2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點（全國通用）：考點23 矩形與正方形（解析版）

考點23矩形與正方形

g命題趨勢

.

矩形和正方形是特殊平行四邊形中比較重要的兩個圖形，也是幾何圖形中難度比較大

的幾個圖形之一。其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題

類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視。正方形單獨考察的較少,

但是出現(xiàn)時也基本都是選擇題的壓軸題，難度也較大。所以考生在這塊知識點的復(fù)習(xí)上，

必須都要特別的重視，不僅要熟練掌握矩形、正方形的性質(zhì)與判定，還要重點關(guān)注兩圖形

附帶的轉(zhuǎn)化思想的考察和舉一反三。

在知識導(dǎo)圖

對邊平行且相等，鄰邊垂直

性質(zhì)四個角都是直角

也重w考向

一、矩形

的性質(zhì)

二、矩形

的判定

三、正方

形的性質(zhì)

和判定

四、各四

邊形間的

常見轉(zhuǎn)化

考向一：矩形的性質(zhì)

矩形的對邊平行且相等

矩形的矩形的四個角都是直角

性質(zhì)矩形的對角線相等且互相平分

矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

1.下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（)

A.對角線互相垂直B.對角線相等

C.對角線互相平分D.鄰邊互相垂直

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：???矩形的對角線互相平分且相等，鄰邊互相垂直，但矩形的對角線不一定垂直，

矩形不一定具有的是對角線互相垂直，

故選：A.

2.如圖，E,F,G,”分別是矩形ABCD四條邊上的點，己知EELG”，若AB=2,BC=3,則EF：GH

A.3：2B.2：3C.4：9D.9：4

【分析】過點“作垂足為M,過點尸作尸N,AD,垂足為M設(shè)，M,FE交于點0,再證明

△MHGs4NFE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：過點“作“垂足為過點尸作垂足為N,設(shè)H例，F(xiàn)E交于點0,則

NF=AB,MH=BC,

:"ENF=NGMH=90°,

■:EF上GH,

：.ZGHM+ZHOE=NEFN+NFOM=90°,

義?：NHOE=NFOM,

:.NGHM=/EFN,

，叢MHGs叢NFE,

：.EF：GH=NF：HM=AB：BC=2：3.

故選：B.

3.如圖，在等邊△ABC中，CD1AB,垂足為Q,以AD,CD為鄰邊作矩形AOCE,連接BE交8邊于點

F,則cosNCBE的值為（)

C-^V21D.yV21

【分析】過點E作EH_L8C,在等邊△ABC中設(shè)邊長為a,利用等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)表示出

EC,8c的長度，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得C",EH,8E的長度，再利用直角三

角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論.

【解答】解：過點E作EH1.8C,交BC的延長線于點，，如圖,

在等邊△A8C中設(shè)邊長為a,

'：CD±AB,AC=AB=BC=a,

：.AD=BD=^a,

2

?.?四邊形AOCE為矩形，

：.EC^CD=l4i,NDCE=9Q°.

2

■：AABC為等邊三角形，

AZBAC=60°,ZBCD=l.ABAC=30°,

2

/.ZEC//=60°.

'：EH±BC,

/.CW=￡C*cos60°=L/,E，=EC?sin60°

4

：.BH=BC+CE=a+lzi=^a.

44

5__

cosNCBE=理=-^-=i2ZL

BEVL14

2a

故選：A.

4.如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,過點。作OEL8。，交BC于點E,若C0=7反，CE

=1,則BE的長為2

【分析】利用矩形的性質(zhì)先求得AC=2j§，NEBO=NACB,再證明即可得解.

【解答】解：???四邊形A8CQ是矩形,

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,NA8C=90°,

.*.OA=OB=OC=OD=V3>

?'?AC=2?，NEBO=NACB,

'：OE±BD,

:.NBOE=NCBA=90°,

；.△BOEs△CBA,

?OB_BEpipV3BE

"BC"AC'BE+1

解得BE=2或BE=-3（舍去），

故答案為：2.

