《利用三角形全等測(cè)距離》 示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)】

第四章三角形4.5利用三角形全等測(cè)距離教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)利用三角形全等測(cè)距離；2.體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，能夠利用三角形全等解決生活實(shí)際問題．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用三角形全等的知識(shí)將“不可測(cè)量的距離”轉(zhuǎn)化為“可測(cè)量的距離”．難點(diǎn)：如何構(gòu)建全等的模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題（即建模）在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)．三、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件四、相關(guān)資源相關(guān)圖片五、教學(xué)過程【復(fù)習(xí)鞏固】1．復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及判定條件2．在下列各圖中，以最快的速度畫出一個(gè)三角形，使它與△ABC全等，比比看誰快！（以小組為單位搶答或個(gè)人搶答或根據(jù)不同情況而定）題如下：設(shè)計(jì)意圖：通過第1個(gè)問題的提問可以溫習(xí)與本節(jié)有關(guān)的知識(shí)，幫助基礎(chǔ)較弱或掌握不牢的學(xué)生鞏固舊知識(shí)，同時(shí)也是本節(jié)課的理論基礎(chǔ)；第2個(gè)問題是為學(xué)習(xí)新內(nèi)容作鋪墊，向?qū)W生進(jìn)一步滲透理論聯(lián)系實(shí)際．【問題情境】引入一位經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)的老人講述的一個(gè)故事，（圖片顯示）；在一次戰(zhàn)役中，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的敵軍碉堡，需要測(cè)出我軍陣地到敵軍碉堡的距離．由于沒有任何測(cè)量工具，我軍戰(zhàn)士為此絞盡腦汁，這時(shí)一位聰明的戰(zhàn)士想出了一個(gè)辦法，為成功炸毀碉堡立了一功．配合簡(jiǎn)圖如下:教師提出問題：你知道聰明的戰(zhàn)士用的是什么方法嗎？能解釋其中的原理嗎？設(shè)計(jì)意圖：用真實(shí)的故事導(dǎo)入新課，體現(xiàn)了三角形全等在生活中的廣泛應(yīng)用，適時(shí)的提問，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和好勝心．學(xué)生獨(dú)立思考后，小組間相互交流看法．教師要注意幫助學(xué)生審題，引發(fā)學(xué)生思考，并有主動(dòng)嘗試?yán)萌切稳葋斫鉀Q實(shí)際問題的欲望，從而引出課題---利用三角形全等測(cè)距離．【探究新知】探究一：情境探究(1)學(xué)生親自體驗(yàn)戰(zhàn)士的測(cè)量方法．學(xué)生利用已有的材料(如書本等)作帽檐，分小組在教室或操場(chǎng)上按照戰(zhàn)士的方法親自測(cè)量一下指定目標(biāo)的距離，驗(yàn)證戰(zhàn)士測(cè)量方法的合理性．教師巡視指導(dǎo)．個(gè)別組個(gè)別同學(xué)未能正確理解戰(zhàn)士做法，教師適時(shí)提醒．特別注意：為避免較大誤差可讓學(xué)生步測(cè)時(shí)多量幾次．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)于情境中戰(zhàn)士的做法十分陌生，這里的體驗(yàn)活動(dòng)正好讓他們對(duì)戰(zhàn)士的測(cè)量有一個(gè)直觀理解．利用現(xiàn)成材料讓學(xué)生在操作驗(yàn)證過程中培養(yǎng)合作參與精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度．(2)教師出示教科書圖．鼓勵(lì)學(xué)生在剛才實(shí)踐操作的基礎(chǔ)上思考，并與同伴交流：戰(zhàn)士這么測(cè)量的依據(jù)是什么？你能解釋其中的道理嗎？

學(xué)生歸納總結(jié)是利用三角形全等知識(shí)；利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．(3)教師引出課題：利用三角形全等測(cè)距離．

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生自己說明理由，鍛煉了他們數(shù)學(xué)思考能力和語言表達(dá)能力．探究二：實(shí)例探究(1)出示教科書想一想：如圖，A，B兩點(diǎn)位于一個(gè)池塘兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，你能幫小明想想辦法測(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離嗎？請(qǐng)說明理由．(2)學(xué)生獨(dú)立思考3分鐘后，分組交流探討：如何測(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離．教師巡視指導(dǎo)，特別關(guān)注有困難的學(xué)生此時(shí)是否積極參與．(3)各組匯報(bào)交流討論的結(jié)果，教師板書出現(xiàn)的解決方案，由學(xué)生說明其理由．學(xué)生出現(xiàn)的解決方案：先在地面取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=AC，連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB，連接DE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，DE的長(zhǎng)度就是A，B間的距離．學(xué)生提出的可能不止一種解決方法，教師要盡可能讓學(xué)生用自己的語言有條理地表達(dá)．教師對(duì)各種解決方案做簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)．