備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-立體幾何綜合練

專(zhuān)題8.6立體幾何綜合練

題號(hào)一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）a、6為空間中兩條不同的直線，a、力為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.若?！╞,a//a,則b〃a

B.若a、b為異面直線，則過(guò)空間任一點(diǎn)存在直線c與a、b都垂直

C.若aua,=b,則a與6相交

D.若。不垂直于a,且6utz,則“不垂直于人

2.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍，那么球的體積增大為原來(lái)的（）

A.4倍B.8倍C.16倍D.32倍

3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）以下向量中與向量。=（1,2,3）,b=（3,1,2）都垂直的向量為（）

A.(1,7,5)B.(1,-7,5)C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)

4.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1,在高為〃的直三棱柱容器ABC-A瓦G中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌

進(jìn)一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為48。

（如圖2）,則容器的高〃為（）

D.6

5.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，ZAPB=ZBPC=ZAPC=90°,M在，內(nèi),

ZMPA=60°,NMPB=45。，則NMPC的度數(shù)為（）

C.60°D.75°

6.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在邊長(zhǎng)為2的正方體ABO-AAG，中，點(diǎn)”在線段8a上（含端點(diǎn)位置），現(xiàn)有如

下說(shuō)法：①CM〃平面$8。；②CMLAC］；③點(diǎn)加到平面A3GA的距離的最大值為1.則正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知二面角a-/-/的大小為120。，點(diǎn)8、C在棱/上，Aea,DeJ3,ABLl,CD11,AB=2,

BC=1,CD=3,則4D的長(zhǎng)為（）

A.y/14B.V13C.2拒D.2^5

3

8.（2。23?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）腰長(zhǎng)為2的等腰，他C的頂角為A’且cosA="將一ABC繞3C旋轉(zhuǎn)至△及心

的位置得到三棱錐。-ABC,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)其外接球面積為（）

A.以

B.8兀

7

D,成兀

C.7兀

7

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，己知。（0,0,0）,（9A=（-1,2,1）,OB=（-1,2-1）,OC=（2,3,-1）,

則（）

A.|AB|=2

B.A5C是等腰直角三角形

C.與。4平行的單位向量的坐標(biāo)為-A--，T-]———5—-—]

I636J636J

（242、

D.OA在08方向上的投影向量的坐標(biāo)為

10.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知。涉表示兩條不同的直線，％?表示兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的

是（）

A.若。_La,a_L￡,則a///?

B.若a，0,a，a,aHb,bu0,則b〃6

C.若a〃b,bLa,則aJ_a

D.若a//<z力ua,則allb

11.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐尻殿頂?shù)奈蓓敇邮?，虎?/p>

頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱(chēng)五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又稱(chēng)四阿頂.如

圖，某幾何體ABCDEF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類(lèi)似.已知底面A8CD為矩形，AB=2AD=2EF=12,EFHAB,

TT

S.EA=ED=FB=FC,M、N分別為AD、8C的中點(diǎn)，EN與底面ABC。所成的角為§,過(guò)點(diǎn)E作

垂足為下列說(shuō)法正確的有（）

A.ADJ_平面EFMW

B.EH=2上

C.異面直線與跖所成角的余弦值為3

D.點(diǎn)H到平面AB/花的距離為3百

12.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABC。中，E、尸分別為BC、AD的中點(diǎn)，且

BC=2AB=2,現(xiàn)將,ABE沿AE問(wèn)上翻折，使3點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸，使得PE//CP

B.存在點(diǎn)尸，使得PELED

C.三棱錐尸-AE。的體積最大值為也

6

D.當(dāng)三棱錐尸-AED的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐尸-外接球表面積為4兀

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.（2021■高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和。CE戶不在同一平面內(nèi)，M,N分別為AB,￡>尸的

中點(diǎn).若CD=2,平面ABC。，平面。CE/L則線段AN的長(zhǎng)為,線段MN的長(zhǎng)為.

