手，又要善于著眼于整體，即突出對問題的整體結構的分析和改造，把一些彼此孤立實質上緊密聯系的量作為一個整體來考慮．【例7】設和均不為零，和是同類項，那么=_________．〔華杯賽試題〕思路點撥由同類項的概念建立、的關系式，運用這一關系式求原式的值．【例8】當時，代數式的值為18，這時，代數式〔〕．A．B．C．D．(希望杯邀請賽試題)根底訓練1．是同類項，那么=．(江蘇省競賽題)2．代數式．(1)當=，=時，此代數式的值與字母的取值無關；(2)在(1)的條件下，多項式的值為．3．=1999，那么=．4．當時，代數式的值為6，那么當時，代數式的值是．(安徽省中考題)5．火車站和機場都為旅客提供打包效勞，如果長、寬、高分別為、、的箱子按如圖的方式打包，那么打包帶的長至少為()．A．B．C．D．(太原市中考題)6．同時都含有字母，且系數為1的7次單項式共有()．A．4個B．12個C．15個D．25個(北京市競賽題)7．有理數在數軸上的位置如下圖：那么代數式化簡后的結果是()．A．B．C．D．8．，那么的值為〔〕．A．80S．10C．210D．409．把一個正方體的六個面分別標上字母A、B、C、D、E、F并展開如下圖，：，，，，假設正方體相對的兩個面上的多項式的和都相等，求D、F．10．單項式與單項式的和為，求的值．11．對于整式，給定的一個數值后，如果小穎按四那么運算的規(guī)那么計算該整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明說：“有另外一種算法，只要適當添加括號，可以做到加法次數不變，而乘法只算5次”．小明同學的說法是的．(填“對”或“錯”)〔希望杯邀請賽試題〕12．假設，那么＝．13．當時，代數式的值等于，那么當時，代數式的值等于．(北京市“迎春杯”競賽題)14．將1，2，3，……，100這100個自然數，任意分為50組，每組兩個數，現將每組的兩個數中任一數值記作，另一個記作，代入代數式中進行計算，求出其結果，50組數代人后可求得50個值，那么這50個值的和的最大值是．15．計算，最后結果是()．A．0B．C．1999D．16．，那么等于()．A．B．C．D．17．代數式，當＝l時，值為l，那么該代數式當時的值是()．A．1B．C．0D．2〔希望杯邀請賽試題〕18．如果對于某一特定范圍內的任意允許值的值恒為一常數，那么此值為()A．2B．3C．4D．5(安徽省競賽題)19．(1)、為整數，且，如果，請你證明：．(2)一個三位數，它的百位數字加上個位數字再減去十位數字所得的數是11的倍數．證明：這個三位數也是11的倍數．20．在一次游戲中，魔術師請一個人隨意想一個三位數(依次是這個數的百位、十位、個位數字)，并請這個人算出5個數、、、與的和N，把N告訴魔術師，于是魔術師就可以說出這個人所想的數．現在設N=3194，請你當魔術師，求出數而來．21．、、均為整數，且，求證：．(北京市競賽題)22．計算多項式的值時有以下3種算法，分別統(tǒng)計3種算法中的乘法次數．①直接計算：時共有＝6(次)乘法；②利用已有冪運算結果：，計算時共有(次)乘法；③逐項迭代：，其中等式右端運算中含有3次乘法．請問：(1)分別使用以上3種算法，統(tǒng)計算式中乘法的次數，并比擬3種算法的優(yōu)劣．(2)對次多項式〔其中為系數，〕，分別使用以上3種算法統(tǒng)計其中乘法的次數，并比擬3種算法的優(yōu)劣．答案：1.12.(1)-3,1(2)8.3.40000004.-45.C6.C7.A8.A9.D=3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y210.12提示:由題意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125).11.對12.-13.2214.3775提示:不妨設a>b,原式=a,由此知每組數的兩個數代入代數式運算后的結果為兩個數中較大的一個,從整體考慮,只要將51,52,53,…,100這50個數依次代入每一組中,便可得50個值的和的最大值.15.D16.D17.B18.B提示:2+3+…+9+10=54,而8+9+10=27.19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略20.提示:將abc也加到和N上,由于a、b、c在每一位上都恰好出現兩次,所以abc+N=222(a+b+c)①從而1000+3194>222(a+b+c)>3194,于是15≤a+b+c≤18.因為222×15-3194=136,222×16-3184=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802.其中只有3+5+8=16滿足要求,即能使①成立,故abc=358.21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z).22.(1)3種算法中乘法的次數分別為:①10+9+8+…+2+1=55(次);②2×9+1=19(次);③10次.(2)乘法次數分別為:①n+(n-1)+…+3+2+1=(次);②2(n-1)+1=2n-1(次);提高訓練1．觀察以下等式：，，，，…，這些等式反映了自然數之間的某種規(guī)律．設表示自然數，用關于的等式表示這個規(guī)律為_____________．〔萊陽市中考題〕2．以下圖案均是用長度相同的小木棒按一定規(guī)律拼搭而成：拼搭第1個圖案需4根小木棒，拼搭第2個圖案需10根小木棒，…．依此規(guī)律，拼搭第8個圖案需要小木棒_______根．〔武漢市中考題〕3．，，，那么___________．〔華杯賽試題〕4．根據如下圖的〔1〕，〔2〕，〔3〕三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第個圖中平行四邊形的個數是〔〕．A．B．C．D．(貴陽市中考題)5．多項式和的差的值與字母的取值無關，求代數式的值．6．假設代數式同時滿足條件：〔1〕含字母，；〔2〕含有關于字母，的加、減、乘、除和乘方運算；〔3〕當時，該代數式的值為．請寫出一個這樣的代數式____________________．(首屆江蘇省數學文化節(jié)根底闖關題)12．如果，那么=______．(希望杯邀請賽試題)13．，其中、、、、為常數，當，；當時，，那么的