義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

87654321+123456789[說明]本例不僅能幫助學(xué)生熟練地進(jìn)行20以內(nèi)的加法，并且數(shù)值與圖形結(jié)合，有利于學(xué)生以后學(xué)習(xí)坐標(biāo)系、圖像等。根據(jù)學(xué)生的實際，借助上面的圖1可以提出不同的問題。例如，進(jìn)一步把兩個數(shù)相加的和是8的格子描出來，看一看有什么規(guī)律。根據(jù)上圖判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的和是幾?最少的是幾?教師應(yīng)根據(jù)自己學(xué)生的實際情況靈活地設(shè)計教學(xué)。如果學(xué)生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律中有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡單的情形入手，比如兩個加數(shù)先限制在5以圖形與幾何例11桌上放著一個茶壺，四位同學(xué)從各自的方向進(jìn)行觀察。請指出下面圖3中四幅圖分別是哪位同學(xué)看到的。例12一米約相當(dāng)于根鉛筆長；北京到南京的鐵路長約1000。[說明]可以把問題舉一反三，讓學(xué)生了解實際情境中度量單位的意義，學(xué)會選擇合適的度量單位，增加學(xué)生對測量單位的感知。例13測量、計算不規(guī)則圖形的周長。[說明]引導(dǎo)學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆椒▏L試測量、計算不規(guī)則圖形的周長，有利于學(xué)生把握圖形的性質(zhì)和理解周長的意義，學(xué)習(xí)解決實際問題的方法。教師可以作如下設(shè)計：(1)可以從簡單到復(fù)雜。先測量并計算一些由規(guī)則圖形組合成的(2)對于圓形或楊樹葉形的圖，可以運用各種測量工具，也可以用各種測量方法，鼓勵學(xué)生進(jìn)行嘗試。對于樹葉的直接測量，可以用下面①滾動?？梢栽诔咦由蠞L動“樹葉”形狀的圖形，也可以保持“樹葉”形狀的圖形不動，將尺子滾動進(jìn)行測量。②繞線。先用細(xì)線在圖形的邊緣圍一周，再將細(xì)線拉直，然后測量細(xì)線的長度。(3)測量會有誤差。一方面要求學(xué)生測量時應(yīng)當(dāng)認(rèn)真，盡量減小誤差；一方面啟發(fā)學(xué)生思考，是不是可以多測量幾次，然后確定一個合例14測量并計算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計課桌面的面積；測量步長，利用步長估計教室的面積。[說明]把測量與面積計算有機地結(jié)合，讓學(xué)生體會面積的實際背景和估計長方形面積的方法。例15在下列現(xiàn)象中，哪些是平移現(xiàn)象?哪些是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象?(1)方向盤的轉(zhuǎn)動；(2)火車車廂的直線運動；(3)電梯的上下移動；(4)鐘擺的運動。例16圖4中哪些圖形通過平移可以互相重合?例17圖5是一張動物園的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的位置回答下列(1)熊貓館在猴山的哪個方向上?(2)大象館在海洋館的哪個方向上?(1)教師給出問題后，引導(dǎo)學(xué)生討論不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。例如，性(2)當(dāng)提出的標(biāo)準(zhǔn)較多時，可以分組進(jìn)行活動，完成調(diào)查。(3)運用自己的方式(文字、圖畫、表格等)呈現(xiàn)調(diào)查結(jié)果。(1)全班同學(xué)討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考(2)鼓勵學(xué)生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采用一個同學(xué)提(3)收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果的方案。(1)指導(dǎo)學(xué)生將全班同學(xué)的身高進(jìn)行匯總。(2)從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如最高(最大值)、最矮(最小值)、相差多少(極差),大部分同學(xué)的身高是多少(眾數(shù))等。在(3)在整理中，可以讓學(xué)生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如，尋找最如圖6所示，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應(yīng)當(dāng)如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)?根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)可以把這些扣子分成幾類?黃色黃色藍(lán)色藍(lán)色o整色黃色藍(lán)色藍(lán)色○3(1)教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生討論分類標(biāo)準(zhǔn)?？