14.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）己知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為A8,CD且AS>CD,梯形ABC。繞AB所在的

直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由、、的幾何體構(gòu)成的組合體.

15.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直三棱柱ABC-AgG中，ZACB=90°,ABAC=30°,3c=1,A4,=灰，M是CG的

中點(diǎn)，則異面直線A片與4知所成角為

16.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）某同學(xué)在勞技課上設(shè)計(jì)了一個(gè)球形工藝品，球的內(nèi)部有兩個(gè)內(nèi)接正五棱錐，兩正五

棱錐的底面重合，若兩正五棱錐的側(cè)棱與底面所成的角分別為。、?，貝。tana+tan4的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（2023春?安徽?高二安徽某中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體93中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，.CDE是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，DEJ.CD,AC1BC,DE//AC,AC=2DE.

(1)作出平面BCD與平面ABE的交線，并說(shuō)明理由;

(2)求點(diǎn)A到平面BCE的距離.

18.(2023春?安徽?高一安徽省某中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在四棱錐中，

平面ABC。，AB±AD,

AD=2BC,AD!IBC,AC,BD交于點(diǎn)、0.

(1)求證：平面RR_L平面PAD；

PE

(2)設(shè)E是棱尸。上一點(diǎn)，過(guò)￡作跖/4￡),垂足為尸，若平面OFE7/平面巴4B,求:「的值.

19.(2023春?高一課時(shí)練習(xí))已知長(zhǎng)方體ABC。-4耳￡A中.

⑴若AB=5,M=4,AD=3,試求在長(zhǎng)方體表面上從A到C1的最短路線;

⑵若43=。，AAt-b,AD=(^a>8>c,試求在長(zhǎng)方體表面上從A到G的最短距離.

20.(2023?北京西城?北京師大附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖在幾何體A3CDEE中，底面ABCD為菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AELAD,AB=AE=2DF=2.

E

（1）判斷AO是否平行于平面CEF,并證明；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求:

（i）平面ABCD與平面CEF所成角的大??；

（ii）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

條件①：面面ABCD

條件②：BD1CE

條件③：EF=CF

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中DC=2AB=6AE，AB=6,

AD=2.

⑴在線段CO上找出點(diǎn)F,將四邊形ADEE沿所翻折，形成幾何體ABE-D'CF.若無(wú)論二面角4-EF-8多大,

都能夠使得幾何體A'3E-DCF為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)尸的具體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）.

⑵在（1）的條件下，若二面角A-3為直二面角，求棱臺(tái)A'BE-Z/CF的體積，并求出此時(shí)二面角HD-E

的余弦值.

22.（2023?全國(guó)?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱ABC-A4G如圖所示，其中NC4B=45。,

C4=A414AB，點(diǎn)。在線段A。上（不含端點(diǎn)位置）.

B

⑴若BtD=2CD=25/2,求點(diǎn)A到平面ABD的距離；

(2)若平面ABD與平面ABC夾角的余弦值為g,求直線4。與平面W所成角的正弦值.

專(zhuān)題8.6立體幾何綜合練

題號(hào)一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）a、6為空間中兩條不同的直線，a、4為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.若?！?,a//a,則b〃a

B.若a、6為異面直線，則過(guò)空間任一點(diǎn)存在直線c與6都垂直

C.若au（z,ac/3=b,則。與匕相交

D.若。不垂直于a,且bua,則"不垂直于6

【答案】B

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理等即可判斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若?！?,a//a,則bua或b〃a,A錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)C,若aua,ac\0=b，a6或。與6相交，C錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)D,若。不垂直于a,且Z?ua,?？赡芘cb垂直，D錯(cuò);

對(duì)于選項(xiàng)B,過(guò)空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線可以確定一個(gè)平面，

過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線有且只有一條，B正確.

