中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《直角三角形》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《直角三角形》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)（考試時(shí)間：90分鐘；試卷滿分：100分）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1.了解直角三角形的概念；2.證明并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余(無需證明)；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；考點(diǎn)1：直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形性質(zhì)1.兩銳角之和等于90°2.斜邊上的中線等于斜邊的一半3.30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°（應(yīng)用時(shí)需先證明）勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b,斜邊為c,則判定1.有一個(gè)角為90°的三角形時(shí)直角三角形2.有兩個(gè)角的和時(shí)90°的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c若滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形。面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高考點(diǎn)2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.（3）勾股數(shù)：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【題型1：直角三角形的性質(zhì)與判定】【典例1】（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°1．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023?貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【題型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是尺．1．（2023?天津）如圖，在△ABC中分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BC，AC相交于點(diǎn)D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．7 D．62．（2023?東營(yíng)）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．3．（2023?安徽）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當(dāng)AB＝7，BC＝6，AC＝5時(shí)，CD＝．4．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計(jì)）【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】【典例3】（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b與c的關(guān)系為，a與d的關(guān)系為．1．（2022?湘潭）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．2．（2022?永州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．一．選擇題（共7小題）1．在Rt△ABC中若一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，沿CD折疊，使A點(diǎn)落在BC邊上的E點(diǎn)，若∠B＝26°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．52° B．71° C．72° D．81°3．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝15°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，則AD長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．84．以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．55．下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的是（）A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，416．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD7．如圖所示，已知在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°二．填空題（共6小題）8．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝°．9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了這樣一個(gè)有趣的問題：“有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端剛好達(dá)到岸邊的水面”，則水池的深度為尺．10．如圖△ABC中∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，則∠D＝．11．如圖，在一個(gè)三角形的紙片（△ABC）中∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數(shù)為°．12．如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝cm．13．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長(zhǎng)為．三．解答題（共4小題）14．如圖，在△ABC中D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且DE＝DF．求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．15．如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）請(qǐng)求圖中陰影部分的面積．16．如圖1，蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度？17．一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，將△ABD沿線段BD翻折，使得點(diǎn)A落在A'處，若∠A'BC＝20°，則∠CBD＝（）A．5° B．10° C．15° D．20°2．如圖，Rt△ABC中∠C＝90°，∠ABC＝60°，以頂點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心、以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若AC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．無法確定3．如圖，△ABC中∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動(dòng)，連接PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)4．如圖，線段OP＝1，過點(diǎn)P作PP1⊥OP且PP1＝1，連結(jié)OP1；過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，連結(jié)OP2；過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，連結(jié)OP3，則OP3的長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．25．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC，∠ACB＝90°，分別以三邊為直徑向上作三個(gè)半圓．若AB＝5，AC＝4，則陰影部分圖形的面積為．7．如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪ABCD上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊．已知AD＝12米，AB＝8米，該木塊的較長(zhǎng)邊與AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是米．如圖①，四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形，恰好拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖形是由我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結(jié)圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長(zhǎng)為cm．三．解答題（共4小題）9．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？10．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點(diǎn)B在直線CD上，分別過點(diǎn)A、E作AC⊥直線CD于點(diǎn)C，ED⊥直線CD于點(diǎn)D．（1）求證：CD＝AC+ED．（2）若設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．11．如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．12．今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登陸我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm2．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD＝2，則BC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．43．（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌慈鐖D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，44．（2022?陜西）如圖，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒．若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（）A． B．2 C． D．35．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC＝．6．（2023?郴州）如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求CM＝．7．（2023?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，2），連接AB，以點(diǎn)A為圓心、AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是．8．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點(diǎn)，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝．9．（2023?揚(yáng)州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為．10．（2021?杭州）如圖，在△ABC中∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．參考答案與解析1.了解直角三角形的概念；2.證明并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余(無需證明)；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；考點(diǎn)1：直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形性質(zhì)1.