數(shù)形結合思想在解題中的應用教案

數(shù)形結合思想在解題中的應用教學目標：1．利用圖形來處理方程及函數(shù)問題和不等式問題，求函數(shù)的值域，最值等問題時能運用數(shù)形結合思想，防止復雜的計算與推理，在解題時能提高效率.2．增養(yǎng)學生問題轉化的意識.重點：“以形助數(shù)”，培養(yǎng)學生在解題過程中運用數(shù)形結合的意識.難點：由數(shù)到形的轉化.數(shù)形結合作為一種重要的數(shù)學思想，歷年來一直是高考考查的重點之一.這種思想表達在解題中，就是指在處理數(shù)學問題時，能夠將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖象有機結合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復合，通過對標準圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決.數(shù)形結合思想常常利用到的數(shù)學模型有：〔1〕函數(shù)的圖象，〔2〕斜率公式，截距〔3〕兩點間距離公式，〔4〕點到直線的距離，〔5〕單位圓，韋恩圖，數(shù)軸.題型一：利用數(shù)形結合的方法解決有關方程問題：【例題分析】例1.假設關于的方程的兩根分布在的兩側，求的取值范圍.解：由的圖象可知，要使兩根在的兩側只需解得，故說明：，其圖象與軸交點的橫坐標就是方程的根，根據函數(shù)圖象的性質可以得出對應的方程情況。例2.，那么方程的實根個數(shù)為〔〕A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個解：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選B.變式1：方程的解的個數(shù)為______________.題型二：利用數(shù)形結合法解決不等式問題例3．不等式的解集是______________.解：令，，那么不等式的解就對應于： 函數(shù)的圖象在上方的圖象的局部在軸上的射影.如圖，不等式的解集為. 變式:對一切實數(shù)不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型三：利用數(shù)形結合法解決有關最大值和最小值問題例4.如果實數(shù)滿足，那么的最大值為〔〕A. B. C. D.解：等式有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為，半徑，〔如圖〕，而那么表示圓上的點與坐標原點〔0，0〕的連線的斜率，如此一來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點在以〔2，0〕為圓以為半徑的圓上移動，求直線的斜率的最大值，由圖可見，當點在第一象限，且與圓相切時，的斜率最大，經簡單計算，得最大值為.變式1.求函數(shù)的值域.變式2.滿足的最大值與最小值.說明：數(shù)形結合法解決數(shù)學問題的關鍵是要找到數(shù)學量的幾何意義或者幾何圖形的性質，然后根據題意構造幾何圖形，實現(xiàn)代數(shù)和幾何的相互聯(lián)系.課堂小結：本節(jié)課學習了一個思想，即數(shù)形結合思想三種題型實現(xiàn)數(shù)形結合，常常涉及以下內容：1.實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；2.函數(shù)與圖象的對應關系；3.曲線與方程的對應關系；4.以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、三角函數(shù)等；5.所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義.數(shù)形結合思想是解答數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發(fā)揮著奇特成效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.作業(yè)：1.假設集合，集合，且，那么的取值范圍為___________。2.點是橢圓上一點，它到其中一個焦點的距離為2，為的中點，表示原點，那么〔〕A. B. C.4 D.83.雙曲線C的兩個焦點是F1、F2，雙曲線上任意一點P，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線平分線交于M，那么M的軌跡是〔〕A.圓 B.直線 C.雙曲線 D.拋物線【針對訓練】一.選擇題：1.方程的實根的個數(shù)為〔〕A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A. B.C. D.3.設命題甲：，命題乙：，那么甲是乙成立的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件4.假設不等式的解集為，且，那么的值為〔〕A.1 B.2 C.3 D.45.假設時，不等式恒成立，那么的取值范圍為〔〕A. B. C. D.6.定義在上的函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對稱軸為，那么〔〕A. B.C. D.二.填空題：7.假設對任意實數(shù)，都有，那么，由小到大依次為______________.8.假設關于的方程有四個不相等的實根，那么實數(shù)的取值范圍為___________.9.函數(shù)的最小值為______________.10.假設直線與曲線有兩個不同的交點，那么實數(shù)的取值范圍是_____.三.解答題：11.假設方程在上有唯一解，求的取值范圍.12.假設不等式的解集為，且，求的取值范圍.13.設，試求下述方程有解時的取值范圍：【試題答案】一.選擇題：1.C解：畫出在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內遞增，，所以和的圖象應該有三個交點。2.D解：畫出的圖象.情形1：情形2：3.A解：命題甲：，命題乙：-3＜ｘ＜５，由甲可以得出乙，反之不成立4.B解：畫出的圖象，依題意，，從而，由5.C解：令，假設，兩函數(shù)圖象如下列圖〔一〕所示，顯然當時，要使，只需使，即。綜上可知，當時，不等式對恒成立假設，兩函數(shù)圖象如右圖〔二〕所示，顯然當時，不等式恒不成立。6.A解：的圖象是由的圖象向左平移2個單位而得到的，又知的圖象關于直線〔即軸〕對稱，故可推知，的圖象關于直線對稱，由在上為增函數(shù)，可知在上為減函數(shù)，依此易比擬函數(shù)值的大小。二.填空題：7.解：由知，的圖象關于直線對稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由的圖象，易知的大小。8.解： 設畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使9.解：最小值為對，聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點到Ａ〔1，0〕的距離；表示點到點Ｂ〔3，3〕的距離，于是表示動點到兩個定點〔1，0〕，〔3，3〕的距離之和，結合圖形，易得。10.解：表示傾角為，縱截距為的直線族，而那么表示以〔0，0〕為圓心，以1為半徑的圓在軸上方的局部〔包括圓與軸的交點〕如下列圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即三.解答題：11.解：原方程等價于那么上述不等式組在上只有一個解。令在同一坐標系內，畫出它們的圖象。其中注意，當且僅當兩函數(shù)的圖象在［0，3〕上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下列圖可見，當或時，原方程有唯一解，因此的取值范圍為說明：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。12.解：令，其中表示以〔2，0〕為圓心，以2為半徑的圓在軸的上方的局部〔包括圓與軸的交點〕，如下列圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解即是兩函