故選：B

2.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍，那么球的體積增大為原來(lái)的（）

A.4倍B.8倍C.16倍D.32倍

【答案】B

【分析】設(shè)原來(lái)球體的半徑為R,利用已知條件計(jì)算出球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍后的半徑R「找出前后半徑

的關(guān)系式，然后利用球體的體積公式分別算出前后的體積，相比即可.

【詳解】設(shè)原來(lái)球體的半徑為R,

則原來(lái)球體的大圓面積為：S=4TIR2,

4?

原來(lái)球體的體積為：V=-^>

當(dāng)球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍時(shí)，

此時(shí)有大圓面積S1=4S,

設(shè)此時(shí)大圓半徑為凡即大圓面積增大后球體的半徑,

由S]=4S=16兀R2=4兀R：n&=2R,

44

33

此時(shí)球體體積為：V=-7i/?1=-7ix8T?,

33

4a

-71X8收

由—=8,

V3成3

3

所以球的體積增大為原來(lái)的8倍.

故選：B.

3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))以下向量中與向量。=(1,2,3),6=(3,1,2)都垂直的向量為()

A.(1,7,5)B.(1,-7,5)C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.

【詳解】對(duì)于A,(1,2,3)-(1,7,5)=1+14+15=30^0,故A不正確；

對(duì)于B,(1,2,3)-(1,-7,5)=1-14+15=2^0,故B不正確；

對(duì)于C,(1,2,3>(-1,-7,5)=-1-14+15=0,(3,1,2)-(-1,-7,5)--3-7+10=0,故C正確；

對(duì)于D,(1,2,3)-(1,-7,-5)=1-14-15=^280,故D不正確.

故選：C

4.(2023?黑龍江哈爾濱?哈九中校考模擬預(yù)測(cè))如圖1,在高為〃的直三棱柱容器ABC-AqG中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌

進(jìn)一些水，水深為2,然后固定容器底面的一邊A3于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為A4c

(如圖2),則容器的高〃為()

后，

cA/

圖1圖2

A.20B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】利用兩個(gè)幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.

【詳解】解：在圖(1)中的幾何體中，水的體積為匕=S”cx2=2S”c,

在圖(2)的幾何體中，水的體積為：-VC-^C,=SABCx^-1x

S4sle1x〃=飛SAB(jh,

2

因?yàn)樨?匕，可得=解得/i=3.

故選：B.

5.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖所示，在三棱錐尸—ABC中，ZAPB=NBPC=ZAPC=90。,M在一ABC內(nèi),

ZMPA^60°,ZMPB=45°,則/MFC的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】先證明“三余弦”定理，mcosZMPB=cosZMPQxcosZQPB,得到cosNQ尸B=',從而可得cosNQPC耳，

再用公式：cosZMPC=cosZMPQxcosZQPC,即可求/MFC.

【詳解】先證明：如圖，設(shè)A為平面。上一點(diǎn)，過(guò)A的斜線AO在面a上的射影為AB,AC為平面a上任意一條直

線，記NOAC=6,NOA3=%NBAC=%,則cos。=cos4?cos2.

證明如下：過(guò)B作3CLAC于C,

由于O3_L平面a,ACue，所以08_LC4,BCcB。=C,BC,3Ou平面QBC,故AC_L平面O3C,

ACARAC

OCu平面OBC，所以AC_LCO貝［|cos。=,cos^=,cos02—...，所以cos6=cos'—os%

過(guò)加做平面尸3c的垂線，交平面P5C于。，連接P。.

ZAPB=ZAPC=90°,平面PBC,

MQ，平面尸3C,.'.AP//MQ

ZMPA=60°,/.ZMPQ=90°-60°=30°.

由公式：cosZ.MPB=cosZMPQxcosZQPB,得到CosZQPB

NQPC是NQPB的余角，所以cos“PC=￥

再用公式：cosZ.MPC=cosZMPQxcosZQPC,得至UcosNAffC=g

:.ZMPC=6Q°

故選：C.