兩銳角之和等于90°2.斜邊上的中線等于斜邊的一半3.30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°（應(yīng)用時(shí)需先證明）勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b,斜邊為c,則判定1.有一個(gè)角為90°的三角形時(shí)直角三角形2.有兩個(gè)角的和時(shí)90°的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c若滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形。面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高考點(diǎn)2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.（3）勾股數(shù)：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【題型1：直角三角形的性質(zhì)與判定】【典例1】（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°∴∠C＝∠CBF＝30°∵∠ABC＝90°∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°故選：C．1．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中∠CDE＝90°，∠DCE＝40°則∠CED＝90°﹣40°＝50°∵l∥AB∴∠1＝∠CED＝50°故選：C．2．（2023?貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D在△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°又∵AD⊥BC∴AD＝AB＝12＝6（m）故選：B【題型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：設(shè)門對(duì)角線的長(zhǎng)為x尺，則門高為（x﹣2）尺，門寬為（x﹣4）尺根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝1010﹣2＝8（尺）10﹣4＝6（尺）．答：門高8尺，門寬6尺，對(duì)角線長(zhǎng)10尺．故答案為：8，6，10．1．（2023?天津）如圖，在△ABC中分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BC，AC相交于點(diǎn)D，E，連接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【解答】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線∴AC＝2AE＝8，DA＝DC∴∠DAC＝∠C∵BD＝CD∴BD＝AD∴∠B＝∠BAD∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°∴2∠BAD+2∠DAC＝180°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠BAC＝90°在Rt△ABC中BC＝BD+CD＝2AD＝10∴AB＝＝＝6故選：D．2．（2023?東營(yíng)）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為50km．【答案】50．【解答】解：如圖：由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF∴∠DAB＝∠ABE＝60°∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°在Rt△ABC中AB＝30km，BC＝40kmAC＝＝＝50（km）∴A，C兩港之間的距離為50km故答案為：503．（2023?安徽）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當(dāng)AB＝7，BC＝6，AC＝5時(shí)，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5∴BD＝（6+）＝5∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1故答案為：1．4．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為10cm．（杯壁厚度不計(jì)）【答案】10．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′連接B′A，則B′A即為最短距離B′A＝＝＝10（cm）．故答案為：10．【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】【典例3】（2020?隨州）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b與c的關(guān)系為b＝c，a與d的關(guān)系為a+d＝m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）②證明：在圖1中大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．在圖2中大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+ab×4化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．在圖3中梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．（2）①三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)；故答案為3；②結(jié)論：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b與c的關(guān)系為b＝c，a與d的關(guān)系為a+d＝m．故答案為：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022?湘潭）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（）A．2 B． C． D．【答案】A【解答】解：由已知可得大正方形的面積為1×4+1＝5設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b則a2+b2＝5，a﹣b＝1解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合題意，舍去）∴tanα＝＝＝2故選：A．2．（2022?永州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1根據(jù)題意，設(shè)AF＝DE＝CH＝BG＝x則AE＝x﹣1在Rt△AED中AE2+ED2＝AD2∴（x﹣1）2+x2＝52解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去）∴x﹣1＝3故答案為：3．一．選擇題（共7小題）1．在Rt△ABC中若一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中一個(gè)銳角等于40°∴另一個(gè)銳角的度數(shù)＝90°﹣40°＝50°．故選：C．2．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，沿CD折疊，使A點(diǎn)落在BC邊上的E點(diǎn)，若∠B＝26°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．52° B．71° C．72° D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°∴∠A＝90°﹣26°＝64°根據(jù)折疊，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°∴∠CDE＝∠ADC＝71°故選：B．3．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝15°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，則AD長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°∴BD＝2BC＝4∵∠A＝15°∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°∴∠A＝∠ABD＝15°∴AD＝BD＝4故選：A．4．以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．5【答案】B【解答】解：以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)＝＝故選：B．5．下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的是（）A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、0.32+0.42＝0.52，能構(gòu)成直角三角形，但不是整數(shù)，故不符合題意；D、92+402＝412，能構(gòu)成直角三角形，且9，40，41是正整數(shù)，故符合題意．故選：D．6．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD∴∠ABD＝∠CDB＝90°A．AD＝CB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項(xiàng)符合題意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理AAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合兩直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理SAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．7．如圖所示，已知在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，且AE＝AE∴△CAE≌△DAE（HL）∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故選：B．二．填空題（共6小題）8．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點(diǎn)，則∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝40°∴∠B＝50°．∵D為線段AB的中點(diǎn)∴CD＝BD∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案為：50．9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了這樣一個(gè)有趣的問題：“有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果將這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端剛好達(dá)到岸邊的水面”，則水池的深度為12尺．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2解得：x＝12答：水的深度是12尺．故答案為：12．10．如圖△ABC中∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，則∠D＝40°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠FCD＝75°∴∠A+∠B＝75°∵∠A：∠B＝1：2∴∠A＝×75°＝25°∵DE⊥AB于E∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°∴∠CFD＝∠AFE＝65°∵∠FCD＝75°∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案為：40°11．如圖，在一個(gè)三角形的紙片（△ABC）中∠C＝90°，則圖中∠1+∠2的度數(shù)為270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°∴∠A+∠B＝90°∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°故答案為：270．12．如圖，在Rt△ACB中∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面積為9∴AC2＝9在Rt△ABC中由勾股定理得AB＝＝＝5（cm）故答案為：5．13．