設(shè)計(jì)意圖：這里沒有按照書上的“給出解決方案，說明理由”，而是讓學(xué)生“自主解決問題，說明理由”，把課堂還給學(xué)生，把問題交給學(xué)生，由學(xué)生自主探索交流得出結(jié)論，學(xué)生將感受到成功的喜悅，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的意識(shí)和能力．【典型例題】例1.小強(qiáng)為了測(cè)量一幢高樓的高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P．測(cè)得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC＝36°，測(cè)樓頂A視線PA與地面夾角∠APB＝54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB＝36米，小強(qiáng)計(jì)算出了樓高，樓高AB是多少米？分析：根據(jù)題意可得△CPD≌△PAB(ASA)，進(jìn)而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°．在△CPD和△PAB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB．∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：樓高AB是26米．設(shè)計(jì)意圖：在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)遇到一些難以直接測(cè)量的距離問題，可以利用三角形全等將這些距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到測(cè)量目的．例2．如圖所示，有一池塘，要測(cè)量池塘兩端A、B的距離，請(qǐng)用構(gòu)造全等三角形的方法，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案(畫出圖形)，并說明測(cè)量步驟和依據(jù)．分析：本題讓我們了解測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離的一種方法，設(shè)計(jì)時(shí)，只要符合全等三角形全等的條件，方案具有可操作性，需要測(cè)量的線段在陸地一側(cè)可實(shí)施，就可以達(dá)到目的．解：在平地任找一點(diǎn)O，連OA、OB，延長(zhǎng)AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，則CD＝AB，依據(jù)是△AOB≌△COD(SAS)．例3.（1）如圖，O為AC，BD的中點(diǎn)，則圖中全等三角形共有（）對(duì)．CA．2B．3C．4D．5（2）如圖，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，那么△ACD≌△AEB的依據(jù)是（）CA．ASAB．AASC．SASD．SSS（3）要測(cè)量圓形工件的外徑，工人師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的卡鉗，點(diǎn)O為卡鉗兩柄交點(diǎn)，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圓形工件恰好通過卡鉗AB，則此工件的外徑必是CD的長(zhǎng)，其中的依據(jù)是全等三角形的判定條件()BA．SSSB．SASC．ASAD．AAS例4．如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆頭打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的B點(diǎn)處打開，墻壁厚是35cm，B點(diǎn)與O點(diǎn)的鉛直距離AB長(zhǎng)是20cm，工人師傅在旁邊墻上與AO水平的線上截取OC＝35cm，畫CD⊥OC，使CD＝20cm，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從B點(diǎn)處打出，這是什么道理呢？請(qǐng)你說出理由．分析：由OC與地面平行，確定了A，O，C三點(diǎn)在同一條直線上，通過說明△AOB≌△COD可得D，O，B三點(diǎn)在同一條直線上．解：∵OC＝35cm，墻壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA．∵墻體是垂直的，∴∠OAB＝90°．又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°．在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB．∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴鉆頭正好從B點(diǎn)出打出．設(shè)計(jì)意圖：在解決方案設(shè)計(jì)探究問題時(shí)，符合條件的方案設(shè)計(jì)往往有多種，解題的關(guān)鍵在于通過分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造出全等三角形進(jìn)行解決．【隨堂練習(xí)】1．如圖所示，將兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)連在一起，使AA′，BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則A′B′的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB，那么判定ΔOAB≌ΔOA≌B≌的理由是()AA．邊角邊B．角邊角C．邊邊邊D．角角邊2．如圖，將兩根鋼條的中點(diǎn)O連在一起，可以作成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（工人把這種工具叫卡鉗），只要量出的長(zhǎng)度，就可以知道工件的內(nèi)徑AB是否符合標(biāo)準(zhǔn)，你能說出工人這樣做的道理嗎？解：在和中∴≌（SAS）．∴．3．如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段弧狀，A、B之間的距離不能直接測(cè)量，你能用已學(xué)過的知識(shí)或方法設(shè)計(jì)測(cè)量方案，求出A、B之間的距離嗎？