人教A版《數(shù)學(xué)》選修1-1教案：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

人教A版《數(shù)學(xué)》選修1-1教案：2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-附答案

§1.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【學(xué)情分析】：

在學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)定義這種方法計(jì)算常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而且已經(jīng)熟悉了導(dǎo)數(shù)加減運(yùn)算法則后.本節(jié)將繼

續(xù)介紹復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.

【教學(xué)目標(biāo)】：

(1)理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

(2)能夠結(jié)合已學(xué)過(guò)的法則、公式,進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

(3)培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物,善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,認(rèn)識(shí)規(guī)律,掌握規(guī)律,利用規(guī)律.

【教學(xué)重點(diǎn)】：

簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，也是由導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)出的,要掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，須在理解復(fù)合過(guò)程

的基礎(chǔ)上熟記基本導(dǎo)數(shù)公式,從而會(huì)求簡(jiǎn)單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并靈活應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】：

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入,復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析,可多配例題,讓學(xué)生對(duì)求導(dǎo)法則有一個(gè)直觀的了解.

【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

(1)復(fù)習(xí)常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)以及作業(yè)講評(píng)及提問(wèn)，回憶常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

為課題引入作鋪墊.

四則運(yùn)算.和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算,會(huì)解釋導(dǎo)數(shù)實(shí)際意義.

(2)教科書(shū)P16思考題如何求函數(shù)y=ln(x+l)的導(dǎo)數(shù)？開(kāi)門見(jiàn)山提出問(wèn)題.

直接給出定義，并與基

(1)復(fù)合函數(shù)的定義.

(3)復(fù)合函數(shù)的定義.本初等函數(shù)相區(qū)別和

(2)比較復(fù)合函數(shù)與基本初等函數(shù)的異同？

聯(lián)系.

(4)例題選講

例1試說(shuō)明下列函數(shù)是怎樣

復(fù)合而成的？

⑴y=(2-/)3；

說(shuō)明：討論復(fù)合

函數(shù)的構(gòu)成時(shí),''內(nèi)層”、

(2)y=sinx2;允許討論，

允許提問(wèn)，“外層”函數(shù)一般應(yīng)是

(3)y—COS。-x)允許爭(zhēng)論，基本初等函數(shù),如一次

允許修正，

函數(shù)、二次函數(shù)、指

⑷y=lnsin(3x-l).允許置疑.

數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

例2寫(xiě)出由下列函數(shù)復(fù)合而老師點(diǎn)評(píng).

三角函數(shù)等.

成的函數(shù)：

(Dy=cosw,〃=1+工2；

(2)y=Inw,u=\nx,

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(1)能否用學(xué)過(guò)四則運(yùn)算解決問(wèn)題？

(2)新方法：將函數(shù)》=(3x-2)2看作是函

數(shù)了=〃2和函數(shù)〃=3》一2復(fù)合函數(shù)，并分

別求對(duì)應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：

2

y'u=(?)'=2〃，u'x-(3x-2)'=3

兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘，得

兩種方法作對(duì)照與比

例3.求函數(shù)y'u'=2?3=2(3%-2)CB=18x-12,從而

ux較，體會(huì)不同的解決方

y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù).法與策略.鼓勵(lì)學(xué)生模

有月=刈嘰

仿并及時(shí)修正.

對(duì)于一般的復(fù)合函數(shù),結(jié)論也成立，以

后我們求V,時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為求為'和

*的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間

變量的不同，難易程度不同.

(3)能否用方法(2)解決⑵教科書(shū)P16思考

題：如何求函數(shù)y=ln(x+l)的導(dǎo)數(shù)？

(4)學(xué)生動(dòng)手,可板演,可用實(shí)物投影儀講評(píng).

(6)自學(xué)教科書(shū)P17例4.學(xué)生自學(xué),教師巡堂并答疑.在摸索中熟悉.