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長(zhǎng)為5．【答案】5．【解答】解：延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)E∵∠A＝∠ABD∴BE＝AE∵BD⊥CD∴BE⊥CD∵CD平分∠ACB∴∠BCD＝∠ECD∴∠EBC＝∠BEC∴BC＝CE∵BE⊥CD∴2BD＝BE∵BD＝1，BC＝3∴CE＝3∴AE＝BE＝2∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案為：5．三．解答題（共4小題）14．如圖，在△ABC中D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且DE＝DF．求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．【答案】見解析．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB＝∠DFC＝90°∵D是BC的中點(diǎn)∴BD＝CD在Rt△BDE與Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）請(qǐng)求圖中陰影部分的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵在Rt△ADC中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100∴AC＝10（取正值）．在△ABC中∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC為直角三角形；（2）解：S陰影＝SRt△ABC﹣SRt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如圖1，蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度？【答案】10m．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°在Rt△ACB中由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2設(shè)繩索AD的長(zhǎng)度為xm，則AC＝（x﹣2）m∴x2＝62+（x﹣2）2解得：x＝10答：繩索AD的長(zhǎng)度是10m．17．一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：梯子距離地面的高度為：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）根據(jù)勾股定理得：25＝解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．一．選擇題（共5小題）1．如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，將△ABD沿線段BD翻折，使得點(diǎn)A落在A'處，若∠A'BC＝20°，則∠CBD＝（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】D【解答】解：由折疊得∠ABD＝∠A'BD∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°∴∠ABC＝60°∵∠A'BC＝20°∴∠ABA'＝80°∴∠ABD＝∠A'BD＝40°∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°故選：D．2．如圖，Rt△ABC中∠C＝90°，∠ABC＝60°，以頂點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心、以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若AC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．3 B．2 C．1 D．無法確定【答案】B【解答】解：由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC∵∠C＝90°，∠ABC＝60°∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°∴AB＝2BC，而AC＝6∴（2BC）2﹣BC2＝62解得：BC2＝12同理可得：BG＝2GC∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12∴GC＝2當(dāng)GP⊥AB時(shí)，GP最短，此時(shí)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得GP＝GC＝2故選：B．3．如圖，△ABC中∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動(dòng)，連接PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解答】解：如圖所示：以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P4，P2以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P1，P3邊AC和BC的垂直平分線都交于點(diǎn)P3位置因此出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有4個(gè)故選：C．4．如圖，線段OP＝1，過點(diǎn)P作PP1⊥OP且PP1＝1，連結(jié)OP1；過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，連結(jié)OP2；過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，連結(jié)OP3，則OP3的長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2＝+＝3OP3＝＝2．故選：D．5．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，設(shè)Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a∵△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6∵c2＝a2+b2∴S1+S3＝S2+S4故選：C．二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC，∠ACB＝90°，分別以三邊為直徑向上作三個(gè)半圓．若AB＝5，AC＝4，則陰影部分圖形的面積為6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3∴S△ABC＝BC?AC＝×3×4＝6設(shè)以BC為直徑的半圓的面積為S1，以AB為直徑的半圓的面積為S3，以AC為直徑的半圓的面積為S2∵S1＝π?（BC）2＝BC2，S2＝π?（AC）2＝AC2，S3＝π?（AB）2＝AB2∴S陰影＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6故答案為：6．7．如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪ABCD上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊．已知AD＝12米，AB＝8米，該木塊的較長(zhǎng)邊與AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是2米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：把立體圖形展開為平面圖形得：展開后AB方向上線段長(zhǎng)度變長(zhǎng)，長(zhǎng)度為AB+1+1＝8+2＝10米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC∴AC＝＝2（米）故答案為：2．8．如圖①，四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形，恰好拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖形是由我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結(jié)圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長(zhǎng)為32cm．【答案】32．【解答】解：由題意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm∴BC＝7﹣3＝4（cm）由勾股定理得：AC＝＝5（cm）∴陰影的周長(zhǎng)＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案為：32．三．解答題（共4小題）9．如圖，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中∵∠C＝90°，∠A＝30°∴∠B＝60°．∵4÷2＝2∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當(dāng)BP＝BQ時(shí)，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴．當(dāng)時(shí)，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ即4﹣2t＝2t∴t＝1．②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP即t＝2（4﹣2t）∴．即當(dāng)或t＝1時(shí)，△PBQ為直角三角形．10．如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點(diǎn)B在直線CD上，分別過點(diǎn)A、E作AC⊥直線CD于點(diǎn)C，ED⊥直線CD于點(diǎn)D．（1）求證：CD＝AC+ED．（2）若設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°∠ABC+∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠EBD∵△ABE是等腰直角三角形∴AB＝BE在△ABC與△BED中∴△ABC≌△BED（AAS）∴BC＝DE，BD＝AC∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b∴S梯形ACDE＝又∵S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE＝ab++＝ab+∴∴a2+b2＝c2．11．如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B∴∠A＝∠B＝90°∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2∴AE2+AD2＝BE2+BC2設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）∵DA＝15km，CB＝10km∴x2+152＝（25﹣x）2+102解得：x＝10∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB∠DEA+∠D＝90°∴∠DEA+∠CEB＝90°∴∠DEC＝90°即△DEC是直角三角形．12．今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登陸我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解答過程；（2）臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．【解答】解：（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；過點(diǎn)C作CD⊥AB于D∵△ABC是直角三角形∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝240（km）∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響；（2）當(dāng)EC＝260km，F(xiàn)C＝260km時(shí)，正好影響C港口∵ED＝（km）∴EF＝2ED＝200km∵臺(tái)風(fēng)的速度為28千米/小時(shí)∴200÷28＝（小時(shí)）．答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由圖可得∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)∴CD＝AB＝3cm故選：B．2．（2022?永州）如圖，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，∠C＝60°，