梢詥l(fā)學(xué)生這樣(2)根據(jù)已經(jīng)討論確定的分類標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生分組，引導(dǎo)學(xué)生實際操(3)教師組織學(xué)生報告統(tǒng)計結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生作出評價，幫助學(xué)生組織學(xué)生分組收集日常生活中常見的圖形(如圖標(biāo)),觀察它們是[說明]這個活動可以鼓勵學(xué)生主動觀察，設(shè)法收集(如可以使用數(shù)碼相機或現(xiàn)場素描等)。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他如下面的圖7:時間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進(jìn)一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很(1)指導(dǎo)學(xué)生如何測量時間和作記錄，啟發(fā)學(xué)生先設(shè)計調(diào)查方案。例如，事先調(diào)整家里鐘表的時間，使其和學(xué)校鐘表的時間保持一致；在調(diào)查期間需要保證每天上學(xué)途中的行為盡量一致；作為參照，也可記錄放學(xué)回家的時間；等等。在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真做事的習(xí)慣。(2)組織學(xué)生展示數(shù)據(jù)，鼓勵學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)信息。學(xué)生得到的信息可以是多方面的：雖然每天上學(xué)途中需要的時間可能是不一樣的，但通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間；可以知道上學(xué)途中所需要的最長時間和最短時間等。(3)組織學(xué)生進(jìn)行交流，比較自己與他人的調(diào)查結(jié)果，從而獲得更多信息：大多數(shù)同學(xué)上學(xué)途中所需要的時間，同學(xué)中最長的和最短的時間；可以將時間分段，統(tǒng)計每個時間段的學(xué)生人數(shù)，得到表格或者統(tǒng)計圖。在此過程中，鼓勵學(xué)生體會分析調(diào)查結(jié)果及得到結(jié)論的樂趣。第二學(xué)段(4~6年級)例24如果一個人的壽命是76歲，這個人一生的心跳大約有多少次?光速大約每秒30萬千米，光從太陽到達(dá)地球大約需要多長時間?如果把100萬張紙疊加起來，會有珠穆朗瑪峰那么高嗎?[說明]參見例3。在計算的過程中，要合理利用數(shù)的單位和度量單男生”。那么,201004302表示什么?通常表示具體的數(shù)量，如一只鉛筆0.25元；百分?jǐn)?shù)是同分母(統(tǒng)一標(biāo)別為6.7元和12.8元。李阿姨帶了100元，夠付款嗎?運算已經(jīng)超過100元了，所以100元不夠。例289.9×6.9比70小吧?+比1大嗎?[說明]與例6一樣，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生清楚“湊整計算”是估算的一個重要方法，比如，可以把9.9×6.9湊整成10×7,估算結(jié)果比70??；比大，所以+比1大。例29利用計算器計算15×15,25×25,…,95×95,并探索規(guī)例30彩帶每米售價3.2元，購買2米，3米，…,10米彩帶分別需要多少錢?在方格紙上把與數(shù)對(長度，價錢)相對應(yīng)的點描出，并(1)所描的點是否在一條直線上?(2)估計一下買1.5米的彩帶大約要花多少元?(3)小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍?0125670例31聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球以借助各種符號表示(參見例9)。成從中找出第16個字母，由此推出第16個氣球的顏色。圖9例34圖10中每個小方格為1個平方單位，試估計曲線所圍部分圖10就記為1,無圖形就記為0,然后相加求和；精細(xì)估計的方案可以為小方格的圖形，大于一半的記為1,小于一半的記為0,然后相加求和；例35測量一個土豆的體積。圖11[說明]通過實際操作進(jìn)一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓學(xué)生感悟幾何運動也是可以記錄的，體驗選取最佳方案教學(xué)設(shè)計時，可關(guān)注如下要點：(1)完成還原積木的任務(wù)一定要從簡單到復(fù)雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學(xué)生嘗試思考的過程。學(xué)生有了一定經(jīng)驗后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學(xué)生繼續(xù)嘗試。(2)可以分小組進(jìn)行。為了記錄準(zhǔn)確，事先要確定每一個步驟的(3)小組活動時，可以先討論，確定一個大概的還原路線，然后(4)小組成員共同操作，進(jìn)行比較，驗證確定的路線。例37描述從學(xué)校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參[說明]學(xué)生可以用語言描述路線，為了交流的方便，學(xué)生也可以借助實物模擬路線。教師還可以進(jìn)一步鼓勵學(xué)生畫出路線的簡單示意圖，并在圖中標(biāo)明方向及主要參照物。