5.如圖，在長方形ABC。中，AB=4厘米，BC=6厘米，點E在邊BC上且BE=2EC,動點尸從A點出

發(fā)，先以每秒I厘米的速度沿A-B運動，然后以每秒2厘米的速度沿B-C運動，再以每秒1厘米的速

度沿C-力運動，最終到達點D設(shè)點P運動的時間是/秒，那么當(dāng)t=至■或」旦或至?xí)r，三角形APE

-2一4—2―

的面積等于5平方厘米.

【分析】由題意可得BE=4厘米，EC=2厘米，再分四種情況：①當(dāng)點尸在邊AB上時；②當(dāng)點P在邊

BC上，且在點E右側(cè)時；③當(dāng)點尸在邊BC上，且在點E右側(cè)時；④當(dāng)點尸在邊CD上時.根據(jù)三角

形APE的面積等于5平方厘米分別列出方程，求解即可.

【解答】解：：BC=6厘米，BE=2EC,

.?.8E=4厘米，EC=2厘米，

①如圖，當(dāng)點P在邊AB上時，厘米（0<rW4）,

SAAPE=2,AP，BE='2X4=5,

BEC

解得：片區(qū)

2

②如圖，當(dāng)點尸在邊8c上，且在點E左側(cè)時，PE=4-2Ct-4)=(12-2r)厘米(4VW6),

PE，AB=Lx4=5,

SAAPE4^f

解得：

4

③如圖，當(dāng)點P在邊8C上，且在點E右側(cè)時，PE=2(r-4)-(6<W7),

54題看理曲="1%4=5，

解得：『=空＞7,不符合題意，舍去；

4

④如圖，當(dāng)點P在邊CO上時，CP=(f-7)厘米，DP=4-(r-7)=(11-r)厘米(7<^11)

S&APE=S長方形ABC。~(SAABE+S^PEC+SAADP)

=AB'BC-(yBE-AB-^E'CP+^-AD-DP)

=4X6-(-1x4X4+-y^X2+^1^X6)

=2t-10,

則2t-10=5,

解得：尸區(qū).

2

綜上，當(dāng)f=5或或生時三角形APE的面積等于5平方厘米.

242

故答案為：5或或變.

242

考向二：矩形的判定

有一個角是直角的平行四邊形是矩形

矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形

判定四個角都相等的四邊形是矩形

對角線相等的平行四邊形是矩形

對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

拓展矩形的面積等于兩鄰邊的積

1.如圖，已知平行四邊形ABC。的對角線AC與8D相交于點0,下列結(jié)論中，不正確的是（）

A.當(dāng)ABJ_A。時,四邊形A8C。是矩形

B.當(dāng)AC_LB。時,四邊形A8CQ是菱形

C.當(dāng)0A=03時,四邊形ABC。是矩形

D.當(dāng)AB=AC時,四邊形ABCD是菱形

【分析】利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：A.'JABYAD,

：.ZBAD=90°,

平行四邊形ABC。是矩形,

故結(jié)論正確，但不符合題意;

B.'：AC±BD,

平行四邊形4BCD是菱形,

故結(jié)論正確，但不符合題意;

C：四邊形A8CD是平行四邊形,

：.A0=^AC,BO=LBD,

22

5L'：0A=0B,

：.AC^BD,

二平行四邊形ABC。是矩形,

故結(jié)論正確，但不符合題意;

D.當(dāng)A8=4C時，四邊形ABCQ不一定是菱形,

故結(jié)論錯誤，符合題意.

故選：D.

2.如圖，在平行四邊形A8CQ中，M、N是8。上兩點，BM=DN,連接AM、MC、CN、NA,添加一個條

A.MB=MOB.OM=XACC.BDA.ACD.NAMB=NCND

2

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，O4=OC,OB=OD,再證OM=OM則四邊形AMCN是平行四邊

形，然后證/WV=AC,即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是OM=AC,理由如下:

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

J.OA^OC,08=00,

；對角線8力上的兩點M、N滿足8M=DM

OB-BM=0D-DN,

即0M=0N,

四邊形AMCN是平行四邊形，

'：OM=1AC,

2

:.MN=AC,

四邊形AMCN是矩形.

故選：B.

3.四邊形ABC。的對角線相交于點0,且0A=08=0C=0O,/AO8=60°,貝UAB：3C=1：2.

