斐波那契數(shù)列的認識

淺談對斐波那契數(shù)列的認識摘要：斐波那契數(shù)列自問世以來,不斷顯示出它在數(shù)學理論和應用上的重要作用。而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結構、生物、交通、化學等領域都有直接的應用．這個數(shù)列既是數(shù)學美的完美表達．又與許多數(shù)學概念有著密切的聯(lián)系，很多看上去似乎彼此獨立的數(shù)學概念，通過斐波那契數(shù)列，人們發(fā)現(xiàn)了其中的數(shù)學聯(lián)系．從而進一步激發(fā)了人們探索數(shù)學的興趣．對數(shù)學的認知更加系統(tǒng)化。因此對斐波那契數(shù)列的研究是一項非常重要的研究，它不僅能給各個學科帶來很好的用處，它也會對我們的生活產(chǎn)生長遠的影響，斐波那契數(shù)列的前景是不可估量的。關鍵詞：斐波那契數(shù)列應用通項一、問題提出：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？分析：我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下，并且要求兔子的正常年齡大于1歲：第一個月：小兔子沒有繁殖能力，所以還是1對;兩個月后：生下一對小兔民數(shù)共有2對;三個月后：老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是3對;四個月后：老兔子又生下一對，第二各月生的兔子也有了繁殖能力，所以也生下一隊兔子，所以共有5對；……依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)0123456789101112兔子對數(shù)1123581321345589144233表中兔子對數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……構成了一個數(shù)列。這個數(shù)列是意大利中世紀數(shù)學家斐波那契〔Fibonacci,1170—1250〕在《算盤全書》中提出的我們稱這個數(shù)列為斐波那契數(shù)列。二、斐波那契數(shù)列的通項及其遞推公式如果設為該數(shù)列的第項，那么由上面的一列數(shù)知道：數(shù)列從第三項起，任意一項都是前面兩項之和。即：顯然，這是一個線性遞推數(shù)列。因此總結有以下幾種推倒方式：方法一〔利用特征方程〕：線性遞推數(shù)列的特征方程為：解得：，那么∵∴解得：；∴□方法二〔遞推法〕：設“”由有，因此當時有：……將以上個式子相乘得：上式可化簡得：同時等式兩邊除以得：，令有：那么有：；因此所以：，所以有數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列。因此：又與聯(lián)立消去得：由，得：，又得：由，得：，綜上所述：□方法三〔黃金分割法〕：因為,是方程的兩根〔其中黃金分割比〕。得到,再左右同時乘以即得到：①②由①,②容易得到:現(xiàn)在我們令得：□其實，該數(shù)列得求解通項方法的很多種，這里只列舉其中得三種方法共讀者參考。下面我們一起研究一下該數(shù)列的一些性質。三、斐波那契數(shù)列的性質如果我們記：……，那么該數(shù)列有以下性質：性質一、性質二、性質三、性質四、性質五、性質六、性質七、性質八、[4]上面是斐波那契數(shù)列通過觀察，由通項公式得到的一些性質，下面我們著重來研究一下數(shù)列的應用。四、斐波那契數(shù)列的應用1、數(shù)列與黃金分割的關系，定理一、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，那么；其中為黃金分割比。證明：我們記：，那么有因此，我們分別討論為奇數(shù)、偶數(shù)的兩種情形，因為有符號之別；ⅰ〕當為奇數(shù)時有：所以，取，那么時有：即。這正好說明為奇數(shù)時成立，下面我們證明為偶數(shù)時。ⅱ〕當為偶數(shù)時有：所以，取，那么時有：即。綜上所述有結論成立?！踹@個結論的成立，讓我們看見斐波那契數(shù)列與這個最完美和諧的黃金數(shù)有了聯(lián)系。2、數(shù)列與高等代數(shù)得關系定理二、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，記那么有：說明：數(shù)列得初始條件和遞推關系結合起來，把它看作是一個關于的線性方程組，那么有克蘭姆法那么可以得到。[1]3、數(shù)列與排列組合的關系定理三、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，記那么有：11235813111235813111121133114641151010511615201561那么有：圖1圖1……由上面的等式可猜測：下面我們用數(shù)學歸納法證明猜測成立。當是結論顯然成立。當時結論成立。首先我們討論為偶數(shù)的時候，由遞推關系有：這正好說明，當為偶數(shù)時結論成立。同理可以證明當為奇數(shù)時結論成立。因此定理三成立。[1]□定理三告訴了我們斐波那契數(shù)列與組合數(shù)有密切的關系，并且就連起通項公式都可以用組合數(shù)表示出來，難道這還不能夠說明他們密切關系嗎？這還不算什么，更重要的是幾百年前意大利的數(shù)學家斐波那契與我國的數(shù)學家楊輝建立了密切的關系。4、斐波那契數(shù)列的前項和。定理四、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，那么數(shù)列的前項和為：證明：∵∴□以上我們從數(shù)列通項各種方法，數(shù)列通項的不同的表達式以及數(shù)列前和做了簡單的介紹，使得我們對斐波那契數(shù)列有了一定的了解，下面我們一起來看一下數(shù)列中，蘊藏著的其他有趣而有豐富的結論。五、斐波那契數(shù)列的其他有趣結論。定理五、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，那么，其中表示取距離最近得整數(shù)。定理六、假設數(shù)列為斐波那契數(shù)列，那么數(shù)列的最大立方數(shù)是定理七、在數(shù)列為斐波那契數(shù)列中，除之外，假設為素數(shù)，那么一定為素數(shù)。反之不成立。〔第一個反例是，但是〕[2]定理八、在數(shù)列為斐波那契數(shù)列中，除之外，假設為合數(shù)，那么為合數(shù)。定理九、在數(shù)列為斐波那契數(shù)列中，假設為四個連續(xù)的斐波那契數(shù)，那么有：六、斐波那契數(shù)列與現(xiàn)實生活1、登樓梯；有一段樓梯有10級臺階,規(guī)定每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾種不同的走法?這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……1，2，3，5，8，13，21，……所以，登上十級，有89種；2、一些花瓣數(shù)；〔1〕細察以下各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花?！?〕細察以下花的類似花瓣局部，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結合：3……百合和蝴蝶花5……藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8……翠雀花13…金盞草21…紫宛34，55……………雛菊3、光的反射通過面對面的玻璃板的斜光線的路線，一條不反射的光線一唯一的一條路線通過玻璃板，如果光線反射1次，有2條路線；反射2次，有3條路線，反射3次，有5條路線，依次類推，反射次，那么有條路線。4、樹木的生長如圖2，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝那么次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構成斐波那契數(shù)列。七、小結以上通過從斐波那契數(shù)列的問題提出、通項求解、性質、和一些重要的結論加以介紹，從而是我們對這個幾百年前就產(chǎn)生的兔子出生問題做了明確答復。更重要的是我們通過對她的一系列性質進行討論，明白了一個問題，我們的數(shù)學大家族是萬物相同的，而絕對不是孤立的。通過觀察了解，簡單的介紹了斐波那契數(shù)列與現(xiàn)實生活的一些聯(lián)系，其實，她與我們的生活遠遠不只是這些聯(lián)系，大家只要留心生