例38小青坐在教室的第3行第4列，請用數(shù)對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應(yīng)當(dāng)怎樣表示?與方格紙上點(行列或者列行)的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間例39對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。[說明]在例20中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)(參見例20的說明),進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了(1)組織學(xué)生討論并明確做統(tǒng)計圖的基本標(biāo)準(zhǔn)。如果學(xué)生意見不(2)可以把幾年來全班同學(xué)平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計圖，讓(3)組織學(xué)生討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身平均身高進(jìn)行比較；可以用出現(xiàn)人數(shù)最多的高度段作為代表(“眾數(shù)”的意義),用自己的身高與其相比；學(xué)生也可能用班級中等水平學(xué)生的身高作為代表(“中位數(shù)”的意義),用自己的身高與其相比。學(xué)生只(4)雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)小組討論后在課堂分小組交流。在此基礎(chǔ)上，再調(diào)查周邊的事情(如喜例41袋中裝有5個球，4個紅球和1個白球。只告訴學(xué)生袋中球面，有放回重復(fù)摸多次(摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸),就(1)適合于第二學(xué)段。通過摸球，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色(2)適合于第三學(xué)段。在(1)的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以估計袋中白球?qū)嶋H上，如果袋中裝有4個紅球和1個白球，可以知道摸到紅球的概率為4/5(也就是8/10)。通過摸球的試驗，可以用紅球出現(xiàn)的頻摸球的次數(shù)與估計的精度之間的關(guān)系是什么呢?通過計算可以得到：保7/10到9/10之間”,需要摸60次以上。教師不必會推導(dǎo)這個結(jié)論，例42將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片可能是什么?圖12[說明]希望學(xué)生理解，因為是任意選取一張卡片，則每張卡片都可能被選取，但事先無法確定哪張卡片一定會被選取(是隨機的),每張卡片被選取的可能性是一樣大的(簡單事件)。如果學(xué)生能夠很好地理解，則可以進(jìn)一步提問：這張卡片是船的可能性大呢?還是房子或者車的可能性大呢?可以讓學(xué)生進(jìn)行實際操綜合與實踐例43繪制學(xué)校平面圖。主要活動場所、道路等等。[說明]本活動適用于五、六年級，目的是通過實際操作，讓學(xué)生更好地理解位置、方向和比例等基礎(chǔ)知識，掌握測量的方法。因為整個操作比較復(fù)雜，建議采用小組活動的形式，這樣做既有利于培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)籌規(guī)劃的實踐能力，也有利于學(xué)生體驗團(tuán)結(jié)協(xié)作、獲得成功的快樂。教學(xué)設(shè)計時，可以關(guān)注如下要點：(1)選擇測量工具。最簡單的測量工具是指南針和皮尺(也可用步長近似測量)。(2)在教師的指導(dǎo)下，各小組討論并形成基本測量方案，組內(nèi)分(3)交流。各小組展示本組繪制的校園平面圖，交流繪制的方法和過程(可以用壁報、幻燈等形式)。某人計劃用5天的時間外出旅游，所需費用大概是多少?(1)調(diào)查你所在的學(xué)校到北京天安門的距離約有多少千米?(2)如果一個人每天跑一個“馬拉松”,要幾天能完成這項長跑?(3)如果全班用接力方式開展這項活動，請你設(shè)計一個合理的活(4)全班交流、展出同學(xué)們的不同方案，說明各個方案的特點，分工調(diào)查關(guān)鍵數(shù)據(jù)(如調(diào)查學(xué)校到北京的距離，如果是北京的學(xué)校就要改變長跑的目的地，比如可以把目的地改為延安)、學(xué)生分組集體討論后，可以制定一個計劃，自主提出適合自己班級特點的“長跑方案”,個城市”,等等。因此，這是一個靈活的開放題。教師可以組織學(xué)生交將邊長分別為3和4的正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數(shù)量規(guī)律。圖13(1)一面、兩面、三面有紅顏色的小正方(2)將正方體的邊長改為5,表面刷上紅色的漆，再將它分割成(3)將正方體的邊長改為6,結(jié)果如何?(4)分析上面三個問題的求解過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?第三學(xué)段(7~9年級)一次水災(zāi)中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災(zāi)情持續(xù)一個月，大約需要籌集多少頂帳篷?多少噸糧食?例如，假定一頂帳篷可以住10個人，需要2萬頂；假如要保證一個家庭住一頂帳篷，每個家庭4口人，需要5萬頂。