期末模擬測(cè)試卷（拔高卷）2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)人教版

期末模擬測(cè)試卷（拔高卷）2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

人教版

一、單選題

1.班主任邀請(qǐng)甲、乙、丙三位同學(xué)參加圓桌會(huì)議.如圖，班主任坐在c座位，三位同

學(xué)隨機(jī)坐在A、B、。三個(gè)座位，則甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

B

C（班主任）

CD

1

A.-

4

2.如圖，A的圓心A關(guān)于弦的對(duì)稱點(diǎn)為3,且/的半徑為3.劣弧的長(zhǎng)是（）

A.2B.%C.叵D.空

233

3.如圖所示是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)A為對(duì)稱中心.若NC=90。，ZB=30°,BC=1,

則88'的長(zhǎng)為（）

A.4B.立C.亞D.逑

333

4.如圖，。是ASC的內(nèi)切圓，￡）、￡、/為切點(diǎn)，AB=18cm,BC=20cm,AC=12cm,

MN切。交AB于M,交BC于N,貝UB肱V的周長(zhǎng)為（）

A

F,E

n

BNDc

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

5.拋物線y=2（x-l）2-3向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，所得的拋物線的

解析式為（）

A.y=2（尤+1『+2B.y=2（x-咪+2

C.y^2（x+l）2-2D.y=2（尤_球_2

6.一件工藝品進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)為135元售出，每天可售出100件，根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，

一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲

得利潤(rùn)為3596元，每件工藝品需降價(jià)（）

A.4元B.6元C.4元或6元D.5元

7.如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,E、F、G、〃分別是ARBC、CD、D4上的點(diǎn)，且

AE=BF=CG=DH.設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為x,四邊形EFGH的面積為乃貝！Jy與x

的函數(shù)圖象可能是（）

①若a+b+c=0,貝！一4ac20;

②若方程成：2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程依2+/zx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根;

③若飛是一元二次方程依2+法+C=0的根，貝U-4碇=（2%+6）2；

④若c是方程加+for+c=O的一個(gè)根，則一定有ac+6+l=0成立.

其中正確的（）

A.只有①②B.只有①②④C.①②③④D.只有①②③

二、填空題

9.春節(jié)期間，某超市舉辦了“2023年跨年迎新購物季”促銷活動(dòng)，該超市對(duì)一款原價(jià)為。

元的商品降價(jià)x%銷售一段時(shí)間后，為了加大促銷力度，再次降價(jià)x%,此時(shí)售價(jià)共降低

了b元，貝|6=.

10.某公司舉辦產(chǎn)品鑒定會(huì)，參加會(huì)議的是該公司的林經(jīng)理和邀請(qǐng)的專家，在專家到會(huì)

時(shí)，林經(jīng)理和每位專家握一次手表示歡迎；在專家離會(huì)時(shí)，林經(jīng)理又和他們每人握一次

手表示道別，且參加會(huì)議的每?jī)晌粚＜叶嘉樟艘淮问?，所有參加?huì)議的人共握手14次，

則參加這次會(huì)議的專家的人數(shù)是.

11.動(dòng)物學(xué)家通過大量的調(diào)查估計(jì)：某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率

為0.5,活到30歲的概率為0.3,現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率為.

12.如圖所示，ZAPS=30°,。的半徑為1cm,圓心0在直線PB上，OP=3cm.若O

沿從點(diǎn)3到點(diǎn)尸的方向移動(dòng)，當(dāng)，。與直線上4相切時(shí)，圓心。移動(dòng)的距離為

cm.

13.如圖，A3是。的直徑，點(diǎn)E,C在上，A是EC的中點(diǎn)，過點(diǎn)人作（。的切線,

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接AC,EC.若"=58。，則/ACE的度數(shù)為.

14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為8中點(diǎn)，把VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得

到△ABE',AE'=非,則四邊形的面積為.

15.如圖所示，在菱形A3CO中，AB=6,ZBAD=120°,△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E,

下分別在菱形的邊BC,CO上滑動(dòng)，且E,尸不與8,C,D重合.

(1)計(jì)算：EC+CF=；

(2)當(dāng)點(diǎn)E,尸在BC,CO上滑動(dòng)時(shí)，△CEF面積的最大值是.

16.已知二次函數(shù),=加+桁+。(。/0)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=-l,有下列

結(jié)論：①a>0,?b<0,③c<0,@2a+b=0.其中錯(cuò)誤的是.

三、問答題

17.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)尸為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,BP,CP,將線段

"繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AP'，連接PP，BP'.

