微積分（第三版）課件：函數(shù)的極限（分析定義）

極限與連續(xù)

函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、單側極限四、函數(shù)極限的性質在此可理解為一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限對比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無窮大時的幾種形式函數(shù)的極限定義設函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個常數(shù).若當

無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當以A為極限.記為定義

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyO5例

證明證明所以對于任意給定，由于即取則當有類似的可以定義極限定理設f(x)在內有定義,A為常數(shù).若當x無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當以A為極限.設f(x)在內有定義,A為常數(shù).若當x無限減小時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當（或）時，（C

為常數(shù)），即，則稱曲線有水平漸近線.例由知為曲線的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當自變量

時的變化趨勢.2.52.12.011.991.91.5f

(x)1.51.11.010.990.90.5x函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當自變量時,再考察函數(shù)當自變量

的變化趨勢.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當自變量時,上述兩例說明：處沒有定義.處有定義.而當時，都有相同的變化趨勢.通常稱當存在極限值2.

定義對于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無定義）若在的過程中,對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的數(shù)值A,則稱A

是函數(shù)當時的極限.記為說明：由定義知極限與函數(shù)在點的狀況（是否有定義;或有定義時,是否等于A）是無關的.xy12函數(shù)極限定義的精確化定義函數(shù)極限定義可以簡述為14

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyxy15例

證明證明所以對于任意給定，當時，為使即取則當時，有由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(從小于的一側或從大于的一側)趨近于時f(x)的變化趨勢,則有左極限和右極限的概念.類似可定義左極限定義設函數(shù)f(x)在內有定義，A為常數(shù).若當x從的右側(大于的一側)趨近于時,f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱f(x)在處的右極限為A.記為三、單側極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側極限.根據(jù)時函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對于分段函數(shù)在分段點處是否存在極限通常用此定理進行討論.函數(shù)f(x)在點x=0處的左