假定平均每人每天需要0.4千克糧食，可以估計出每天需要的糧食數(shù)，10天需要的和一例48估計與0.5比哪個大?與1.0比呢?運算，如，2+等。例50結(jié)合實例解釋3a。(a×10+5)2=a(a+1)×100+25。但這樣的猜測是正確的嗎?需要給出證明：。例52在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子?[說明]這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學(xué)段討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個問題，有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對于模型的理解。利用一元一次方程解決此問題時，可以引導(dǎo)學(xué)生通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于學(xué)生理解方程的意義，體會建模的過程。假設(shè)椅子數(shù)為a,則凳子數(shù)為16-a,把例32中的表移過來并用字椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60,可以通過嘗試的方法，解得a=12,也可以解方程求解。對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設(shè)椅子數(shù)為a,凳子數(shù)為b,可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60,用代入法得到4a+3(16-a)=60,求解得到a=12和b=4。正，如-5和3;當(dāng)x的絕對值較小時，方程的左邊必然為負(fù)，如2。那么,在-5和2之間，以及在2和3之間方程可能有解。進(jìn)一步，用同樣的道理可以將解的范圍縮小，使我們估計的和2的中間值-1.5代入方程的左邊進(jìn)行計算，如果得到的值為正，則在-1.5和2之間有解，否則在-5和-1.5之間有解?？梢越柚嬎闫鱽硗昀?4小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮?410例55小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親在報亭看了10分報紙后，用15分圖14例56某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分乙地，平均車速為8千米/時；小麗上午10:00坐公共汽車也由甲地0(1)在平面直角坐標(biāo)系中描述相應(yīng)的點，觀察這些點是否在一條(2)如果兩種計量之間的關(guān)系是一次函數(shù)，請給出該一次函數(shù)表(3)求出華氏0度時攝氏是多少度。(4)華氏溫度的值與對應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎?變量之間是一次函數(shù)關(guān)系。攝氏從0度開始，設(shè)為橫坐標(biāo)方便。但在求華氏0度對應(yīng)的攝氏溫度時，需要通過函數(shù)值來反求自變量的值。在平例60證明：兩直線平行，則同位角相等。圖15[說明]考慮到學(xué)生的實際情況，在教學(xué)過程中，給出下面證明方法的時間可以酌情處理。一方面可以幫助學(xué)生了解反證法。如圖15所示，我們希望證明：如果AB//CD,那么∠1=∠2。假設(shè)∠1≠∠2,過點O作直線A′B′,使∠EOB'=∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個基本事實，可得A′B′//CD。這樣，過點O就有兩條直線AB,A′B′平行于CD,這與基本事實“過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對例61直觀闡述基本事實：兩組對應(yīng)邊及其夾角分別相等的兩個三[說明]雖然基本事實是不需要證明的，但是啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行直觀分析、探索結(jié)論的合理性。圖16-1因此，兩個三角形如果三條邊和三個角分別相等，則這兩個三角形全等。問題是，最少幾個元素就可以確定三角形從而構(gòu)成全等條件呢?觀察圖16-1中的△ABC,如果對圖中的邊BC“視而不見”,這樣，對∠B和∠C也就“視而不見”了(如圖16-2),此時△ABC的形狀和大小并不改變。這就是說，AB,AC兩條邊及它們的夾角確定了△ABC的形狀和大小，于是可以推斷，兩邊以及這兩邊的夾角可以確定一個三角形。因此，可以認(rèn)同“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個基本事實。另外，也可以用圖形運動(疊合)的方法確認(rèn)“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論。對于基本事實“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的直觀分析可以借助下面的圖17-1和圖17-2。圖17-1區(qū)可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么“三個角分別相等的兩個三角形全等”不能成為基本事實。對于以上事實的認(rèn)可，也可以從六個元素中的一個出發(fā)，即由少到多進(jìn)行考慮，通過畫圖探索出需要幾個元素即可確定一個三角形。例62根據(jù)性質(zhì)對平行四邊形、矩形、菱形、正方形分類[說明]在第一和第二學(xué)段都討論過分類的問題，通過分類有助于學(xué)生把握問題本質(zhì)，了解研究對象的共性與差異。