浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測試卷高二數(shù)學(xué)注意事項：1．本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答．2．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項時符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，然后令求出即可.【詳解】，令，解得，又，所以，所以.故選：D.2.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后確定其對應(yīng)的點即可.【詳解】,其在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第三象限，故選：C.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示結(jié)合充分、必要條件分析求解.【詳解】若，則，解得，顯然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】由雙曲線，令，解得，所以漸近線方程為.故選：B.5.已知數(shù)列的前n項和為，若，且（），則（）A.為等比數(shù)列 B.為等差數(shù)列 C.為等比數(shù)列 D.為等差數(shù)列【答案】A【解析】【分析】利用求出的通項公式并求和，然后逐一判斷選項即可.【詳解】由得當時，，兩式相減得，即，又當時，，所以數(shù)列即不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列，CD錯誤；所以，當時，所以當時，，符合，所以，又時，所以為等比數(shù)列，A正確，B錯誤.故選：A.6.已知圓：（，）與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.外離 D.與m的取值有關(guān)【答案】C【解析】【分析】求出兩圓心距離，判斷其與兩圓半徑和的大小即可得答案.【詳解】圓：，即，圓心，半徑，圓：，即，圓心，半徑，所以當時，所以圓與圓的位置關(guān)系是外離.故選：C.7.已知空間內(nèi)三點，，，則點A到直線的距離是（）．A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點，，，所以，，，，由，所以，所以點A到直線的距離.故選：A.8.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，橢圓上一點P滿足，且，則該橢圓的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，，然后利用正弦定理求出的關(guān)系，再利用關(guān)系求出后即可得離心率.【詳解】設(shè)，則，又，則，得，即，又，，由正弦定理得，設(shè)，則，即，又，所以，所以離心率.故選：D.【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若在上有最小值，則在上有最大值2D.若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義和圖象的對稱性可依次判斷各個選項.【詳解】對于A，由奇函數(shù)定義可得，若，則不成立，故A錯誤；對于B，由奇函數(shù)定義可得，得，故B正確；對于C，由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可知C正確；對于D，由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可知在上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC.10.對于直線l：（，），下列說法正確的是（）A.直線l一個方向向量為 B.直線l恒過定點C.當時，直線l的傾斜角為60° D.當且時，l不經(jīng)過第二象限【答案】ABD【解析】【分析】由直線方程的相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A：直線l的一個方向向量為，A正確；對于B：直線l的方程可化為，所以直線l恒過定點，B正確；對于C：當時，直線l的斜率為，此時傾斜角為，C錯誤；對于D：當且時，直線l為，所以l不經(jīng)過第二象限，D正確.故選：ABD.11.設(shè)是公差為的等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是（）A.若，則數(shù)列有最大項B.若數(shù)列有最大項，則C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D.若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】由題意，分、分別討論對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)可判斷A，B；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則分析可判斷C，D.【詳解】因為，若，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列有最大項，正確；若，二次函數(shù)開口向上，無最大項故若數(shù)列有最大項，有，B正確；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，若，則，故不一定對任意，均有，C錯誤；若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實數(shù)，當時，之后所有項都為負數(shù)，不能保證對任意，均有故若對任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確．故選：ABD12.在正方體中，點E，F(xiàn)滿足，，且x，y，．記EF與所成角為，與平面ABCD所成角為，則（）A.若，三棱錐E-BCF的體積為定值B.若，則C.，D.，總存在，使得平面【答案】ACD【解析】【分析】對于A：確定以及點到面距離的取值情況即可判斷；對于B：假設(shè)，找出矛盾即可判斷；對于C：過作交于，連接，找到和即可判斷；對于D：作圖，然后證明平面即可.