2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點分類）二次根式的應(yīng)用

二次根式的應(yīng)用10．（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4則S2﹣S1＝（a+b）2﹣a＝[（a+b）+a]?[（a+b）﹣＝（2a+b）?＝b+2ab例如：當(dāng)a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+23根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當(dāng)a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+23，S4﹣S3＝15+23；（2）當(dāng)a＝1，b＝3時，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；證明見解析；（3）7500+1003．【分析】（1）把a(bǔ)＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，計算即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡Sn+1﹣Sn即可；（3）化簡T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入數(shù)值計算即可．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab＝2ab+3b當(dāng)a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+23；S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab?＝2ab+5b當(dāng)a＝1，b＝3時，S4﹣S3＝15+23；故答案為：9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；證明：Sn+1﹣Sn＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]＝[2+（2n﹣1）3]×＝3（2n﹣1）+23＝6n﹣3+23；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50＝S51﹣S1＝（1+503）2﹣1＝7500+1003．【點評】本題考查了二次根式的化簡，正確地計算出結(jié)果是解題的關(guān)鍵．二次根式的應(yīng)用2．（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4則S2﹣S1＝（a+b）2﹣a＝[（a+b）+a]?[（a+b）﹣＝（2a+b）?＝b+2ab例如：當(dāng)a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+23根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當(dāng)a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+23，S4﹣S3＝15+23；（2）當(dāng)a＝1，b＝3時，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；證明見解析；（3）7500+1003．【分析】（1）把a(bǔ)＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，計算即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡Sn+1﹣Sn即可；（3）化簡T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入數(shù)值計算即可．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab＝2ab+3b當(dāng)a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝9+23；S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab?＝2ab+5b當(dāng)a＝1，b＝3時，S4﹣S3＝15+23；故答案為：9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；證明：Sn+1﹣Sn＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]＝[2+（2n﹣1）3]×＝3（2n﹣1）+23＝6n﹣3+23；（3）當(dāng)a＝1，b＝3時，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