【分析】求出AC=BD,根據(jù)矩形的判定得出即可，求出aAOB是等邊三角形，求出A8=A。，即可得

出答案.

【解答】解：

'：OA^OB=OC=OD,

：.AC=BD,

四邊形ABC。是矩形；

VZAOB=60°,OA=OB,

AAOB是等邊三角形，

:.AB=AO=BO=1AC,

2

：.AB-.AC=\：2,

故答案為：1：2.

4.如圖，平行四邊形ABC￡＞中，AB=6an,BC=iOcm,/B=60°,點G是C。的中點，點E是邊AO上

的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點尸，連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CEOF是平行四邊形；

(2)①直接寫出：當(dāng)AE=4時,四邊形CEDF是菱形(不需要說明理由)；

②當(dāng)AE—7cm時，四邊形CEDF是矩形，請說明理由.

【分析】(1)證△CFG—^EDG,推出尸G=EG,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可:

(2)①證ACDE是等邊三角形，推出CE=OE,再根據(jù)菱形的判定推出即可.

②求出推出/CEO=NAM8=90°,再根據(jù)矩形的判定推出即可.

【解答】(1)證明：?.?四邊形A8CQ是平行四邊形，

：.BC//AD,

:./FCG=NEDG,

；G是CO的中點，

：.CG=DG,

在△CFG和△OEG中，

'/FCG=/EDG

?CG=DG，

ZCGF=ZDGE

.?.△CFG和△QEG(ASA),

：.FG=EG,

又,：CG=DG,

四邊形CEDF是平行四邊形.

(2)解：①當(dāng)AE=4a"時，四邊形CECF是菱形，理由如下：

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=Wcm,CD=AB=6cni,/C￡)E=/B=60°,

'：AE=4cm,

：.DE=AD-AE=6cm,

：.DE=CD,

；.△(?￡>￡；是等邊三角形，

：.CE=DE,

..?四邊形CEDF是平行四邊形,

???平行四邊形CEC尸是菱形，

故答案為：4；

②當(dāng)AE=7時，平行四邊形CEO尸是矩形，理由如下:

如圖，過A作AM_LBC于M,

VZB=60°,AB=6cm,

2

AE=7cm,

：.DE=AD-AE=3cm=BM,

在△MBA和中，

'BM=DE

<ZB=ZCDA-

AB=CD

.?.△MBA絲△EDC(SAS),

：.ZCED=ZAMB=90°,

V四邊形CEDF是平行四邊形,

平行四邊形CED尸是矩形，

故答案為：7.

考向三：正方形

正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì)

正方形的性質(zhì)

有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

有一組鄰邊相等的矩形是正方形

正方形的判定有一個角是直角的菱形是正方形

對角線相等且互相平分的四邊形是正方形

拓展正方形的問題通常轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的問題來探究

典例引我

/--_▲

1.下列說法錯誤的是（）

A.有一個角為直角的菱形是正方形

B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

C.對角線相等的菱形是正方形

D.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

【分析】正方形：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等，且互相垂直平分的平行四邊形；

菱形：四條邊都相等，對角線互相垂直平分的平行四邊形；

矩形：四個角都相等，對角線相等的平行四邊形.

【解答】解：A、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角，則該菱形是正方形.故

本選項說法正確；

8、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角.則該矩形為正方形.故本選項說

法正確；

C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形.故本

選項說法正確；

。、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.故本選項說法錯誤；

故選：D.

2.如圖，以正方形ABCQ的邊AB為一邊向外作等邊△ABE,則N8EZ）的度數(shù)為（）

A.55°B.45°C.42.5°D.40°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ND4B=90°,AD=AB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NAEB=

60°,AE=AB,求出AE=AD,求出NAED=NADE=L（1800-ZDAE）=15°,再求出答案即可.

2

【解答】解：：四邊形A8C。是正方形，

.?./￡)AB=90°,AD=AB,

,/ZVIBE是等邊三角形，

ZAEB=ZEAB=60°,AE=AB,

：.AE=ADf

：.ZAED=ZADE=1-(180°-ZDAE)=A.x(180°-90°-60°)=15°，

22

：.ZBED=ZAEB-ZAED=60°-15°=45°,

故選：B.

