中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題11 解直角三角形題型歸納（含答案與解析全國通用）

第第頁專題11解直角三角形題型歸納1．如圖是某小區(qū)地下停車場入口處欄桿的示意圖，、分別表示地面和墻壁的位置，表示垂直于地面的欄桿立柱，、是兩段式欄桿，其中段可繞點O旋轉(zhuǎn)，段可繞點A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時，段與豎直方向夾角為．已知立柱寬度為，點O在立柱的正中間，，，．(1)求欄桿打開時，點A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過該入口時，車身與墻壁間需至少保留的安全距離，問一輛最寬處為，最高處為的貨車能否安全通過該入口？（本小題中取）【答案】(1)點A到地面的距離為(2)貨車不能安全通過該入口【分析】（1）過點作,垂足為點，利用三角函數(shù)求得，的長度即為點A到地面的距離；（2）作,交于點,使，利用三角函數(shù)求出，，在高度正好的情況下，求得貨車靠墻行駛需要寬度超過了的長度，說明不能安全通過．【詳解】（1）解：如圖，過點作,垂足為點則點A到地面的距離為（2）解：如圖，作,交于點,使若貨車靠墻行駛需要寬度為則貨車不能安全通過該入口.【我思故我在】本題考查了與解直角三角形相關(guān)的應(yīng)用題，掌握三角函數(shù)并能解決實際問題是解題關(guān)鍵．2．如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)點B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據(jù)山坡AB的坡度為i=1：3，可設(shè)BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進行計算即可解答；（2）過點B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，最后進行計算即可解答．【詳解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設(shè)BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過點B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直量得胳膊，槍柄與槍身之間的夾角為120°（即），肘關(guān)節(jié)與槍身端點之間的水平寬度為25.3cm（即的長度），槍身．(1)求的長；(2)測溫時規(guī)定槍身端點與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得，小紅與測溫員之間距離為50cm問此時槍身端點與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)；(2)在規(guī)定范圍內(nèi)，理由見詳解．【分析】（1）過點作于點，在RtBMH中，利用含30°直角三角形三邊關(guān)系，即可解答；（2）延長交于點，，在RtNMI中，利用三角函數(shù)的定義即可求出的長，比較即可判斷．（1）解：過點作于點，由題可知四邊形為矩形，如下圖：∴，∵cm，，∴，在RtBMH中，，∴；（2）解：延長交于點，由題意的：，∵，由（1）可知，∴，又，∴在RtNMI中，，∴∵小紅與測溫員之間距離為50cm，∴，∵，∴此時槍身端點與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線和熟記銳角三角函數(shù)的定義．4．小明利用剛學(xué)過的測量知識來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示.于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器CD，測得；再在BD的延長線上確定一點G，使米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當(dāng)移動到點F時，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得米，小明眼睛與地面的距離米，測量器的高度米.已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計）【答案】【分析】過點作于點，則，，解，得出，那么，再證明，因此得出，再求出即可.【詳解】如圖，過點作于點，則，，在中，，∴，∴，∵，，∴由反射角等于入射角得,∴,∴，即，解得∴∴這棵樹高18米.【我思故我在】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.5．廣場上有一個充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30度、45度，E點與F點的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請問此氣球有多高？（結(jié)果保留到0.1米）．【答案】此氣球有9.7米高【分析】由于氣球的高度為PA+AB+FD，而AB=1米，F(xiàn)D=0.5米，可設(shè)AP=h，根據(jù)題意列出關(guān)于h的方程即可解答．【詳解】解：設(shè)AP=h，∵PFB=45°，∴BF=PB=h+1，∴EA=h+6，在RtPEA中，PA=AEtan30°，∴h=(h+6)tan30°，∴，∴h=≈8.2米，∴氣球的高度為PA+AB+FD=9.7米．【我思故我在】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的運用三角函數(shù)知識解答．6．綜合與實踐小明為自己家設(shè)計了一個在水平方向可以伸縮的遮陽蓬，如圖所示，已知太原地區(qū)在夏至日的正午太陽高度角（即正午太陽光線與地平面的夾角）為，冬至日的正午太陽高度角為，小明家的玻璃窗戶高為，在點上方的處安裝與墻垂直的寬為的遮陽蓬，并且該遮陽蓬可伸縮（可變化）；為了保證在夏至日正午太陽光不射到屋內(nèi)，冬至日正午整塊玻璃都能受到太陽光照射，求可伸縮的遮陽蓬寬度的范圍．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】夏至日正午時，通過解，求出的最大值；冬至日正午時，通過解，求出的最小值；【詳解】解：夏至日時，在中，，