6.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在邊長(zhǎng)為2的正方體A2CO-A4GR中，點(diǎn)M在線段BQ上（含端點(diǎn)位置），現(xiàn)有如

下說(shuō)法:①CW〃平面A3。；②CMLAG；③點(diǎn)M到平面ABG2的距離的最大值為1.則正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，判斷線面，面面位置關(guān)系.

在正方體A28-AqGR中,

因

BD<=平面ABD,BRa平面AtBD,

所以用2〃平面AB。，

又因4D//C4,

u平面\BD,CBX<z平面\BD,

所以CBJ/平面AB。，

又BQ"CB]B],BQu平面CgR,CB|U平面CBQ一

所以平面AB。//平面CBQ,

因CMu平面CBlDl,

所以CM〃平面48。，故①正確;

因用CJLBC],B.CLAB,

BCX\AB=B,8C]u平面ABC],ABu平面A^G，

所以用CL平面A8G，又因A￡u平面ABC-

Aq1BjC,同理AC]_LAC,

因4。D[C=C,gCu平面CBQ1，RCu平面CBQi，

所以平面CBQ,。0（=平面（?耳。，故CMLAC”故②正確；

當(dāng)點(diǎn)M在端點(diǎn)與時(shí)，點(diǎn)M到平面A3CQ的距離為最大值即,C=四，③錯(cuò)誤.

故選：C.

7.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知二面角&-/一￡的大小為120。，點(diǎn)8、C在棱/上，A&a,De]3,ABll,CD11,AB=2,

BC=\,CD=3,則A。的長(zhǎng)為（）

A.714B.V13C.272D.275

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及二面角的概念求解.

又二面角a-/-￡的大小為120。，故（A3,C￡>>=60。,

/.AB-CD=2x3xcos60°=3?

y.AD=AB+BC+CD,

AD2=^AB+BC+CD^

=AB2+BC2+CD2+2^ABBC+BCCD+ABCD^

=22+12+32+2X（0+0+3）

=20,

:.\AD\=245,

即AD的長(zhǎng)為2遂,

故選：D

3

8.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）腰長(zhǎng)為2的等腰—ABC的頂角為A,且cosA=：,將一ABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△BCD

4

的位置得到三棱錐ABC,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)其外接球面積為（）

B.8兀

n8夜

C.7兀D.---兀

7

【答案】A

【分析】在ABC中，求得2C=&,根據(jù)題意得到三棱錐ABC體積最大時(shí)，平面D5CL平面A3C,取3C中

點(diǎn)、E,得到DELBC,進(jìn)而得到。Q//QE且。。2=。也，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，分別求得ABC和

△BCD的外接圓的半徑小々，R2=OOl+DO；=（AE-z;）2+,進(jìn)而求得外接球的表面積.

3

【詳解】在ABC中，因?yàn)锳3=AC=2,cosA=:，

4

3

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA=22+2?-2x2x2x-=2,所以BC=立,

當(dāng)三棱錐ABC體積最大時(shí)，平面D3CL平面A3C,

因?yàn)镺C=D3=2,取8C中點(diǎn)E,則。EL3C,

設(shè)。為AABC外接圓圓心，。為三棱錐O-ABC外接球心，則。?！?。石，

再設(shè)。2為△BCD外接圓圓心，平面OBC,則。。2//?；蚯?。2=?！?，

設(shè)三棱錐ABC外接球的半徑為R

在直角AOD。2中，可得8=氏且爐=。。；+。。；，

因?yàn)閏osA=—,可得sinA=Jl—cosA=

44

所以ABC外接圓半徑4=匹=上好，所以a=亞，

1sinA717

因?yàn)锳BC^BCD,

所以△BCD的外接圓的半徑々=冬但，且=sinA=sinD=—

274

在△3C。中，a}^-DBDCsinD=-xBCDE,可得?！?巫，

222

所以改=。0；+。。；=（AE一/了+片=（浮一野y+（當(dāng)產(chǎn)=H,

所以外接球的表面積為s=4兀代=學(xué)7t.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))空間直角坐標(biāo)系中，已知0(0,0,0),OA=(-1,2,1),OB=(-1,2,-1),OC=(2,3,-1),

