微積分（第三版）課件：函數(shù)的極限（分析定義）

極限與連續(xù)

函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此可理解為一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限對(duì)比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的幾種形式函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個(gè)常數(shù).若當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近常數(shù)A,則稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.記為定義

極限定義的幾何意義：對(duì)任意給定的正數(shù)，在直線(xiàn)的上、下方各作一直線(xiàn)，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線(xiàn)之間.xyO5例

證明證明所以對(duì)于任意給定，由于即取則當(dāng)有類(lèi)似的可以定義極限定理設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無(wú)限增大時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近常數(shù)A,則稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無(wú)限減小時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近常數(shù)A,則稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當(dāng)（或）時(shí)，（C

為常數(shù)），即，則稱(chēng)曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn).例由知為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn).二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時(shí)的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當(dāng)自變量

時(shí)的變化趨勢(shì).2.52.12.011.991.91.5f

(x)1.51.11.010.990.90.5x函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時(shí),再考察函數(shù)當(dāng)自變量

的變化趨勢(shì).仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時(shí),上述兩例說(shuō)明：處沒(méi)有定義.處有定義.而當(dāng)時(shí)，都有相同的變化趨勢(shì).通常稱(chēng)當(dāng)存在極限值2.

定義對(duì)于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無(wú)定義）若在的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于確定的數(shù)值A(chǔ),則稱(chēng)A

是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.記為說(shuō)明：由定義知極限與函數(shù)在點(diǎn)的狀況（是否有定義;或有定義時(shí),是否等于A）是無(wú)關(guān)的.xy12函數(shù)極限定義的精確化定義函數(shù)極限定義可以簡(jiǎn)述為14

極限定義的幾何意義：對(duì)任意給定的正數(shù)，在直線(xiàn)的上、下方各作一直線(xiàn)，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線(xiàn)之間.xyxy15例

證明證明所以對(duì)于任意給定，當(dāng)時(shí)，為使即取則當(dāng)時(shí)，有由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(cè)(從小于的一側(cè)或從大于的一側(cè))趨近于時(shí)f(x)的變化趨勢(shì),則有左極限和右極限的概念.類(lèi)似可定義左極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義，A為常數(shù).若當(dāng)x從的右側(cè)(大于的一側(cè))趨近于時(shí),f(x)無(wú)限趨近常數(shù)A,則稱(chēng)f(x)在處的右極限為A.記為三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.根據(jù)時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否存在極限通常用此定理進(jìn)行討論.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處的左