2024年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）硯臺(tái)與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具．如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺(tái)，它的俯視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果中正確的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．a(chǎn)5÷a3+a2＝2a23．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24．（3分）估算的結(jié)果（）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，則DF的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）尺規(guī)作圖：如圖（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．如圖（2），其中正確的有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．17．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，說在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．（3分）若一次函數(shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，則k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．49．（3分）我校“龍行數(shù)學(xué)”綜合實(shí)踐活動(dòng)小組在下表中記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個(gè)變量x與y的5組對(duì)應(yīng)值，其中x2＞x1＞﹣1，若當(dāng)0＜x≤4時(shí)，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（k≠0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，AC∥x軸，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD＝3CD，則k值為（）A．3 B．4 C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知m，n滿足，則的值為．12．（3分）如圖，電路圖上有三個(gè)開關(guān)S1，S2，S3，和兩個(gè)小燈泡L1，L2，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是．13．（3分）七巧板起源于我國先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成七巧板．我?！镑梓雸F(tuán)”數(shù)學(xué)興趣小組用邊長為8的正方形，則圖②中陰影部分的面積為．14．（3分）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1．15．（3分）在銳角△ABC中，AD，BE分別為△ABC的中線和角平分線，且AD⊥BE，則＝．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．（6分）計(jì)算：．17．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2024．18．（8分）開學(xué)初，為評(píng)估九年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)情，并采取有針對(duì)性的教與學(xué)，我校抽取了九下部分學(xué)生的適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（1）這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？（2）求樣本中成績類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若我校九年級(jí)共有1800人參加了這次考試，請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到優(yōu)秀？19．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若直徑AD＝10，cosB＝，求FD的長．20．（8分）“道路千萬條，安全第一條”．公安交警部門提配市民，騎行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的法規(guī)．某安全頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔1月份到3月份的銷量，3月份銷售720個(gè)，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，并且盡可能讓市民得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21．（9分）綜合與應(yīng)用為促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學(xué)在“大課間”開展“集體跳繩”運(yùn)動(dòng)．跳繩時(shí)2+bx+c的部分圖象．以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時(shí)兩人手離地面均為米，在距離搖繩者A的水平距離1.5米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂．【閱讀理解】（1）求圖中拋物線的解析式；（不需要求自變量取值范圍）【問題解決】（2）體育龍老師身高1.82米，請(qǐng)問他適合參加本次運(yùn)動(dòng)嗎？說明理由；（3）若多人進(jìn)入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米22．（10分）綜合與探究【問題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．11．如圖（1），點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（1）在圖（1）中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）小明是這樣做的：如圖（2），過點(diǎn)C畫BA的平行線l，△l上取CE＝BD，則△ACE即為旋轉(zhuǎn)后的圖形，你能說說小明這樣做的道理嗎？12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，DE分別是底邊，圖中的哪兩個(gè)三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．【類比探究】（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，BC上的點(diǎn)，且DE＝1．連接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點(diǎn)，連接BD并取BD的中點(diǎn)M，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，請(qǐng)直接寫出BC的長．