則()

A.網(wǎng)=2

B.ABC是等腰直角三角形

C.與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為［坐,一半,一叫或［-手,寫(xiě)償］

(636J636J

(242、

D.。(在03方向上的投影向量的坐標(biāo)為卜

【答案】AC

【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的加減法得出坐標(biāo)，再利用向量的模長(zhǎng)公式

UUUI-----------------------------------------

IAB|=J(占一%)2+(%-%>+(4—Z2)2，可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出三角形三條邊長(zhǎng)，可判斷B選項(xiàng)；與已知向量平行

I

ra_

的單位向量計(jì)算公式：e=土阜可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)。4在。8方向上的投影向量與向量共線的性質(zhì)，可判斷D

選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，

UUUUUUUL1

AB^OB-OA

=(-1,2,-1)-(-1,2,1)

=(0,0-2)

UUU-------------------

.--IAB|=7o2+02+(-2)2=2,選項(xiàng)A正確；

numULUUUUL

AC=OC-OA

=(2,3,-1)-(-1,2,1)

=(3,1,-2)

uun,------------------

AC\=V32+12+(-2>=V14

UL1UUUUlULIH

BC=OC-OB

=(2,3,-l)-(-l,2,-l)

=(3,1,0)

uun,--------------

.-.|BC|=A/32+12+02=V10

計(jì)算可得，一ABC三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確;

與OA平行的單位向量為：

,（-1,2,1）

~7（-1）2+22+12

（-1,2,1）

=~^r

=+（_西諉西

一（65356；

選項(xiàng)C正確；

OA在。8方向上的投影向量與。8向量共線，I1=2,1）,選項(xiàng)D不正確，

故選：AC.

10.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知。,6表示兩條不同的直線，兄〃表示兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的

是（）

A.若。_La,q_L￡,則a〃尸

B.若a1/3,a1a,a/!b,ba/3,貝!|?！ㄏ?/p>

C.若allb,bLa,則a_Lc

D.若。〃a力ua,則a〃B

【答案】AC

【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】若則由直線與平面垂直的性質(zhì)可得&〃￡，故A正確.

若a，B，a〃b,則故匕與夕有交點(diǎn)，匕〃?錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤.

若6_1&,則6垂直平面a內(nèi)的兩條相交直線加與“，

又ab,貝!則aJ_a,故C正確.

若。〃a/ua,則a6或a與匕異面，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐疣殿頂?shù)奈蓓敇邮?，疣?/p>

頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱(chēng)五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又稱(chēng)四阿頂.如

圖，某幾何體ABCDSF有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類(lèi)似.已知底面ABCD為矩形，AB=2AD=2EF=12,EFHAB,

TT

且EA=ED=FB=FC,M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，EM與底面ABC。所成的角為過(guò)點(diǎn)E作國(guó)，MN,

A.ADI,平面EFNM

B.EH=2上

C.異面直線EM與BF所成角的余弦值為。

D.點(diǎn)H到平面至￡￡的距離為3g

【答案】AC

【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)；證明出平面ABCO,以點(diǎn)//為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA>DC、HE

的方向分別為x、>、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M“=a(O<q<12),利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求

出。的值，可求出的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BC。為矩形，則AB〃CD,

因?yàn)槠矫鍯Z)￡7"CDu平面CDEF,則AB〃平面CDEF,

因?yàn)锳Bu平面至莊，平面ABFE)平面CD￡F=EF,所以，AB//EF,

因?yàn)锳D〃BC且AT>=8C,M、N分別為A￡>、BC的中點(diǎn)，

所以，AMHBNQAM=BN,故四邊形為平行四邊形，所以，MNHAB艮MN=AB,

所以，EF//MN,

因?yàn)锳D上AB,所以，AD1MN,

因?yàn)镋4=EE>,M是AD的中點(diǎn)，所以區(qū)M_LAT>.