(1)用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)N3PC=120°時(shí)，

①直接寫出ZP'BP的度數(shù)為；

②若M為8C的中點(diǎn)，連接9,用等式表示9與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

18.如圖，在正方形ABCD中，分別以8,。為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)2為半徑畫弧,

形成陰影部分的樹葉圖案.(計(jì)算時(shí)加取3)

(1)求陰影部分的面積;

(2)若在正方形A3CD中隨機(jī)撒一粒豆子，求豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率.(豆子落在弧

上不計(jì))

19.已知在同一平面直角坐標(biāo)系中，存在關(guān)于x的一元二次方程(l-m)V+2x-7=0(〃?

為常數(shù)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若二次函數(shù)y=(l-租)彳2+2彳-7(，"為常數(shù)，m^l)

與一次函數(shù)＞=依+7(左為常數(shù)，左力0)交于x軸的正半軸.

(1)求優(yōu)，%的值；

(2)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的所有交點(diǎn)的坐標(biāo).

20.閱讀下列材料：

解方程：X4-6%2+5=0.這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn),

它的解法通常是：

設(shè)尤2=y,那么/=/,于是原方程可變?yōu)?一6丁+5=0…①，

解這個(gè)方程得：％=1,%=5.

當(dāng)％=1時(shí)，X2=1-X=±1;

當(dāng)%=5時(shí)，x2=5,x=+A/5

所以原方程有四個(gè)根：芯=1,九2=-1,毛=6，尤4=一行.

在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

⑴解方程。2_%)2_4，—功—12=0時(shí)，若設(shè)則原方程可轉(zhuǎn)化為」并求出x

(2)利用換元法解方程：J1"2L—4+f?Y^=2.

2x尤2-4

21.九年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高至m,

與籃圈中心的水平距離為7m,當(dāng)球出手后水平距離為4nl時(shí)到達(dá)最大高度4m,設(shè)籃球

運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m.

(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式并判斷此球能否準(zhǔn)確投中？

(2)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m,那么

他能否獲得成功？

22.我們?cè)谘芯繂栴}時(shí)，可以改變研究的對(duì)象，提出一些新的問題，解決這些新的問題

又可以獲得一些新的發(fā)現(xiàn).比如，研究了“直線與圓的位置關(guān)系”后，我們可以這樣改變

研究的對(duì)象：

(1)把研究對(duì)象“直線”改為“射線”，可以提出下面的問題：

如圖是射線AB和O.改變射線的位置，如果以它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況以及端點(diǎn)A

與。的位置關(guān)系作為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)嘗試將射線和0的位置關(guān)系進(jìn)行分類(要求：每一種

類型畫出一個(gè)示意圖).

(2)把研究對(duì)象"圓''改為"正方形”，可以提出下面的問題：

①在直線和正方形的各種位置關(guān)系中，它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)有哪幾種情況？

②已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1,其中心到直線/的距離是d,當(dāng)正方形ABC。與直線/

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，d的取值范圍是.

23.在學(xué)習(xí)了垂徑定理后，同學(xué)們開始探索用直尺和圓規(guī)來平分一條已知弧的方法，老

師請(qǐng)小亮同學(xué)做如下四等分圓弧問題的操作：

請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)四等分AB

小亮的作法如下：

①連接AB；

②作A3的垂直平分線CO交A8于點(diǎn)加，交A5于點(diǎn)T；

③分別作線段AT,線段8T的垂直平分線竹，GH,交AB于N,P兩點(diǎn).

那么N,M,P三點(diǎn)把四等分.

(1)小明否定了小亮四等分A8作法的正確性，請(qǐng)你幫小明簡(jiǎn)要說明判斷小亮作法錯(cuò)誤的

理由；

(2)請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)四等分所給的A8(仿照小亮，寫出簡(jiǎn)要的作法步驟，保留作圖

痕跡).

參考答案：

1.C

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果有4種,

再由概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

共有6種等可能的結(jié)果,其中甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果有4種，即AB、AD.BA、DA,

42

甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的概率為二=；,

63

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為:

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.B

【分析】連接48、AD.BD.由對(duì)稱的性質(zhì)和圓可得△4灰）為等邊三角形，進(jìn)而可得ZA

的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接A3、AD.BD.

:圓心A關(guān)于弦CD的對(duì)稱點(diǎn)為B,

AD=BD,

又：AD=AB,

.?.△AB。為等邊三角形，4=60。,

607ix3

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，判定為

等邊三角形是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)可知：AB,^AB,再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理求出=g迅，問題隨之得解.

【詳解】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)可知：AB'=AB,

VZC=90°,ZB=30°,

.?.在Rt^MC中，AC=-AB,

2

?.?在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,BC=1,

：.AB2=^AB^+F,

解得：AB=|V3（負(fù)值舍去），

AB'=AB=—y/3,

3

BB'=AB'+AB=-y/3,

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理,

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)得到/=是解答本題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】利用切線長(zhǎng)定理得到等邊，再利用給出的三條邊長(zhǎng)，設(shè)未知數(shù)列方程組，計(jì)算出邊

長(zhǎng)，再利用等邊換邊得到的周長(zhǎng).