特別是對于幾何圖形分類，有利于培養(yǎng)幾何直觀性和思維的層次性。分類的關(guān)鍵在于確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在不同的標(biāo)準(zhǔn)下可能會有不同的分類結(jié)果。一般來說，分類標(biāo)準(zhǔn)可以由粗到細(xì)，即由一個特征發(fā)展到多個特征(參見例21)。針對本問題把圖形分為兩類(其中一類可以是空的，在具體教學(xué)過程中不出現(xiàn)空集的概念)的標(biāo)準(zhǔn)可以考慮為：對邊在具體教學(xué)過程中，可以啟發(fā)學(xué)生想象，也可以做出實物讓學(xué)生操作。例63探索并了解：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長相等。[說明]通過探索和了解此結(jié)論的證明，幫助學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗教學(xué)中可以參考安排如下的過程：(1)發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在透明紙上畫出如圖18-1的圖：設(shè)PA,PB是◎圖18-2(2)證明結(jié)論的正確性。如圖18-2,連圖19①②證明：因為ABCD①②又因為BEFC也是平行四邊形所以BC=EFBE=CF③⑤④因為⑤⑥成立，所以四邊形AEFD是平行四邊形。他的考慮全面嗎?[說明]引導(dǎo)學(xué)生判斷上述證明過程是否正確，希望學(xué)生通過錯誤的實例，感悟特殊和一般的關(guān)系。例65下面圖20-2中的三個三角形是由圖20-1中的三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱得到的，分別指出圖形運動的形式，并標(biāo)出對應(yīng)的圖20-1圖[說明]把運動后的結(jié)果歸納在一起讓學(xué)生辨認(rèn)，有利于學(xué)生理解三種圖形運動形式的不同之處，從而把握平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的基本特征，體驗圖形運動是研究圖形的有力工具。例66在直角坐標(biāo)系中描出下列各點，將各組的點順次連接起來。觀察這個圖形，你覺得像什么?坐標(biāo)與格子點的對應(yīng)關(guān)系(參見例38)。在本學(xué)段將學(xué)習(xí)一般的直角圖21例68設(shè)計調(diào)查方法。了解本年級的同學(xué)是否喜歡某電視劇。調(diào)查的結(jié)果適用于學(xué)校的全體同學(xué)嗎?適用于全地區(qū)的電視觀眾嗎?如果不適用，應(yīng)當(dāng)如何改進(jìn)調(diào)查方法?[說明]對于許多問題，不可能、有時也不必要得到與問題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，只要得到一部分?jǐn)?shù)據(jù)(樣本)就可以對于總體的情況進(jìn)行估計。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問題，則估計就會準(zhǔn)確一些，否則估計就會差一些。因此，我們希望尋找一個好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問題。在本學(xué)段，主要學(xué)習(xí)簡單隨機抽樣方法，這是收集數(shù)據(jù)中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過隨機的方法得到的。因為同一個年級的學(xué)生差異不大，采用簡單隨機抽樣方法比較合適?？梢栽谏蠈W(xué)時在學(xué)校門口隨機問訊，也可以按學(xué)號隨機問訊。為了分析方便，需要把問題數(shù)字化，如喜歡這部電視劇的記為1,不喜歡的記為對于這樣的問題，問訊學(xué)生數(shù)不能少于20人，取40~50人比較合適，取更多的學(xué)生當(dāng)然更好，但需要花費更多的精力。由此可見，一個好的抽樣方法不僅希望“精度高”還希望“花費少”。假設(shè)問訊的學(xué)生數(shù)為n,記錄數(shù)據(jù)的和為m(顯然，m為喜歡這部電視劇的人數(shù)),則調(diào)查結(jié)果說明，學(xué)生中喜歡這部電視劇的比例為。我們依此估計本年級的同學(xué)中喜歡這部電視劇的比例。例69某個公司有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。計職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員人數(shù)12月工資/元不難計算出該公司月工資的中位數(shù)和眾數(shù)均為800元。而月工資的平均數(shù)=加權(quán)平均(可以看成是加權(quán)平均)例70如果還有一個公司也有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。參照例69,比較兩個公司的月工資狀況。職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員人數(shù)12月工資/元[說明]容易計算，這個公司的月平均工資也是1240元。但是兩個公司月工資的方差相差很大，通過計算可以得到：例69中數(shù)據(jù)的方差為1174400,本例中數(shù)據(jù)的方差為294400,兩個方差相差4倍?？