2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點(diǎn)分類）因式分解的應(yīng)用

因式分解的應(yīng)用1．（2023?成都）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16＝52﹣32，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是15；第23個智慧優(yōu)數(shù)是57．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；一元一次不等式的整數(shù)解．【分析】根據(jù)新定義m2﹣n2，可以分別列出m2和n2的值，進(jìn)而即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，且m﹣n＞1，當(dāng)m＝3，n＝1，則第1個智慧優(yōu)數(shù)為：32﹣12＝8，當(dāng)m＝4，n＝2，則第2個智慧優(yōu)數(shù)為：42﹣22＝12，當(dāng)m＝4，n＝1，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為：42﹣12＝15．正整數(shù)的平方分別為：1，4，9，16，25，36，49，64，81．當(dāng)m＝5，n＝3，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為：52﹣32＝16，當(dāng)m＝5，n＝2，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為：52﹣22＝21，當(dāng)m＝5，n＝1，則第3個智慧優(yōu)數(shù)為：52﹣12＝24，以此類推，當(dāng)m＝6時，有4個智慧優(yōu)數(shù)，同理m＝7時有5個，m＝8時，有6個，1+2+3+4+5+6＝21，又兩數(shù)之間的差越小，平方越小，所以后面也有智慧優(yōu)數(shù)比較小的第22個智慧優(yōu)數(shù)，當(dāng)m＝9時，n＝5，第22個智慧優(yōu)數(shù)為：92﹣52＝81﹣25＝56，第23個智慧優(yōu)數(shù)，當(dāng)m＝11時，n＝8，第23個智慧優(yōu)數(shù)為：112﹣82＝121﹣64＝57，故答案為：15，57．【點(diǎn)評】本題考查新定義下智慧優(yōu)數(shù)的計算和分類，根據(jù)規(guī)律計算求解，解題的關(guān)鍵是能有分類進(jìn)行求解．2．（2023?涼山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x3﹣10x2+5x+2027的值等于2023．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【分析】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，將所求式子變形為3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整體代入計算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴3x3﹣10x2+5x+2027＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027＝3x﹣4﹣3x+2027＝2023，故答案為：2023．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用．因式分解的應(yīng)用13．（2023?河北）若k為任意整數(shù)，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計算，再合并同類項(xiàng)，分解因式后再逐個判斷即可．【解答】解：（2k+3）2﹣4k2＝4k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝3（4k+3），∵k為任意整數(shù)，∴（2k+3）2﹣4k2的值總能被3整除，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此題的關(guān)鍵．因式分解的應(yīng)用17．（2023?十堰）若x+y＝3，xy＝2，則x2y+xy2的值是6．【答案】6【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了解因式的應(yīng)用中的整體思想，提公因式xy，出現(xiàn)兩個整體xy、x+y是關(guān)鍵，代入數(shù)據(jù)計算即可．因式分解的應(yīng)用13．（2023?深圳）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝6，ab＝7，則a2b+ab2的值為42．【答案】42．【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝7×6＝42．故答案為：42．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解．14．（2023?濟(jì)寧）已知實(shí)數(shù)m滿足m2﹣m﹣1＝0，則2m3﹣3m2﹣m+9＝8．【答案】8．【分析】由已知條件可得m2﹣m＝1，將2m3﹣3m2﹣m+9先變形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后將m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再將m2﹣m＝1代入運(yùn)算即可．【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m3﹣3m2﹣m+9＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9＝2m﹣m2﹣m+9＝﹣m2+m+9＝﹣（m2﹣m）+9＝﹣1+9＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用及代數(shù)式求值，將代數(shù)式拆項(xiàng)并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解題的關(guān)鍵．因式分解的應(yīng)用14．（2023?嘉興、舟山）一個多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個因式為（x+1），請你寫出一個符合條件的多項(xiàng)式：x2﹣1（答案不唯一）．．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，可以寫出分解因式中含有（x+1）的一個多項(xiàng)式，本題答案不唯一，符合