3.如圖，四邊形ABCD,CEFG均為正方形，其中正方形CEFG面積為36cW,若圖中陰影部分面積為100爐,

則正方形ABC。面積為()

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與三角形的面積公式得出：陰影部分面積=工(<7d-8不)，便可求得結(jié)果.

2

【解答】解：；陰影部分面積(2C+CG),

2

陰影部分面積■義CCE-DC)(BC+CG)=A(CE1-BC2),

22

正方形CEFG面積為36S”2,圖中陰影部分面積為IO”??,

/.IO=A.X(36-S獷方%ABCD),

2

?'.S方形ABC￡>=16,

故選:B.

4.如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊CO、AO上的點，且CE=￡>尸，AE,B尸相交于點O,下列結(jié)論:

@AE=BF；②AE_LB尸；③AO=OE；?SAAOB=5W^DEOF,其中正確的有()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得N3AF=/O=90°,AB=AD=CD,然后求出4尸=?！暝倮谩斑吔?/p>

邊”證明△A8F和△加￡全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF,從而判定出①正確；再根據(jù)

全等三角形對應(yīng)角相等可得N4B尸=ND4E,然后證明/AB尸+NBAO=90°,再得到/AO8=90°,從

而得出AEL8凡判斷②正確；假設(shè)AO=OE,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性

質(zhì)可得AB=BE,再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得8￡>BC,即BE>A8,從而判斷③錯誤；根據(jù)

全等三角形的面積相等可得S&WE,然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確.

【解答】解：???四邊形A8CD是正方形，

二尸=ND=90°,AB=AD=CD,

'：CE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在AABF和△￡)/!《中，

'AB=AD

<ZBAF=ZD-

AF=DE

.?.△48/絲△D4E(SAS),

：.AE=BF,故①正確；

ZABF=ADAE,

VZDAE+ZB4<?=90°,

/.ZABF+/1BAO=90°,

在△AB。中，NA08=I80°-(ZABF+ZBAO')=180°-90°=90°,

：.AE±BF,故②正確；

假設(shè)AO=OE,如圖，連接BE,

\'AE±BF（已證），

：.AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）,

?在RtZXBCE中,BE>BC,

：.AB>BC,這與正方形的邊長相矛盾，

所以，假設(shè)不成立，AO^OE,故③錯誤;

'：△ABF9XDAE,

:.SMBF=SADAE,

?'?SAABF-S/\AOF=S^DAE-S^AOF,

BPSAAOB=SnillKDEOF,故④正確;

綜上所述，正確的有①②④.

故選：D.

5.如圖，正方形A8CC的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連結(jié)G4,則線段G”的長為（）

A.旦巨B.272C.11D.10-5加

85

【分析】延長8G交CH于點￡,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明5G絲△（?￡田0△BCE,可得GE=8E-BG

=2、HE=CH-CE=2、NHEG=90°,由勾股定理可得GH的長.

【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E,

'：AB=CD=\O,BG=DH=6,AG=CH=&,

：.AG2+BG2=AB2,

...△ABG和△OCH是直角三角形，

在△48G和△C0H中，

'AB=CD

，AG=CH-

BG=DH

:.△ABGQ4CDH(SSS),

；./l=N5,N2=/6,NAGB=NCHD=90°,

；./l+N2=90°,Z5+Z6=90°,

VZ2+Z3=90°,Z4+Z5=90°,

Z1=Z3=Z5,N2=N4=N6,

在△ABG和△8CE中，

'Nl=/3

<AB=BC，

Z2=Z4

.,.△ABG^ABCECASA),

，BE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC^ZAGB=90°,

:.GE=BE-BG=8-6=2,

同理可得4E=2,

在RtZ\G”E中，GW=VGE2+HE2=722+22=2^2>

故選：B.

6.如圖，銳角△ABC中，ZBAC=45°，A。是8c邊上的高，80=2,CD=3,則-如=6

【分析】作AABC的外接圓，過圓心。作0E,8c于點E,作。凡LAD于點F,連接。A、OB、0C.利

用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求得OE=。尸，在等腰Rt^BOE中,

利用勾股定理得到OE=DF,進而求解.