梢宰寣W(xué)生知道，進(jìn)一步學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”,將會得到“兩個方差有非常圖22明]在現(xiàn)1992~2004中國GDP變化表(億元)年份年份多數(shù)據(jù)是與時間有關(guān)的，因此這些數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)發(fā)展趨勢。學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠理解報刊書籍中的這類數(shù)據(jù)的表達(dá)，包括表格、描點、折線圖、趨勢圖等，并且嘗試自己表達(dá)分析。對于上述數(shù)據(jù)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)會描點，雖然這時直角坐標(biāo)系的度量單位與書本上教的是不一樣的，但是只要刻度之間的比例關(guān)系一致，表達(dá)就是合理的，讓學(xué)生感悟到：對于實際問題往往需要具體問題具體分析，而不能單純地套用書本上學(xué)到的知識。因為描點呈現(xiàn)線性增長趨勢，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用直線來表示這種趨勢、預(yù)測未來經(jīng)濟發(fā)展，感悟變量的隨機性。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考和討論如何畫出合適的直線、如何制定“合適直線”的標(biāo)準(zhǔn)，并且告訴學(xué)生，在高中階段“統(tǒng)計與概率”的學(xué)習(xí)中將會解決這個問題，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這個例子可以舉一反三，不一定局限與時間有關(guān)的數(shù)據(jù)，比如，學(xué)生身高與體重的關(guān)系，同一種樹的樹葉長與寬的關(guān)系(參見例79)。也可以組織學(xué)生查閱資料，探究進(jìn)出口總量與GDP的關(guān)系，人均收入例73將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片是船的概率是多少?是車的呢?圖23這張卡片是船的可能性比是車的可能性大，現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)明確地知道其概率這個例子可以舉一反三，如轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時指針指向某一特定部分的概率；一個袋子里有幾種顏色、數(shù)量種顏色球的概率，等等。例74分析擲兩個骰子點數(shù)之和的可能性的大小。[說明]這個問題看起來很難，無從下手。事實上，這也是簡單事件的問題，利用例10的圖，可以得到結(jié)論：對應(yīng)的格子越多可能性越大。比如，點子之和為7的可能性最大，為2或者12的可能性最小。綜合與實踐例75直覺的誤導(dǎo)。有一張8cm8cm的正方形的紙片，面積是64cm2。把這張紙片按圖24-1所示剪開，把剪出的4個小塊按圖24-2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm,寬為5cm的長方形，面積是65cm2。這是可能的嗎?圖圖24-2對于數(shù)學(xué)的結(jié)論，完全憑借直覺判斷是不行的，還需要通過演繹推理來一般來說，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是不會相信圖24-2中紙片的面積是65cm2,但又無法說明為什么觀察的結(jié)果是錯誤的。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果觀察是錯誤的，那么錯誤可能出在哪里呢?學(xué)生通過邏輯思考，可以推斷只有一個可能：圖24-2中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積。然后，可以引導(dǎo)學(xué)生實際測量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實不像是直角。可以告訴學(xué)生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個由合情推理到演繹推理的過程。在實際教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生先看圖、再讓學(xué)生分組將圖剪開，動手操作發(fā)現(xiàn)矛盾(64=65?)。然后，嘗試找出理由并嘗試證明，最后表達(dá)收獲。可以采用如下反證法證明，在證明過程中加深對相似圖形的理解。如圖25,過D做AC的垂線交AC于F。假定圖24-2中的圖形是長方形，那么圖形的右下角就應(yīng)當(dāng)是直角，則在圖25中有∠1+∠3=90°。因為∠2+∠3=90°,則∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，兩個直角三角形△ABC與△DEF相似。由相似三角形對應(yīng)邊成比例，應(yīng)當(dāng)有：這是不可能的，因此圖24-2中的圖形不可能是長方形。由于,這個差是很小的，因此會造成我們視覺的誤差，把圖24-2中的圖形判斷為長方形。圖25教學(xué)中可以鼓勵學(xué)生運用不同的方法對此問題進(jìn)行解釋。例76從年歷中想到的。觀察幾個年份的年歷和月歷，思考下面幾個問題：(1)在同一年的月歷中，哪些月份的“月歷表”的排列是基本一致的?(2)有一種計算機病毒叫“黑色的星期五”,當(dāng)計算機的日期是13日又是星期五時，這種病毒就發(fā)作。