【詳解】。是，ABC的內(nèi)切圓，

AB、AC,BC是。的切線，

又-MN切于點(diǎn)K,

A

/Ox

C

BND

;.AF=MK,AE=AF.CE=CD、ND=NK、BF=BD,

8MN的周長(zhǎng)為：

BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD

設(shè)AE=AF=a,BF=BD=b,CE=CD=c,

貝IjAB=18=Z?+a、BC=20=b+cAC=12=a+c,

a=5

解得卜=13,

c=7

BMN的周長(zhǎng)為：BF+BD=2b=26cm.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理及邊長(zhǎng)的計(jì)算，需要理清目標(biāo)和條件，正確且有條理的計(jì)算是

解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移法則“左加右減、上加下減”，將題中文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)即

可解決問題.

【詳解】???拋物線y=2(x-l『-3向左平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，

所得的拋物線的解析式為y=2(x-l+2)2-3+5,

即y=2(x+l)，2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線平移，熟練掌握函數(shù)圖像平移法則“左加右減、上加下減”

是解決問題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】設(shè)每件工藝品需降價(jià)x元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)每件工藝品需降價(jià)x元，

根據(jù)題意得：(135-100-x)(100+4x)=3596,

整理得：%2-10.X+24=0,

解得：玉=4,x2=6,

要使顧客盡量得到優(yōu)惠,

..x=6,

，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤(rùn)為3596元，每件工藝品需降價(jià)6元，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個(gè)小直角三角形全等，再用大正方形

的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，得函數(shù)》的表達(dá)式，結(jié)合選項(xiàng)的圖象可得答案.

【詳解】解：.,正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,AE=BF=CG=DH

AH=BE=CF=DG,=NB=NC=ND

AAEH沿ZFE冬ACGFmADHG

y=4x4-g尤(4-尤)x4

=16-8x+2x2

=2(x-2f+8

是X的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8),開口向上

從4個(gè)選項(xiàng)來看，開口向上的只有A和B,C和D圖象開口向下，不符合題意

但是B的頂點(diǎn)在x軸上，故B不符合題意，只有A符合題意

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正確地寫出函數(shù)解析式并數(shù)形結(jié)合分析是解題的

關(guān)鍵.

8.D

【分析】①根據(jù)題意可知x=l是一元二次方程分2+陵+°=0("0)的解，然后根據(jù)判別式

的意義可得①正確；②根據(jù)判別式的意義可得-4ac>0,則廿一4ac>0,再根據(jù)判別式的意

義可得②正確；③根據(jù)方程解的定義可得內(nèi)。2+法。+。=0,然后通過對(duì)式子變形，整體代入

可得③正確；④根據(jù)方程解的定義可得以？+6c+c=0,而當(dāng)c=0時(shí)，貝!|ac+》+l不一定等

于0,④錯(cuò)誤.

【詳解】解:①若a+6+c=0，即當(dāng)尤=1時(shí)，ax2+6x+c=0,那么一元二次方程加+bx+c=Q

有實(shí)數(shù)根，止匕時(shí)/一4℃20成立，①正確；

②若方程ox?+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-4ac>0,那么戶-4℃>0,故方程

以2+灰+°=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，②正確；

③由為是一元二次方程加+6x+c=0的根可知%2+如,+°=0,貝!=一。，所以

222

(2ax0+6)~=4。%2+/+4。6尤0=4。(啄+bx0^+b=b—4ac,③正確；

④由c是方程加+6x+c=0的一個(gè)根，得。。2+6。+。=0，當(dāng)cwO時(shí)，可得ac+5+l=O；當(dāng)

c=0時(shí)，則oc+6+l不一定等于0,④錯(cuò)誤；

綜上：正確的是①②③，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別

式的意義是解決本題的關(guān)鍵.

9.a—a(\—x0/of

【分析】根據(jù)某超市對(duì)一款原價(jià)位。元的商品降價(jià)x%銷售一段時(shí)間后，為了加大促銷力度，

再次降價(jià)X%,此時(shí)售價(jià)降低了6元，列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意得：b=a-a(y~x°/of,

故答案為：?-a(l-x%)2.

【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

10.4

【分析】所有參加會(huì)議的人握手次數(shù)=林經(jīng)理和每位專家握手次數(shù)+專家與專家之間的握手

次數(shù)，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：設(shè)參加這次會(huì)議的專家有工人，由題意得：

2尤+g尤(x-l)=14

整理得：尤2+3X—28=0

解得：玉=4,x2=-7(舍去)

故參加這次會(huì)議的專家有4人

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.掌握所有參加會(huì)議的人握手次數(shù)=林經(jīng)理和

每位專家握手次數(shù)+專家與專家之間的握手次數(shù)是解題關(guān)鍵.