【解答】解：如圖，作△A8C的外接圓，過圓心。作OELBC于點E,作OF±AD于點F,連接04、

OB、0C,

4c=45",

/.ZBOC=90°,

在RtZ\BOC中，BD=2,CD=3,

.,.BC=2+3=5,

.*.BO=CO=^ZL

2

V0E1BC,O為圓心，

；.BE=LC,

22

在中，8O=-§2巨，BE=&,

22

；.OE=BE=?,

2

VZ0ED=ZEDF=ZOFD=90°,

四邊形?！?尸是矩形,

.?.OF=OE=$,OF=DE=BE-BD=殳-21,

222

在RtZkAOF中，AO=^^,OF=.1,

22

.,.AF=^AQ2_OF2=Z,

.*.4Q=AF+DF=工+回=6.

22

故答案為：6.

7.如圖，以△ABC的兩邊AB,AC為邊向形外作正方形A8EF,ACGH,則稱這兩個正方形為外展雙葉正

方形.有以下5個結(jié)論：①△ABC面積與△AFH面積相等.②過點4作邊BC的垂線交FH于點O,則

FD=HD.③。為邊BC的中點，0A延長線與”尸交于點P,則尸且”廣=240.④連接FC、HB

相交于點R，則FC=HB且⑤連結(jié)EG,S為EG的中點，則S8=SC且SBLSC.其中正確的

結(jié)論是??③④⑤(填序號).

【分析】①作CMJ_A8,作HNJLfA,證明△AMC/ZV1M/(A4S),推出CM=HM由三角形面積公式

即可判斷；

②作出圖2的輔助線，證明aAKB也△F7A(AAS),推出AK=FT,得至I」FT=HQ,再證明四

(A4S),即可判斷;

③作出圖3的輔助線，證明ABO乙四△CQ4(SAS),再證明△A8L四△砌”(SAS),即可判斷；

④作出圖4的輔助線，證明△化€1g/\34，(認5),推出FC=HB,ZAFC=ZABH,再證明NBAW=90°,

即可判斷；

⑤作出圖5的輔助線，證明△￡■6心ZXGSC(SAS)和△8E/絲△8AC(SAS),推出//8C=90°,再根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：①如圖1,過點C作。W_LA8于點M,過點“作“出的延長線于點N,則