【詳解】對于A：若，點在過線段的三等分點（靠近點）并且與平行的線上，因為點在線段上，且，所以點到線段的距離為定值，則為定值，又點到面，即面的距離不變，所以為定值，A正確；對于B：若，則點為線段的中點，點為線段的交點，若，又，且面，，所以面，又面，所以，設(shè)正方體的棱長為，則，此時，即，與矛盾，故不正確，B錯誤；對于C：，則點在線段上（不含端點），點在正方形內(nèi)（不含邊界），過作交于，連接，則為EF與所成角，即，因為面，，所以面，則為與平面ABCD所成角，即，因為為直角三角形，所以，C正確；對于D：過作交于，過作交于，連接，此時滿足，，，，接下來只需要證明平面即可，因為，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，且面，所以面面，又面，所以平面，所以，總存，使得平面，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.盒中有四個大小、形狀完全相同的小球，分別編號為1、2、3、4，現(xiàn)從中任取兩個小球，則取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為_____________．【答案】【解析】【分析】求出總的基本事件數(shù)，然后求出符合題目要求結(jié)果的基本事件數(shù)，再利用古典概型的公式求解即可.【詳解】首先從中任取兩個小球有共個基本事件，取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)有共個基本事件，所以取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為.故答案為：.14.已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點，若，則直線的斜率為______.【答案】【解析】【分析】由條件可得，然后求出點的坐標，然后由可得答案.【詳解】因為，，，所以，所以，，所以，故答案為：.15.已知為等差數(shù)列的前n項和，若，，則_____________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件列方程組求出首項和公差，再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，整理得①由得，整理得②，由①②得，所以.故答案為：.16.在三棱錐中，，，點在上，，為中點，則_____________．【答案】【解析】【分析】將向量用向量表示出來，然后平方求解即可.【詳解】由已知得，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差等比數(shù)列的通項公式列方程求解即可；（2）通過分組求和，利用等差等比的求和公式求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列是公差為，等比數(shù)列的公比為，由已知得，，，，所以，解得（舍去）或，所以；【小問2詳解】由（2）的，所以數(shù)列的前10項和為.18.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，且邊AB上的高等于．（1）求角A的值；（2）若的面積為18，求邊BC的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意運用正弦定理邊化角，即可得結(jié)果.（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再利用余弦定理運算求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得：，且，則，可得，即，且，所以.【小問2詳解】由的面積可得，即，解得，由余弦定理可得，即，所以邊BC的長為.19.已知圓O：，直線．（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當時，求k的值；（2）若時，點P為直線l上的動點，過點P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求四邊形的面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得圓心到直線距離，再利用點到直線距離公式求解；（2）將四邊形的面積的最小值轉(zhuǎn)化為求的面積最小值，根據(jù)求其最小值即可.【小問1詳解】當時，由垂徑定理得圓心到直線的距離為，則，解得；【小問2詳解】當時，直線，即由已知得又，所以的最小值為，又因為四邊形的面積的為，所以其最小值為20.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的點，．（1）求證：：（2）當時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取線段的中點，連接，通過證明面可得結(jié)論；（2）通過證明出兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角.小問1詳解】取線段的中點，連接，由分別時線段的中點可得所以四點共面，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，則側(cè)面也為正方形，且，所以，則，所以，又，面，所以面，又面，所以；【小問2詳解】由（1）得面，又面，所以，又，面，所以面，又，所以面，又面，所喲，故兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取可得，又平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為所以.21.已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項．數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和等于．（1）求數(shù)列的前n項和；（2）求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式列方程求出首項和公比，然后利用求和公式求和即可；（2）先利用，求出，然后構(gòu)造關(guān)于數(shù)列的常數(shù)數(shù)列求解即可.【小問1詳解】由已知①，又，即②由①②得，所以，所以；【小問2詳解】因為數(shù)列的前n項和等于，所以當時，，所以，又，即，符合，所以當時，，即，所以數(shù)列常數(shù)數(shù)列，所以，則.22.設(shè)雙曲線C：（，）的右焦點為F，點O為坐標原點，過點F的直線與C的右支相交于A，B兩點．（1）當直線與x軸垂直，且兩點的距離等于雙曲線C的實軸長時，求雙曲線C的離心率；（2）若雙曲線C的焦距為4，且恒成立，求雙曲線C的實軸長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)通徑等于實軸長列式計算即可；（2）設(shè)直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立