2024年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）硯臺(tái)與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具．如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺(tái)，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上邊看，可得如圖：．故選：C．2．（3分）下列運(yùn)算結(jié)果中正確的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．a(chǎn)5÷a3+a2＝2a2【解答】解：A.＝|a|；B．（﹣2a4）3＝﹣8a4，故B選項(xiàng)不符合題意；C．a(chǎn)2?a3＝a7，故C選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)5÷a3+a7＝2a2，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝2可得：m2﹣m﹣1＝8，即m2﹣m＝1；故選：A．4．（3分）估算的結(jié)果（）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間【解答】解：原式＝×4＝5＝，∵＜＜，∴9＜＜10，即7＜×＜10，故選：D．5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，則DF的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝2，BC＝3，∴＝，解得：DE＝6，∴DF＝DE+EF＝4+6＝10，故選：C．6．（3分）尺規(guī)作圖：如圖（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．如圖（2），其中正確的有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①由作圖不能得出BP⊥AC，故①作法不正確；②由作圖得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正確；③由作圖知P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∴∠PBC＝∠C＝45°，故③作法正確；④由作圖得：P在以AB為直徑的圓上，∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，∴∠PBC＝45°，故④作法正確；故選：B．7．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，說在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【解答】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：＝．解得x＝4．即蠟燭火焰的高度是6cm．故選：B．8．（3分）若一次函數(shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，則k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以方程無解，原方程可整理為x2+kx﹣k＝0，則k6﹣4×1×（﹣k）＜6，解得﹣4＜k＜0，所以四個(gè)選項(xiàng)中的選項(xiàng)符合題意．故選：B．9．（3分）我?！褒埿袛?shù)學(xué)”綜合實(shí)踐活動(dòng)小組在下表中記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個(gè)變量x與y的5組對(duì)應(yīng)值，其中x2＞x1＞﹣1，若當(dāng)0＜x≤4時(shí)，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．【解答】解：由表中信息可知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，m）和（5，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，∴﹣＝1，∴b＝﹣5a．根據(jù)表中信息，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，∴a﹣b﹣2＝8，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；∵yy＝x2﹣x﹣2＝2﹣，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣），拋物線的開口方向向上，﹣2），﹣2），∴當(dāng)x＝5時(shí)，y由最小值﹣，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣2，y＝﹣2；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，如圖：∵當(dāng)0＜x≤6時(shí)，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴﹣＜k＜﹣8．故選：C．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（k≠0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，AC∥x軸，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD＝3CD，則k值為（）A．3 B．4 C． D．【解答】解：延長BD交x軸于點(diǎn)E，作BG⊥y軸于點(diǎn)G，則四邊形OCAF、ADEF，∴BG＝CD，AF＝DE，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），BE＝n，∵AC＝AB＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，∵BD＝4CD＝3m，∴AF＝DE＝n﹣3m，在Rt△ABD中，BD6+AD2＝AB2，∴（4m）2+（5﹣m）4＝52，解得m5＝1，m2＝5（舍去），∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，∴B（6，n），n﹣3），∵點(diǎn)B（1，n），n﹣3）在反比例函數(shù)圖象上，∴n＝5（n﹣3），解得n＝，∴k＝＝．故選：D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知m，n滿足，則的值為．【解答】解：∵，∴3m＝2（m+n），3m＝5m+2n，3m﹣4m＝2n，m＝2n，∴＝＝，故答案為：．12．（3分）如圖，電路圖上有三個(gè)開關(guān)S1，S2，S3，和兩個(gè)小燈泡L1，L2，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為3，∴能讓燈泡L2發(fā)光的概率為：＝，故答案為：．13．（3分）七巧板起源于我國先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成七巧板．我?！镑梓雸F(tuán)”數(shù)學(xué)興趣小組用邊長為8的正方形，則圖②中陰影部分的面積為24．【解答】解：由圖形可知：陰影部分是由大正方形中1，2，8，4，這四部分組成的，∴陰影部分的面積等于大正方形的面積減去兩個(gè)大等腰直角三角形的面積，再減去中等的等腰直角三角形的面積，即：陰影部分的面積＝；故答案為：24．14．（3分）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為18．【解答】解：如圖所示：由題意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∴△EFH∽△EBP，∴，∴，解得PB＝6，∴BC＝PB+CP＝6+8＝8．故答案為：8．15．（3分）在銳角△ABC中，AD，BE分別為△ABC的中線和角平分線，且AD⊥BE，則＝．