N=90°,久、

:四邊形ABEF和四邊形ACGH都是正方形,

二/84尸=/CA〃=90",AB^AF,AC^AH,

：.ZBAC+ZFAH=360<,-ZBAF-ZCAH=360a-90°-90°=180°,

又?.?//MN+N用”=180°,

:.NBAC=NHAN（同角的補角相等）,

在△AMC和△4N”中，

，ZAMC=ZN=90°

<ZBAC=ZHAN，

AC=AH

：./\AMC^^ANH(A4S),

:.CM=HN,

又.?&ABC3ABa，S△曲寺F.呻且A"AF，

.??△ABC面積與面積相等，故①正確；

②如圖2,過點A作BC的垂線交"/于點。，設(shè)垂足為K,過點H作”QL4O于點Q,過點F作FTJ_

AO的延長線于點T,則/AKB=/AKC=/HQO=N，QA=NT=9()°，

尸=90°,Zr=90°,

：.ZKAB+ZTAF=90°,Z7'M+Z7^F=90°,

:"KAB=NTFA(同角的余角相等)，

在△AK8和△77%中，

rZAKB=ZT=90°

<ZKAB=ZTFA，

AC=AH

A/\AKB^/\FTA(A45),

：.AK=FT,

同理可證HQ=AK,

：.FT=HQ,

在△"、￡>和△QHD中，

2T=NHQD=9O°

<ZTDF=ZQDA，

FT=HQ

:ZFD迫/XQHD(44S),

：.FD=HD,故②正確；

③如圖3,延長AO至L,使LO=AO,連接BL,則AL=2A。,

為邊BC的中點，

:.OB=OC,

在△BOZ,和△COA中,

fOB=OC

<ZB0L=ZC0A>

L0=A0

：./\BOL^/\COA(SAS),

：.ZL=ZCAO,BL=AC,

：.BL//AC,

，NA8L+N8AC=180°,

由②得/無4。+/放”=180°,

：.ZABL=ZFAH,

'：BL=AC,AC=AH,

：.BL=AH,

在△ABL和△朋”中，

AB=AF

<ZABL=ZFAH-

BL=AC

:.△ABL^XFAH(SAS),

：.AL=HF,ZBAL=ZAFH,

VZBAF=90°,

...N84L+N砌P=90°,

.,.ZFB4=18O°-(ZAFH+ZFAP)=180°-90°=90°,

：.AP±HF,

'：AL=HF,AL=2AO,

：.HF=2AO,故③正確；

④如圖4,連接FC、HB相交于R,設(shè)FC交AB于點W,

,：ZBAF=ZCAH=90Q,

，ZBAF+ZBAC^ZCAH+ZBAC,即ZMC=ABAH,

在△用C和△BAH中，

'AB=AF

<ZFAC=ZBAH)

AC=AH

△初C絲△8AH(SAS),

:.FC=HB,ZAFC^ZABH,

；NBA尸=90°,

/.ZAFC+ZAWF=90°,

/.ZABH+ZAWF=W°,

又；NBWR=NAWF,

AZABH+ZAWR=90°,

.,.ZBRW=\SO°-(ZABH+ZAWR)=180°-90°=90°,

：.FC±HB,故④正確;

⑤如圖5,延長CS至/,使S/=SC,連接8/并延長交AF于J,

?四邊形ABEF和四邊形ACGH都是正方形，

J.BE//AF,AH//CG,BE=AB,AC=CG,/ABE=90°,

是EG的中點，

：.SE=SG,

在和△GSC中，

'SE=SG

<ZESI=ZGSC>

SI=SC

:./XES1學(xué)/\GSC(SAS),

：.1E=CG,ZIES^ZCGS,

：.EJ//GB,

又，：AH//CG,

：.EJ//AH,

:.NEJA=NFAH,

又?.?/a4C+NE”=180°,

...N8AC+NEM=18()°,

'：BE//AF,

.?.N8E/+NBM=180°,

:.NBEI=NBAC,

\'AC=CG,IE=CG,

：.IE=AC,

在ABE/和△BAC中，

，BE=AB

<ZBEI=ZBAC>

IE=AC

:.ABE恒ABAC(SAS),

：.BJ=BC,/IBE=/CBA,

/.ZIBE+ZIBA=ZCBA+Z1BA,即ZABE=Z1BC,

XVZABE=90°,

/.Z/BC=90°,

又,：SI=SC,

.1

??SB方I=SO

,:BI=BC,且S/=SC,

：.SBLCI,B|JSB±SC,故⑤正確：

綜上所述，正確的有①②③④⑤，

故答案為：①②③④⑤.

考向四：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的轉(zhuǎn)化關(guān)系

“________?三個俞是1［倚

+西條邊舒用等

"共例引頷

1.下列說法正確的是（）

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是正方形

C.四邊都相等的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的四邊形是矩形

【分析】分別根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各選項進而得出答案.

【解答】解：4、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意；

8、對角線相等的菱形是正方形，此選項錯誤，不符合題意；

C、四邊都相等的四邊形是菱形，此選項正確，符合題意；

D,對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

2.如圖，菱形ABC。的對角線4C、相交于點O,BE//AC,AE//BD,0E與AB交于點?若0E=5,

4c=8,則菱形ABC。的高為22.

一5一

【分析】證四邊形AEB。為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得NAOB=90°,則四邊形4E8。是矩形，然

后由勾股定理得05=3,則80=6,然后由菱形的面積公式解答即可.

【解答】解："BE//AC,AE//BD,

四邊形AEBO是平行四邊形，

又；菱形A8C。對角線交于點0,

.?Q=LC=4,OB=OD,ACVBD,

2

AZAOB=90°.