因?yàn)?EM、MNu平面MNFE,所以，AD_L平面EFM0,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镸)_L平面EFNM,AOu平面A5cD,所以，平面ABCD1平面EFMW,

因?yàn)槠矫鍭BCDc平面跖M0=MN,EHu平面EFNM,

所以，Ea_L平面ABC。，

以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、HE的方向分別為x、》、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

IT

因?yàn)镋H_L平面ABCD,則EM與平面ABC。所成的角為NEMH=§,

因?yàn)樽?CF,N為BC的中點(diǎn)，則FNJ_3C,

又因?yàn)椤?=￡D=FB=bC,AD^BC,

所以，EM=^EA1-AM-=yjFB2-BN2=FN>

又因?yàn)镋FHMN,且E尸=1腦V=6,故四邊形施VFE為等腰梯形,

22

_MH

設(shè)MW=a（0<q<]2）,貝I]EH=MHtan工=技，貝I上例=~n=2a,

\/3cos—

3

則點(diǎn)N（0,12-a,0）、F（0,6,V3A）,

所以，回|=J（12-°-6）2+3°2=2a,即（6-a）2=q2,解得a=3,

所以，,M=&a=3為，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，

在RtEMH中,E（0,0,3后）、M（0,-3,0）,3（3,9,0）、尸（0,6,3—）,

EA/=（0,-3,-3A/3）,BF=（-3,-3,373）,

EMBF9-27A/5

cos（EM,BF

|EM|-|BF|6x3百一5

所以，異面直線EM與加■所成角的余弦值為骼，C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，易知A（3,—3,0）、3（3,9,0）、E（0,0,34）、H（0,0,0）,

設(shè)平面ABFE的法向量為"=（x,y,z）,AB=（0,12,0）,A￡=（-3,3,3^）,

n-AB=12y=0「（「、

則L,取x=VL可得

n?AE=-3x+3y+3A/3Z=0

3A/3

HE=（0,0,3⑹,則點(diǎn)H到平面ABEE的距離為=D錯(cuò).

\n\2

故選：AC.

12.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且

BC=2AB=2,現(xiàn)將,ABE沿AE問(wèn)上翻折，使8點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸，使得PE//CF

B.存在點(diǎn)P,使得PE1.ED

C.三棱錐尸-用的體積最大值為變

6

D.當(dāng)三棱錐尸-AED的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐尸-外接球表面積為4兀

【答案】BCD

【分析】由立體幾何的線線平行，線面垂直判定定理，外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,PEAE=E,AE//CF,因此PE,B不平行，

即不存在點(diǎn)P，使得PE//CF.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如圖：

取AE的中點(diǎn)0,連接尸尸，PO,OF,￡?,當(dāng)母'=1時(shí),

因?yàn)槭琌==變，即尸+。鏟=PF-.則尸O_L，

2

而OF_LAE,POIAE=O,OF_L平面R4E,

又。/分別為AE,的中點(diǎn)，

即O9〃ED,于是ED_L平面R4E,而PEu平面E4E,

則ED_LPE,故B正確；

對(duì)于C,在翻折過(guò)程中，令尸。與平面AEZ）所成角為凡

則點(diǎn)P到平面AED的距離h=尸Osin0=—sin0,

2

又△AED的面積為gAD?AB=1,

因此三棱錐尸—4ED的體積為：-cSAHEL)D-h=—rsinO<—r,

3oo

當(dāng)且僅當(dāng)。=90時(shí)，即PO1平面AED時(shí)取等號(hào)，

所以三棱錐尸-AE。的體積最大值為正，故C正確；

6

對(duì)于D,當(dāng)三棱錐尸-3)的體積達(dá)到最大值時(shí)，

三棱錐P-AED外接球的球心為歹，

故球的半徑為1,則球的表面積為4兀.故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.(2021?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和。C跖不在同一平面內(nèi)，M,N分別為AB,D尸的

中點(diǎn).若CD=2,平面ABC。，平面DCE7"則線段A7V的長(zhǎng)為,線段肱V的長(zhǎng)為.