⑺例4：TT

分析：設(shè)w=sin(2x+7)時(shí)，求i/J,但此時(shí)

冗

求產(chǎn)sin2(2^+—)的導(dǎo)數(shù).必要時(shí)老師應(yīng)板書(shū)詳

3

TT細(xì)過(guò)程.

〃仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)廠2G—.

3

解略.

(8)課堂練習(xí)：

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)(1)20(5x7)3

中間變量,再求導(dǎo)).(2)15(2+3x)4

(1)7=(5%—3)4(3)—6x(2—x2)2

鞏固提高.

⑵產(chǎn)(2+3x)5(4)24x5+16x3+2x

⑶產(chǎn)(2T”可板演,可小測(cè).

(4)y=(2/+x)2核對(duì)答案、講評(píng)并小結(jié).

⑴復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合

(10)課堂小結(jié)函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；

⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解一一求導(dǎo)一一相乘一一回代.

2

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(11)作業(yè)布置：教科書(shū)Pl8A3,4⑹，8,B3

練習(xí)與測(cè)試：

1.填空：

2

⑴(x,=()(/+1)一雙),(}J+x=()sinx-(1+/)()

%2+1(x2+l)22sinx4sin2x

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(l)y=0——(2)y-X+(3)y=tanx(4)y=-----------

a+x3『1—COSX

3.判斷下列求導(dǎo)是否正確,如果不正確,加以改正.

1+COSX、，2x(1+cosx)+x2sinx

--3—)=

Xx2

4.求y=4

的導(dǎo)數(shù)

sinx

4-x3

5.求y=的導(dǎo)數(shù).

-X2cosx

6.求函數(shù)y=(2x2—3)Jl+蛇的導(dǎo)數(shù).

參考答案：

1⑴??/XV(l)(x2+l)-x(2x)

1.⑴?(―------)=---------------；-------：-----------=-------------z-------;--------

X+1(X+1)*(X+1)~

1+X2(1+x2)'2sinx-(l+x2)(2sinx)'

⑵5)’=

(2sinx)2

2x?2sinx-(1+x2)(2cosx)_(4x)sinx-(l+x2)(2cosx)

4sin2x4sin2x

Q小，x)'(a+x)—x)(a+x)'

/?\A/y—\)—2

a+x(Q+X)-

一(Q+x)(Qx)-2cl

(a+x)2(a+x)2

x+2(x+2)'(3x2)_(x+2)(3x2y

⑵y'=()

(3一)2

3

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3x--(x+2)(6x)-3x2—12xx+4

9x4―97

，/「/Sinx、，(sinx\cosx-sinx(cosx)f

(3)y=(tanx)=(-----)=---------------------------

cosx(cosx)

cosx+sinx1

=---------------=-------=sec2x

COSXCOSX

ir(i-cosx)-i-(i-cosxy

⑷y=(--------)=------------------；--------

1-cosx(1-cosx)

0(1-cosx)-sinx_sinx

(1-cosx)2(1-cosx)2

3.不正確,分母未平方,分子上正負(fù)號(hào)弄錯(cuò).

1+cosx,(1+cosx)fx2一(1+COSx)(x2y

\2/

X

xsinx+2cosx+2

1-x2(1-x2)'sinx-(l-x2)(sinx)'

4.y'=(---------)'

sin尤(sin%)2

-2xsinx-(l-x2)cosx

sin2x

4-x?(4-x3)'x2cosx-(4-x3)(x2cosx\

5.y'=(二------)'

Xcosx(x2cosx)2

-3x2-x2cosx-(4-x3)(2xcosx-x2sinx)

一

X4COS2X

-x4cosx-8xcosx+4x?sinx-sinx

=------------------;----;-------------------

XCOSX

_(4-x4)sinx-(x3+8)cosx

x3cos2X

-2xsinx-(l-x2)cosx

sin2x

4-x',(4-x3)zx2cosx-(4-x3)(x2cos%)1

X"cosx(xcosx)

4

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-3x2-x2cosx-(4-x3)(2xcosx-x2sinx)