絕對值三角不等式

關(guān)于絕對值三角不等式

1.絕對值的幾何意義：

如：|-3|或|3|表示數(shù)-3，3所對應(yīng)的點A或點B到坐標(biāo)原點的距離.探究新知第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天即實數(shù)x對應(yīng)的點到坐標(biāo)原點的距離小于3.探究新知

絕對值的幾何意義：

第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

同理，與原點距離大于3的點對應(yīng)的實數(shù)可表示為：

探究新知第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)a,b是任意兩個實數(shù)，那么|a-b|

的幾何意義是什么？x|a-b|abAB探究新知第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

如果用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來?定理1

如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)

ab≥0時，等號成立.探究新知第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量，能得出(1)當(dāng)不共線時有(2)當(dāng)共線且同向時有探究新知第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊絕對值三角不等式第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

定理的證明探究新知第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么探究新知第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天典例講評第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?典例講評第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)典例講評第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天答:生活區(qū)建于兩路碑間的任意位置都滿足條件.典例講評2040601020300xy第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求證.例3

已知，證明：典例講評第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天典例講評第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例5

求證.證明：在時，顯然成立.當(dāng)時，左邊

典例講評第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的幾何意義？提示：三角形任意兩邊之差小于第三邊，三角形任意兩邊之和大于第三邊．第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天課堂互動講練(1)設(shè)xy<0，x，y∈R，那么正確的是(

)A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考點一含絕對值不等式的理解考點突破例1第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【思路點撥】(1)由于xy<0，x，y異號，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)題易判定m，n與1的大小關(guān)系．第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足xy＝－2<0，這樣有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴選項C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y異號，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴選項C成立，A、B、D不成立．第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【答案】

(1)C

(2)m≤n第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【名師點評】絕對值不等式性質(zhì)的重要作用在于放縮，放縮的思路主要有兩種：分子不變，分母變小，則分?jǐn)?shù)值變大；分子變大，分母不變，則分?jǐn)?shù)值也變大，注意放縮后等號是否還能成立．第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天變式訓(xùn)練1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【思路點撥】根據(jù)所證結(jié)論，對“xy－ab”進行湊配，湊出已知的“x－a，y－b”來．考點二含絕對值不等式的證明例2第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【名師點評】含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對值號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|證明不等式，常要對絕對值內(nèi)的式子進行分析組合、添項減項，使待證式與已知之間聯(lián)系起來，最后通過絕對值的運算完成證明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值不等式，這時，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法來證明．第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時，|f(x)|≤1.(1)證明：|c|≤1；(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時，|g(x)|≤2.【思路點撥】對于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．對于(2)分a>0，a＝0，a<0根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論．例3第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【證明】

(1)由條件當(dāng)－1≤x≤1時，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)當(dāng)a>0時，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函數(shù)，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a<0時，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是減函數(shù)，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a＝0時，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.綜上，得|g(x)|≤2.【名師點評】本題利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值或值域，求絕對值的取值．第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天變式訓(xùn)練3設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實數(shù)a滿足|x－a|<1.求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．證明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例誤區(qū)警示第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天【錯因】本題錯誤在于不能保證1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．第36頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共40頁，2024年2月25日，星期天對|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的詮釋方法感悟定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號成立的條件左端|a|－|b|可能是負的≤中間部分中間部分為|a＋b|時，ab≤0，且|a|≥|b|時，左邊的等號成立；中間部分為|a－b|時，ab≥0，且|a|≥|b|時，左邊等號成立第38頁