【答案】亞瓜

【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到AD_L平面DCE7"即可得到AD_LOP,再用勾股定理求出AN,取CD的中點(diǎn)G,

連接MG,NG,即可得到MG_L平面。CEF,從而求出MN的長(zhǎng)度.

【詳解】因?yàn)槠矫鍭?CD_L平面DCEF,平面ABCDc平面。CEF=CD,ADu平面ABC。，

所以AD_L平面。CE/，D尸u平面。CE產(chǎn)，所以ADJ_DF,

所以在△A￡W中，ZADN=90。，因此;A/V=‘AD2+DN。=#>；

再取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG,因?yàn)锳BC。、DC跖為正方形，且邊長(zhǎng)為2,

所以MG_LCD,MG=2,NG=垃,MGIIAD,所以MGJ_平面DC防，

又NGu平面ZJCEP,所以MG_LNG,

所以MN=dMCf+NG=&.

故答案為：A/5;A/6

14.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）已知，ABC。為等腰梯形，兩底邊為AB,CD且AB>CD,梯形A8CZ）繞AB所在的

直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由、、的幾何體構(gòu)成的組合體.

【答案】圓錐圓柱圓錐

【分析】作DEIAB于E,于F,根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義和性質(zhì)得到答案.

【詳解】如圖所示：作止于E,CF1AB于尸，

VADE繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；

矩形EFCD繞A3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱；

△3尸C繞A3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；

故答案為：圓錐；圓柱；圓錐；

15.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直三棱柱ABC-A耳G中，ZACB=90°,ZBAC=3O°,BC=1,A41=A/6,M是CQ的

中點(diǎn)，則異面直線A片與4知所成角為.

【答案】90°

【分析】利用向量的分解，結(jié)合直棱柱中的線線關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可求出AM-A4=o.

如圖所示，根據(jù)題干條件可知AC=0,AB=2.

則AG?4旦=A/3X2XCOS30°=3,ClM-AiA=--xy/6'x.cosO°=3

AM=AC+GM，做=44—AA,于是=(4€；+(?也＞(4月-44),

根據(jù)直棱柱性質(zhì)，AG1AA-于是AC/AA=0,￡".44=0,

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，于是4M?A4=(AG+GM)?(AM-A勾=AC?A4-GM?AA=3-3=o.

則AM，做，即異面直線網(wǎng)與4陽(yáng)所成角為90。.

故答案為：90°

16.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）某同學(xué)在勞技課上設(shè)計(jì)了一個(gè)球形工藝品，球的內(nèi)部有兩個(gè)內(nèi)接正五棱錐，兩正五

棱錐的底面重合，若兩正五棱錐的側(cè)棱與底面所成的角分別為。B,貝|tana+tan尸的最小值為.

【答案】2

【分析】由尸。工平面筋3,得到側(cè)棱PAQA與底面所成的角，設(shè)/上=4QAH=/3

分別在直角」^4“和.QAH中，求得tana+tan4=￡產(chǎn)+￡二3=廣，結(jié)合4HKR,即可求得tana+tan/取值最

AHAHAH

小值.

【詳解】如圖所示，設(shè)另個(gè)正五棱錐外接球。的半徑為R,球心到底面ABCDE的距離為d,

又由平面ABCDE,所以ZR4H和NQAH分別為側(cè)棱尸AQA與底面所成的角，設(shè)NB4H=。，ZQAH=

分別在直角R4H和一QAH中,

PO+OHR-\-dPO—OH_R-d_

可得tana=,tan力=

AHAHAH~AH

R+dR—d27?

