數(shù)形結合思想在中學數(shù)學教學中的應用

數(shù)形結合思想在中學數(shù)學教學中的應用摘要：數(shù)形結合是中學數(shù)學中最重要的思想之一，它是連接數(shù)學中具體問題與抽象問題之間的紐帶，它既充分表達了學生的解題思維能力，又為后續(xù)的深入的高層次的學習打下根底。本文主要介紹了數(shù)形結合方法在中學數(shù)學教學中中滲透的原因和作用，數(shù)形結合的方法與思想在中學教學中的重要性，以及如何應用數(shù)形結合方法解決學習與生活中遇到的問題。關鍵詞：數(shù)形結合數(shù)學教學實例應用CombinationoffigureandchartinthemiddleschoolmathematicsteachingapplicationName:YanLinStudentnumber:200740510518Advisor:Fang-daCuiAbstract:Combinationoffigureandchartisoneofthemostimportantideainthemiddleschoolmathematics.Itlinksthespecificproblemsandtheabstractproblemsinmathematics.Itreflectstheabilityinsolvingproblemsandlaysthefoundationforlater,thorough,high-level'sstudy.Thisarticlemainlyintroducesthecauseandeffectofthemeansofcombinationoffigureandchart,theimportanceofcombinationoffigureandchartinthemiddleschoolmathematicsandhowtousetheideaofcombinationoffigureandcharttosolvethestudyandlife'sproblems.Keywords:CombinationoffigureandchartTeachingofMathematicsTheusingofexamples學習過數(shù)學的人都知道，數(shù)與形是數(shù)學中最根底的局部。從小學開始，我們的數(shù)學課本就充滿著數(shù)字與圖形。在平日里能夠很好地結合抽象思維與形象思維，這不僅表現(xiàn)了一個學生的數(shù)學解題能力，同時也表達了其思維的發(fā)散性與跳躍性。數(shù)形結合思想不僅開拓了我們的解題思路，而且使很多數(shù)學題目變得簡單易懂。數(shù)形結合思想在我們的數(shù)學學習生涯中占據(jù)著舉足輕重的地位,值得我們的共同探討與學習。對于廣闊學生而言，數(shù)形結合思想再熟悉不過。如何將抽象轉化為具體，如何讓原本復雜的內容變得淺顯直觀，這是數(shù)學研究中的重要內容，也是數(shù)形結合思想優(yōu)勢的表達。因此，數(shù)形結合方法成為了中學數(shù)學中最常用的方法。中學數(shù)學的內容極易區(qū)分，一局部為代數(shù)知識，另一局部那么為幾何知識。如何把這兩個局部找到一個適宜的連接點，結合起來，就是數(shù)形結合中最為關鍵的局部。在中學數(shù)學的教學中，教會學生解題，學會運用所學的數(shù)學知識在考試中取得高分，是教學目標的一局部；同時引導學生積極思考，培養(yǎng)學生發(fā)散性思維以及創(chuàng)造性思維，也是新型教學目標的表達。采用數(shù)形結合方法來解決問題，既可以開拓解題思路，幫助學生充分開發(fā)大腦智力，養(yǎng)成形象思維的習慣，也能夠在日常解題及考試中找到簡便方法，節(jié)約時間，可謂是一舉兩得。數(shù)形結合在中學數(shù)學教學中的應用2.1關于有理數(shù)有理數(shù)是中學數(shù)學中初中局部的內容，作為一種新概念的引入，數(shù)形結合的方法〔數(shù)軸〕在一定程度上幫助了學生理解負數(shù)、相反數(shù)等概念，有助于學生直觀的比擬出數(shù)的大小，為進一步的學習創(chuàng)造了有利條件。負數(shù)的概念：小于零的數(shù)稱為負數(shù)，即正數(shù)前加上負號“”，在數(shù)軸上表示為原點左邊的數(shù)。圖1相反數(shù)的概念任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,23任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,23圖2絕對值的概念任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,23.任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,23.圖32.2關于集合韋恩圖的應用圖中陰影局部表示集合與集合的交集，記為圖中陰影局部表示集合與集合的并集，記為圖中陰影局部表示集合S中子集的補集，記為圖4例1，,，且，,,求集合和．