請找出最近的5個使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。(3)許多人都認(rèn)為，“辦喜事”最好是“6月6日又是星期六”,可是有人說：“這樣的日子是千載難逢”,你同意這種說法嗎?你能找出幾個“6月6日又是星期六”的具體年份嗎?[說明]這是一個通過對日常生活觀察、發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律的開放性問題，可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提出不同層次的問題。每一個問題的設(shè)計，意識，分平年和閏年：平年時，1,10月；2,3,11月；4,7月；9,12月的月歷表基本一致；閏年時，1,4,7月；2,8月；3,11月；2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日(隨著時間的推移，這個日期會發(fā)生變化)。解決問題的方式較多，可以利用對問題(1)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來思考。也可以充分利用問題(3)中最近的幾個“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千載難逢”的說法不(1)讓學(xué)生分組收集一些商品的空包裝紙盒，請大家分別計算出(2)請學(xué)生將這些盒子拆開，看一看它們是怎樣裁剪和粘接出來(3)給一個矩形紙板(如A4紙大小),讓學(xué)生根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，(4)同組同學(xué)之間比較結(jié)果，分析誰的體積比較大?分析怎樣能作一個體積更大(最大)的盒子?(只是實驗、比較，不要求證明)。(5)結(jié)合一種具體的待包裝物體(如5本書或2個茶杯)設(shè)計一個能很好地啟發(fā)學(xué)生如何尋求解決后面問題的思路。問題(5)是一個實例78看圖說故事。如圖26,設(shè)計兩個不同問題情境，使情境中出現(xiàn)的一對變量，滿可以說出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出發(fā)地。再比如：有一個容積為2升的開口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向這個瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5例79利用樹葉的特征對樹木分類。(1)收集三種不同樹的樹葉，每種樹葉的數(shù)量相同，比如，每種樹選10片樹葉。(2)分類測量每種樹葉子的長和寬，列表記錄所得到的數(shù)據(jù)。(3)分別計算出樹葉子的長寬比，估計每種樹樹葉的長寬比。(4)驗證估計的結(jié)果。(1)建議采用小組活動的形式，學(xué)生通過合作交流可以獲得較多(2)為了使分析的結(jié)果更加明顯，最好選擇樹葉區(qū)別較大的三種對于每種樹的10片樹葉都測量了長和寬以后，可以用10個比值的眾數(shù)，也可以用10個比值的中位數(shù)；還可以把長和寬各自相加后，取和的比值，這是10個比值的平均數(shù)(教師可以思考：為什么不用通常求平均數(shù)的方法計算比值的平均數(shù))。針對這個問題，用平均數(shù)是比較合(4)取一片新的樹葉，通過這片樹葉的長寬之比、參照(3)的估葉子長與寬的比值恰好等于估計值的可能性也很小，這表現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機性。可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生考慮一個合理的方案：只要比值大概等于估計值，就可以認(rèn)為是同一種樹，也就是說，需要構(gòu)造一個以估計值為中心的數(shù)值區(qū)間，當(dāng)新取的樹葉的長寬比值屬于這個區(qū)間時就認(rèn)為屬于這個樹種。如何合理地構(gòu)造這個數(shù)值區(qū)間是重要的，區(qū)間太短則可能拒絕同類樹種，區(qū)間太長則判斷的精度就要差?？梢钥紤]下面的方法：當(dāng)估計值是中位數(shù)時，區(qū)間由比中位數(shù)小兩位的比值和比中位數(shù)大兩位的比值構(gòu)成；當(dāng)估計值是平均數(shù)時，區(qū)間的長度為平均數(shù)±σ,或者平均數(shù)±2o,其中σ是樣本標(biāo)準(zhǔn)差。讓學(xué)生感悟決定數(shù)值區(qū)間的道理(可以告訴學(xué)生，進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，將會從理論上計算區(qū)間的長度)。這個問題可以舉一反三。例80利用幾何圖形研究代數(shù)問題。對于給定的兩個數(shù)x和y,求使得(x-b)2+(y-b)2達(dá)到最小的b,也就是說要找到一個bo,使得對任意的b有[說明]利用直角坐標(biāo)系，不僅能夠推導(dǎo)出幾何圖形的代數(shù)表達(dá)式，還能夠利用幾何圖形來研究代數(shù)問題，這是幫助學(xué)生建立幾何直觀的有效途可以把給定的兩個數(shù)看作數(shù)對，對應(yīng)于二維平面的點(見圖27),用A(x,y)表示。對于任意數(shù)b也可以看作數(shù)對(b,b),用點B(b,b)表回憶關(guān)于直線的學(xué)習(xí)，由圖27可以看到，點B(b,b)是在通過第一象限、與橫坐標(biāo)傾斜45°角的直線上。我們的問題用幾何語言可以表述為：在這條直線上尋找一點，使得這一點