所以tana+tan6=----1----=---

AHAHAH

又由所以當(dāng)當(dāng)AH=R時(shí)，tana+tan/取值最小值，最小值為2.

故答案為：2.

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（2023春?安徽?高二安徽省某中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體中，△3CD是邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，CDE是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，DEJ.CD,ACJ.BC,DE//AC,AC=2DE.

(1)作出平面BCD與平面ABE的交線，并說(shuō)明理由；

(2)求點(diǎn)A到平面BCE的距離.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析

⑵坦

7

【分析】(1)利用平面的基本性質(zhì)可以求得兩平面的交線；

(2)先利用等體積法求。到平面8CE的距離，利用轉(zhuǎn)化法可得答案.

【詳解】(1)如圖所示，分別延長(zhǎng)AE,CO交于點(diǎn)P,連接尸3,

則PB即為平面BCD與平面ABE的交線.

理由如下：

因?yàn)锳C〃上.

故A,D,C,E四點(diǎn)共面，又AC=2DE,則AE,CD交于點(diǎn)P.

由尸eAE,AEu平面ABE,得Pe平面ABE；

由PeCD,CDu平面BCD,得Pe平面BCD.

所以P是平面BCD與平面ABE的公共點(diǎn)，又8也是平面BCD與平面ABE的公共點(diǎn),

所以尸3即為平面BCD與平面ME的交線.

(2)連接AD交CE于點(diǎn)。，

因?yàn)镈E〃AC,AC=2DE,所以AO=2O3,

則點(diǎn)A到平面BCE的距離是點(diǎn)D到平面BCE的距離的2倍.

因?yàn)镈E1CD,DE//AC,所以AC_LCD,

又ACLBC,BCcCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以AC，平面BCD

同理可證DE1平面BCD.

所以三棱錐E—BCD的體積乂=工義正義22義2=友

1343

因?yàn)镃DE是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，所以?！?。。=2.

所以CE=\/CD2+DE2=722+22=2拒，

同理BE=VSD2+DE2=V22+22=2>/2

又已知3c=2,故±8CE的面積5包=白^^^2BCis

設(shè)點(diǎn)D到平面BCE的距離為h,

則匕=§"SABCExh,

即叵h二正,解得/，二還］.

337

故點(diǎn)A到平面BCE的距離為犯H.

7

18.（2023春?安徽?高一安徽某中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸平面ABCD,ABLAD,

AD=2BC,AD//BC,AC,3D交于點(diǎn)O.

⑴求證：平面P4B_L平面上4￡>；

PP

（2）設(shè)E是棱尸。上一點(diǎn)，過(guò)舊作石方工人。，垂足為尸，若平面OEE〃平面求）的值.

ED

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵ED2

【分析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理證得結(jié)果；

（2）由面面平行的性質(zhì)定理得及平行線對(duì)應(yīng)線段成比例得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：因?yàn)槭珹_L底面ABCQ,ADu平面ABCD,故a_LAD,

又PAAB=A,PA,ABu平面上4B,故")，平面R4B

又ADu平面尸AD,故平面B4D_L平面上4B.

(2)因?yàn)槠矫鍻FE〃平面P4B,平面0￡F1平面PfiD=OE,平面B4Bc平面PBD=PB,

所以PB〃OE,

因?yàn)锳D〃3C,且AT>=23C,所以00=203

在中，由PB〃OE,DO=2OB,得DE=2PE,

PE1

H即n——=-.

ED2

19.(2023春?高一課時(shí)練習(xí))已知長(zhǎng)方體ABCO-A4C|R中.

(1)若AB=5,M=4,AD=3,試求在長(zhǎng)方體表面上從A到G的最短路線;

⑵若AB=a,AAj=b,AD=（^a>b>c,試求在長(zhǎng)方體表