平行四邊形AOBE是矩形，

：.AB=OE=5,

08=4AB2_0A2=V52-42=3'

.?.80=208=6,

設(shè)菱形ABC。的高為/?,

?''S^KjABCD—^-AC'BD=AB,h,

2

X8X6

,,^2-=M

55

即菱形ABC。的高為2至，

5

故答案為：24

5

3.如圖，在菱形4BC3中，對角線4C,BD交于點O,DE//AC,CE//BD,連接0E,交CD于點F.

(1)求證：四邊形QOCE是矩形；

(2)若EF=2,NA8C=120°,直接寫出菱形ABC￡＞的面積.

D

A

BC

【分析】（1）先判斷出四邊形。OCE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得ACL8O,然后

根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；

（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出/54。=60°,判斷出△ABD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)求出OA、再根據(jù)菱形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】（1）證明："：DE//AC,CE//BD,

四邊形DOCE是平行四邊形，

?.?在菱形A8CO中，ACLBD,

：.ZDOC=90°,

四邊形QOCE是矩形；

（2）解：；EF=2,四邊形。OCE是矩形，

.*.OE=CO=2EF=4,

。是菱形，

：.AB=CD=4,

：NABC=120°,AB//CD,

.../84。=180°-120°=60°,

"：AB=AD,

...△ABO是等邊三角形，

：.OB=1.X4=2,OA=2X返=我，

22

，AC=2愿，80=4,

二四邊形A8CD的面積X4=4代.

22

蹤訓(xùn)練

*

1.（2022?日照）如圖，矩形ABCQ為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與8的交點為E,當(dāng)水杯

底面BC與水平面的夾角為27°時，/AEZ）的大小為（)

D

A.27°B.53°C.57°D.63°

0

【分析】根據(jù)題意可知AE:〃BP,ZEAB=ZABFfZABF+27=90°,等量代換求出NE45,再根據(jù)平

行線的性質(zhì)求出NA￡D

【解答】解：如圖,

9：AE//BF,

；?NEAB=NABF,

???四邊形A8CD是矩形,

：.AB//CD,NA8C=90°,

AZABF+27°=90°,

/.ZABF=63°,

：.ZEAB=630,

,:AB〃CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

故選：D.

2.（2022?黔東南州）如圖，矩形A8CO的對角線AC,8。相交于點O,。石〃AC,CE//BD.若AC=10,

則四邊形OCED的周長是20

【分析】先證四邊形OCED是平行四邊形，得OC=DE,OD=CE,再由矩形的性質(zhì)得OC=OO=5,則

OC=OD=CE=DE,得平行四邊形OCED是菱形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：-DE//AC,CE//BD,

：.四邊形OCED是平行四邊形,

：.OC=DE,OD=CE,

???矩形A8CO的對角線AC,8。相交于點O,

.?.0C=AAC=5,OD=1-BD,BD=AC,

22

：.0C=0D=5,

：.OC=OD=CE=DE,

平行四邊形OCEO是菱形，

菱形OCED的周長=4OC=4X5=20,

故答案為：20.

3.（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定nABCO為矩形的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A.:一/?。。中，AB=AD,

...口A8C。是菱形，故選項A不符合題意；

B."：°ABCD41，AC1BD,

"ABCD是菱形，故選項R不符合題意；

C.oA8CQ中，AB=AC,不能判定口A8CO是矩形，故選項C不符合題意；

D.中，AC^BD,

:.口ABCD是矩形，故選項D符合題意；

故選：D.

4.（2022?包頭）如圖，在矩形ABCQ中，A￡）＞AB,點E,F分別在A。，BC邊上，EF//AB,AE=AB,

A尸與BE相交于點O,連接OC.若BF=2CF,則OC與所之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A.ED

旦

BFC

A.2OC=45EFB.娓OC=2EFC.2OC=MEFD.OC=EF

【分析】過點。作04_L8C于點H,得出四邊形A8/E是正方形,再根據(jù)線段等量關(guān)系得出CF=EF=

2OH,根據(jù)勾股定理得出OC=&O”，即可得出結(jié)論.

（解答］解：過點。作OHLBC于點”，A______ED

:在矩形中，EF//AB,AE^AB,L\//

四邊形A8FE是正方形，

C

:.OH=LEF=LBF=BH=HF,BHF

22

;BF=2CF,

：.CH=EF=20H,

OC=V0H24CH2=V0H2+（20H）2=V5^

即20C=J^E凡

故選：A.