分析：由題意知，，那么和在集合中，，那么和在集合中，，那么和在集合之外，，和在集合與的公共局部中，綜上所述，如下圖,.圖5利用數(shù)軸解決集合的有關運算和集合的關系問題例2集合,,求,.分析:在數(shù)軸上表示出集合，由圖知,.圖62.3數(shù)形結合在函數(shù)、方程、不等式問題中的應用關于函數(shù)例3假設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，求的范圍。分析：為偶函數(shù)，那么其關于軸對稱，在上為增函數(shù)，那么在為減函數(shù)，，作出圖象，由圖象可知，當，.圖7例4求函數(shù)的值域。分析：分段函數(shù)，作出函數(shù)圖像，得出值域.圖8關于一元二次方程、不等式以及二次函數(shù)函數(shù)的圖象方程的解無解的解集全體實數(shù)的解集圖9例5函數(shù)，當時，，求的取值范圍。分析：(情況一)方程無根時，滿足題意，如圖10所示，此時函數(shù)完全在軸上方，即，解得.圖10圖11〔情況二〕有根，根據(jù)函數(shù)圖像11，應滿足，解得.綜上所述，的取值范圍為.關于不等式例6解不等式.分析：不等式可化簡為，作出圖像，圖12可得不等式的解集為.2.4關于三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像與性質三角函數(shù)圖象定義域值域圖13實際應用有關三角函數(shù)單調區(qū)間確實定或比擬三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理，數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。例7〔2005年上海高考題〕任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,45函數(shù)，的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，那么的取值范圍是____________.任志鴻,三年高考兩年模擬[M],學苑出版社,2006,45分析：根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質，原函數(shù)可以化簡為，作出圖像，圖14由圖可知，當時，無交點；時，有一個交點；當時，有四個交點；時，有三個交點；時無交點。所以，的取值范圍是.例8求函數(shù)的定義域.分析：要使函數(shù)有意義，必須使.方法一如下圖，圖15中，假設，那么等于或,又因為正余弦函數(shù)的周期均為,所以定義域為.方法二圖16圖16如圖為正弦線，為余弦線，當,即時，〔在內〕.所以定義域為.方法三由，可知,解得.所以定義域為.2.5關于線性規(guī)劃例9變量滿足條件，求的最大值和最小值．分析：在平面直角坐標系中作出直線，，.圖中陰影局部〔包括邊界局部)滿足題目條件。由圖象可以看出，原點不在陰影局部內，且當時，，即點在直線上。作一組平行于的直線：，，由圖知，當在的右上方時，點滿足題意，隨直線往右而變大。圖17由圖象可知，當直線經(jīng)過點時，對應的最大，當直線經(jīng)過點時，對應的最小，所以，，.例10且,求的取值范圍。分析：在平面直角坐標系中作出，,,等直線,那么圖中陰影局部(包括邊界)表示和所圍成的范圍,如下圖，原點不在陰影局部內，作直線，此直線過原點，并作假設干條平行于直線的直線：，有圖像可知，越往右移的值越大，那么在點為最小值，在點為最大值。由此可得，.故的取值范圍為.圖183綜述數(shù)形結合思想既幫助學生找到了一種更加簡便直觀的解題方法，同時也鍛煉了學生的創(chuàng)新發(fā)散思維能力。從小學開始，通過初中三年，高中又三年的鍛煉，人們對于數(shù)形結合思想的研究也在不斷加強，不斷深入。形象思維與抽象思維的緊密結合造就了數(shù)形結合思想的獨特魅力，值得我們回味。掌握好數(shù)形結合思想，必定能在今后的學習生活中獲得更好的開展與進步。主要參考文獻[1]趙振威，章士藻.中學數(shù)學教材教法[M].上海：華東師范大學出版社，1991.[2]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006,23，45.[3]衛(wèi)曉東.數(shù)學教師招聘考試一本通[M].北京：中國出版集團現(xiàn)代教育出版社，2010,182-183.[4]徐國央.數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用[J].寧波教育學院學報,2009,01.[5]楊琴.高等數(shù)學教學中應重視數(shù)形結合思想的作用[J].才智,2009,15.[6]劉雨智.淺談數(shù)形結合在解題中的應用[J].各界(科技與教育),2009,02.[7]邱春來．數(shù)形結合法的應用及誤差[J]．福建中學數(shù)學，2004，2：29－31．[8]林玉粦．用數(shù)形結合