冬至日時，在中，，所以，可伸縮的長度的范圍是【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為千米，燈塔B到航線l的距離為千米，燈塔B位于燈塔A南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點C（在航線l上）處．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求兩個燈塔A和B之間的距離；(2)求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小時【分析】（1）根據(jù)題意利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出，即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)值求出CN的長，進而可以求該輪船航行的速度．（1）解：由題意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：兩個燈塔A和B之間的距離為14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由題意，得∴，∴，∴，設(shè)該輪船航行的速度是V千米/小時，由題意，得，∴（千米/小時），答：該輪船航行的速度是40.7千米/小時．8．風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機利用風(fēng)能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度．如圖，王芳站在點測得點與塔底點的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點的仰角，請根據(jù)測量結(jié)果幫他們計算：(1)斜坡頂點B到CD所在直線的距離；(2)風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根據(jù)解直角三角形進行求解即可；（2）根據(jù)求解即可．（1）解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．9．小明和小亮利用數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校操場邊升旗臺上的旗桿高度．如圖，旗桿立在水平的升旗臺上，兩人測得旗桿底端到升旗臺邊沿的距離為，升旗臺的臺階所在的斜坡長為，坡角為，小明又測得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面上的部分的長為，同一時刻，小亮測得長的標(biāo)桿直立于水平地面時的影子長為請你幫小明和小亮求出旗桿的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】旗桿的高度約為【分析】延長交于，過作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，解直角三角形得，根據(jù)同一時刻，物高和影長成正比，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長交于，過作于，則四邊形是矩形，，，，，，，，，同一時刻，物高和影長成正比，，，，，答：旗桿的高度約為．【我思故我在】本題考查了解直角三角形—坡度坡角問題、平行投影和矩形的性質(zhì)，熟練掌握同一時刻，物高和影長成正比是解決本題的關(guān)鍵．10．某項目學(xué)習(xí)小組用測傾儀、皮尺測量小山的高度，他們設(shè)計了如下方案（如圖）：①在點A處安置測傾儀，測得小山頂M的仰角的度數(shù)；②在點A與小山之間的B處安置測傾儀，測得小山頂M的仰角的度數(shù)（點A，B與N在同一水平直線上）；③量出測點A，B之間的距離．已知測傾儀的高度米，為減小誤差，他們按方案測量了兩次，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）：測量項目第一次第二次平均值的度數(shù)（度）的度數(shù)A，B之間的距離150.2米149.8米150米(1)寫出的度數(shù)的平均值．(2)根據(jù)表中的平均值，求小山的高度．（參考數(shù)據(jù)：）(3)該小組沒有利用物體在陽光下的影子來測量小山的高度，你認為原因可能是什么？（寫出一條即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子長度無法測量【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式，用兩次測量得的的度數(shù)和除以2即可求解；（2）在Rt△MDE中，利用仰角∠MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt△MCE中，利用仰角∠MCE的正切值，可得ME=CEtan∠MCE，進而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四邊形CANE、四邊形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根據(jù)小山的影子長度無法測量解答即可．（1）解∶的度數(shù)的平均值=，答：的度數(shù)的平均值為22°；（2）解：在Rt△MDE中，∵∠MDE=45°，∴∠DME=∠MDE=45°，∴ME=DE，在Rt△MCE中，∵，∴ME=CEtan∠MCE，由題意知四邊形CANE、四邊形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，∴，∴ME=100(米)，∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度約為101.5米．（3）答：因為利用物體在陽光下的影子來測量小山的高度，由于小山的內(nèi)部無法到達，則小山的影子長度無法測量，所以沒有用物體在陽光下的影子來測量小山的高度的原因是小山的影子長度無法測量．【我思故我在】本題考查仰角，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．11．小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架(如圖①)，圖②是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB，CD相交于點O，B，D兩點立于地面，經(jīng)測量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF＝32cm(參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求證：AC∥BD．(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)．(3)小紅的連衣裙穿在曬衣架上的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．【答案】（1）見解析；（2）61.9°；（3）會拖落到地面．【詳解】試題解析（1）證明：證法一：相交于點，同理可證：

證法二：∴又（2）解：在中，作于點，則用計算器求得（3）解法一：小紅的連衣裙會拖落到地面；在中，過點作于點，同可證：則∴所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度大于曬衣架的高度解法二：小紅的連衣裙會拖落到地面.同可證：過點作于點，在中所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度大于曬衣架的高度12．開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進15m到達B處，又測得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測角儀的高度為1.5m，測量點A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】拂云閣DC的高度約為32m【分析】延長交于點，則四邊形是矩形，則，，在，中，分別表示出，根據(jù)，建立方程，解方程求解可得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，延長交于點，則四邊形是矩形，則，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云閣DC的高度約為32m．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為測量某建筑物的高度，小剛采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的C點出發(fā)，沿斜坡行走米至坡頂D處，再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至E點處，在E點測得該建筑物頂端A的仰角為，建筑物底端B的俯角為，點在同一平面內(nèi)，斜坡CD的坡度．請根據(jù)小剛的測量數(shù)據(jù)，計算出建筑物AB的高度．（結(jié)果要求精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】建筑物的高度約為米【分析】過點作，垂足為，延長交于點，則，根據(jù)斜坡的坡度，可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，延長交于點，則，∵斜坡的坡度，設(shè)，則，在中，，，∴解得，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴建筑物的高度約為米．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