解：在湖右邊的空地上選一個(gè)能直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的C點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)至D，使，連接BC并延長(zhǎng)至E，使，連接DE，并測(cè)量DE的長(zhǎng)度即可求出A、B之間的距離．4．如圖，要測(cè)量河岸相對(duì)兩點(diǎn)A，B的距離，可以從AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D．使BC=CD，過D作DE⊥BF，且A，C，E三點(diǎn)在一直線上，若測(cè)得DE=15米，即可知道AB也為15米，請(qǐng)你說明理由．解：由題意可知，∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠BCA=∠DCE，從而△ABC≌△EDC，故AB=DE=15米設(shè)計(jì)意圖：利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊來測(cè)量不能直接測(cè)量的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．【課堂小結(jié)】1．利用全等三角形測(cè)量距離的依據(jù)“SAS”“ASA”“AAS”2．運(yùn)用三角形全等解決實(shí)際問題設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，掌握利用三角形全等測(cè)距離的基本類型與方法．【板書設(shè)計(jì)】4.5利用三角形全等測(cè)距離4.5利用三角形全等測(cè)距離一、情境探究二、實(shí)例探究三、練習(xí)八、布置作業(yè)2．如圖所示，為了測(cè)量出A，B兩點(diǎn)之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C，連接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延長(zhǎng)線上確定D，使CD＝BC，那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度也就得到了A，B兩點(diǎn)之間的距離．你能說明其中的道理嗎？3．如圖3所示，有一塊巨大的長(zhǎng)方形廣告牌，上面畫了一條對(duì)角線AC，為了求出這個(gè)廣告牌的高BC，幾個(gè)同學(xué)在地面上畫出了ΔABC，(如圖3所示)，其中∠BAC′＝∠BAC，∠ABC′是直角，則BC′的長(zhǎng)和廣告牌的高是相同的，你能說明其中的道理嗎？4．如圖所示，為了測(cè)得河寬AB，在地面上作出了與AB垂直的線段AC，又作出了BA的延長(zhǎng)線AM，為了在AM上得到與BA相等的線段AB′，還應(yīng)該怎樣做呢？5．有一個(gè)小水庫，水面的形狀如圖所示．能不能仿照課本中的“想一想”測(cè)出它的最窄的地方A，B兩點(diǎn)之間的距離呢？如果能的話，請(qǐng)畫圖表示出做法．6．如圖所示，鐵路上A，B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距14km，C，D為兩村(可視為兩個(gè)點(diǎn))，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使C，D兩村到正站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？答案：1．提示：因?yàn)镺是AA′和BB′的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝OA′，OB＝OB′，且∠AOB＝∠A′OB′，符合三角形全等的條件．故選A．2．解：因?yàn)镃D＝BC，∠ACD＝∠ACB＝90°，AC＝AC，所以ΔACD≌ΔACB，所以AD＝AB．3．提示：由∠CAB＝∠C′AB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABC′知，ΔABC與ΔABC′符合“ASA”，且BC與BC′是對(duì)應(yīng)邊，所以BC＝BC′．4．提示：在地面上畫射線CB′，與AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB．5．解：不能．6．解：E站應(yīng)建立在距A站6km處．理由：因?yàn)锽E＝AB-AE＝14-6＝8(km)，所以AD＝BE，AE＝BC．在ΔADE和ΔBEC中，所以ΔADE≌ΔBEC(SAS)．所以DE＝EC九、課堂檢測(cè)設(shè)計(jì)1．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，可以證明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)（如圖）．判定△EDC≌△ABC的理由是A．邊角邊公理 B．角邊角公理C．邊邊邊公理 D．斜邊直角邊公理2．如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測(cè)得．你能用已學(xué)過的知識(shí)或方法設(shè)計(jì)測(cè)量方案，求出A、B間的距離嗎？3．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的點(diǎn)．（1）如果_________，則△DEC≌△BFA；（請(qǐng)你填上能使結(jié)論成立的一個(gè)條件）（2）說明你的結(jié)論的正確性．4．如圖所示，A，B兩個(gè)建筑物分別位于河的兩岸，要測(cè)得它們之間的距離，可以從B出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取BC＝CD，過D作DE∥AB，使E，C，A在同一條直線上，則DE的長(zhǎng)就等于A，B之間的距離，請(qǐng)你說明道理．答案：1．B2．要測(cè)量A、B間的距離，可用如下方法：（1）過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，根據(jù)“角邊角公理”可知：△EDC≌△ABC．因此：DE=AB．即測(cè)出DE的長(zhǎng)就是A、B之間的距離．（如圖）（2）從點(diǎn)B出發(fā)沿湖岸畫一條射線BF，在BF上