【解答】解：過D作DF∥BE，交AC于點(diǎn)F，，∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，即CD＝BD＝，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠CEB，∠CDF＝∠CBE，∴△CFD∽△CEB，∴＝＝，∴CF＝EF，∵AD⊥BE，DF∥BE，∴FD⊥AD，即∠ADF＝90°，∵BE＝AD，∴AD＝2FD，設(shè)FD＝x，則AD＝5x，由勾股定理得，AF＝＝x，∵BE為△ABC的角平分線，∴∠ABM＝∠DBM，∵AD⊥BE，∴∠DMB＝∠AMB＝90°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM，即AM＝，AB＝BD，∵DF∥BE，∴∠AEM＝∠AFD，∠AME＝∠ADF，∴△AEM∽△AFD，∴＝，∴AE＝EF，EM＝xx，AM＝，由勾股定理得AB＝＝x，∴BD＝AB＝x，∴BC＝5BD＝x，∵CF＝EF，∴AC＝＝x，∴＝＝，故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．（6分）計(jì)算：．【解答】解：＝7﹣1+2﹣＝3﹣．17．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2024．【解答】解：＝?＝?＝﹣＝，當(dāng)x＝2024時(shí)，原式＝＝．18．（8分）開學(xué)初，為評(píng)估九年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)情，并采取有針對(duì)性的教與學(xué)，我校抽取了九下部分學(xué)生的適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（1）這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？（2）求樣本中成績類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若我校九年級(jí)共有1800人參加了這次考試，請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到優(yōu)秀？【解答】解：（1）22÷44%＝50（名），答：這次調(diào)查中，一共抽取了50名學(xué)生；（2）50×20%＝10（人），∴樣本中表示成績類別為“中”的人數(shù)有10人；補(bǔ)全圖形如下：（3）1800×＝360（名），答：估計(jì)該校九年級(jí)共有360名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到優(yōu)秀．19．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若直徑AD＝10，cosB＝，求FD的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×＝5，∴AC＝＝5，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，設(shè)FD＝3x，則FC＝7x，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）7＝3x（3x+10），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．20．（8分）“道路千萬條，安全第一條”．公安交警部門提配市民，騎行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的法規(guī)．某安全頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔1月份到3月份的銷量，3月份銷售720個(gè)，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，并且盡可能讓市民得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意得：500（1+x）2＝720，解得：x5＝0.2＝20%，x5＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/個(gè)，則每個(gè)的銷售利潤為（y﹣30）元，根據(jù)題意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y4﹣130y+4000＝0，解得：y1＝50，y8＝80，又∵要盡可能讓市民得到實(shí)惠，∴y＝50．答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)．21．（9分）綜合與應(yīng)用為促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學(xué)在“大課間”開展“集體跳繩”運(yùn)動(dòng)．跳繩時(shí)2+bx+c的部分圖象．以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時(shí)兩人手離地面均為米，在距離搖繩者A的水平距離1.5米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂．【閱讀理解】（1）求圖中拋物線的解析式；（不需要求自變量取值范圍）【問題解決】（2）體育龍老師身高1.82米，請(qǐng)問他適合參加本次運(yùn)動(dòng)嗎？說明理由；（3）若多人進(jìn)入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米【解答】解：（1）∵搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時(shí)兩人手離地面均為米，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝6．由題意得：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，），（4.5．∴．解得：．∴圖中拋物線的解析式為：y＝﹣8.1x2+4.6x+0.3；（2）∵﹣0.1＜6，∴二次函數(shù)有最大值＝＝＝5.8．∵1.4m＜1.82m，∴他不適合參加本次運(yùn)動(dòng)；（3）當(dāng)y＝1.3時(shí)．﹣0.1x5+0.6x+8.9＝1.5．0.1x4﹣0.6x+2.8＝0．x2﹣6x+8＝3．（x﹣2）（x﹣4）＝6．∴x1＝2，x8＝4．∴4﹣6＝2（米）．∵相鄰兩人之間間距至少為0.2米，∴間距個(gè)數(shù)為：2÷0.3＝3．∴最多可供4人齊跳．答：最多可供4人齊跳．22．（10分）綜合與探究【問題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．11．如圖（1），點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（1）在圖（1）中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）小明是這樣做的：如圖（2），過點(diǎn)C畫BA的平行線l，△l上取CE＝BD，則△ACE即為旋轉(zhuǎn)后的圖形，你能說說小明這樣做的道理嗎？12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，DE分別是底邊，圖中的哪兩個(gè)三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．【類比探究】（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，BC上的點(diǎn)，且DE＝1．連接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點(diǎn)，連接BD并取BD的中點(diǎn)M，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，請(qǐng)直接寫出BC的長．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：將△ADE繞點(diǎn)