5.（2022?青海）如圖，矩形ABC。的對角線相交于點O,過點。的直線交A￡>,BC于點、E,F,若A8=3,

8c=4,則圖中陰影部分的面積為6.

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△AOE/ACOR得△AOE、△COF的面積相等，從而將陰影部分的

面積轉(zhuǎn)化為△BOC的面積.

【解答】解：???四邊形A8C。是矩形，AB=3,

；.OA=OC,48=8=3,AD//BC,

：.NAEO=NCFO；

又,：NAOE=ZCOF,

在△AOE和△COF中，

"ZAEO=ZCFO

?OA=OC，

ZAOE=ZCOF

△AOEdC。尸，

:.SMOE=S&COF,

SW^=S^AOE+S^BOF+S^COD:=S^COF+SABOF+S^COD=S^BCD,

5ABCD=—BC*CD=—X4,X?=6,

22

?,?S叫舷=6?

故答案為6.

6.（2022?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法一判斷即可.

【解答】解：A、對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項不符合題意；

從有一個角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項不符合題意；

C、對角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項不符合題意；

對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項符合題意.

故選：D.

7.(2022?黃石)如圖，正方形O4BC的邊長為&,將正方形OABC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,貝U點8

的對應(yīng)點B\的坐標(biāo)為()

y八

Bi--------C

AO%

A.(-&,0)B.(&,0)C.(0,V2)D.(0,2)

【分析】連接08,由正方形的性質(zhì)和勾股定理得。8=2,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得以在y軸正半軸上，且0所

=08=2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接08,BC

：正方形OABC的邊長為

：.OC=BC=?NBCO=90。，ZBOC=45a,45

OB=VoC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2,

；將正方形OABC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°后點B旋轉(zhuǎn)到B\的位置，

二的在y軸正半軸上,KOB\=OB=2,

...點81的坐標(biāo)為(0,2),

故選：D.

8.(2022?重慶)如圖，在正方形ABCC中，AE平分/84C交BC于點E,點尸是邊AB上一點，連接OF,

若BE=AF,則/CDF的度數(shù)為()

A\D

BE,

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到NAOF的度數(shù)，從而可以求得/CDF

的度數(shù).

【解答】解：?.?四邊形48c力是正方形，

：.AD=BA,NDAF=NABE=9Q°,

在△D4F和△ABE中，

，AD=BA

,ZDAF=ZABE-

AF=BE

^DAF^/\ABE（SAS）,

乙ADF=NBAE,

平分/BAC,四邊形ABC。是正方形，

AZBAE=^ZBAC=22.5°,NADC=90°,

2

AZADF=22.5°,

：.ZCDF=ZADC-ZADF=90°-22.50=67.5°,

故選：C.

9.（2022?廣州）如圖，正方形ABC。的面積為3,點E在邊CO上，且CE=1,/ABE的平分線交A￡＞于

點凡點M,N分別是BE,BE的中點，則MN的長為（）

A.近B.近C.2-A/3D.娓

222

【分析】連接EF,由正方形ABCD的面積為3,CE=1,可得。1,tanNEBC=￡&=3=",

BCV33

即得NE8C=30°,又A尸平分NA8E,可得NA8F=>l/ABE=30°,故4尸=膽=1,DF=AD-AF

2V3

=Vs-1.可知EF=&DE=MX（V3-1）=瓜-近,而M,N分別是BE,BF的中點，即得

f=用

【解答】解：連接EF,如圖：

二?正方形ABC。的面積為3,

:.AB=BC=CD=AD=a，

?；CE=1,

：.DE=y/3-blan/EBC=_^:

BC

：.ZEBC^30°,

NABE=ZABC-/EBC=60°,

尸平分NA8E,

AZABF^^ZABE=30Q,

2

在RtZ\48尸中，AF=-^=\,

V3

：.DF=AD-AF=y[3-1，

：.DE^DF,是等腰直角三角形，

；.EF=&OE=V^X(5/3-1)=氓-近,

,:M,N分別是BE,8尸的中點,

MN是△8EF的中位線,

MN=LEF=娓.