11.-/0.625

8

【分析】先設(shè)出所有動(dòng)物的只數(shù)，根據(jù)動(dòng)物活到各年齡階段的概率求出相應(yīng)的只數(shù)，再根據(jù)

概率公式解答即可.

【詳解】解：設(shè)共有這種動(dòng)物X只，則活到20歲的只數(shù)為。.8元，活到25歲的只數(shù)為0.5X,

故現(xiàn)年20歲到這種動(dòng)物活到25歲的概率為0鎮(zhèn)=15，

0.8x8

故答案為：.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

12.1或5/5或1

【分析】當(dāng)：。與PA相切時(shí)，切點(diǎn)為點(diǎn)C,如圖所示，連接OC,根據(jù)OC的長(zhǎng)，利用30

度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出此時(shí)。尸的長(zhǎng)，當(dāng)。移到射線尸2的反向延長(zhǎng)線上時(shí),

分別求出圓心。移到的距離即可.

【詳解】解：當(dāng)（。與以相切時(shí)，切點(diǎn)為點(diǎn)C,如圖1所示，連接OC,

為。的切線，

OC1PA,

在Rt^PCO中，ZAPB=30°,OC=1cm,

OP=2OC=2,

此時(shí)圓心。移到的距離為3-2=lcm；

當(dāng)尸在射線尸3的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示,

同理圓心。移到的距離為3+2=5cm.

故答案為：1或5

【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓相切的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

13.32。/32度

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到9入CE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到加，4),則CE〃AD,再根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZBCE=ZD=58。，然后根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，則利用互余

可計(jì)算出NACE的度數(shù).

【詳解】解：AB是?。的直徑，A是EC的中點(diǎn)，

:.ABLCE,

AD為。的切線，

..AB.LAD,

：.CE//AD,

:.ZBCE=ZD=58°,

AB是C。的直徑，

:.ZACB=90°,

ZACE=ZACB-ZBCE=90°-58°=32°.

故答案為：32°.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了垂徑定理和圓

周角定理.

14.4

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知A4DE必ABE,根據(jù)勾股定理求正方形的邊長(zhǎng)即可求解

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AADE=AABE',

/.AE=AE'=y/5,

E為CD中點(diǎn)，

/.DE=-CD=-AD,

22

/.AE2=AD2+DE2=AD2+gAD^,

即石2=心+已甸,

AD=2,

AADE=AABEr,

??S四邊形AECE，—S正方形ABCD—AD'CD-4,

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)、勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

15.6皿1/2白

44

【分析】(1)連接AC,證明VASE絲VACF,從而得到：BE=CF,即可求出EC+CF；

(2)利用VABE2VACF,可以推出四邊形AEW的面積等于ASC的面積，利用△CEF的

面積等于ABC的面積減去△的的面積，當(dāng)?shù)拿娣e面積最小時(shí)，即可求出△CE尸的

面積.

【詳解】解：(1)連接AC,

:四邊形ABCD為菱形，ZaiD=120°

AZABC=60°,AB=BC,

：.ZACS=ZACD=60°,

ZBAC=60°,

:△AEF為等邊三角形，

ZE4F=60°,

ZFAE=ZFAC+ZEAC,ABAC=NBAE+ABAC,

又,:/B4C=/E4F=60。，

ZEAB=ZCAF,

；AB=BC,ZABC=ZACF,

：.△ABE絲△AB(ASA),

：.BE=CF,

EC+CF=EC+BE=BC=6；

故答案為：6.

(2)NABE^ACF,

，四邊形AECF的面積=S^F+SACEF=^AAEF+—^AABC，

??S/\CEF~^AABC-S^AEF，

**?當(dāng)SAEF最小時(shí)，SMEF最大，

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AE_L3c時(shí)，AE最短，此時(shí)5\所最小，

VABC為等邊三角形,

.?.當(dāng)AE_LBC時(shí)，BE=LBC=3,

2

AE=^IAB2-BE2=3y/3，

6x3必班'

同理可求：5AA)=；X￡X3G=*6,

CEF=sXABC~SAAEF=94一彳6

故答案為：竽

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接菱形的對(duì)角線，構(gòu)造

全等三角形.

16.②④/④②

【分析】利用二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】?二次函數(shù)的圖象開口向上，

??〃>0,

故①正確，

:對(duì)稱軸直線x=-1在y軸的左邊,

：.b>Of

故②正確,

??,二次函數(shù)的圖象與y軸交于負(fù)半軸，

c<0,

故③正確，

:對(duì)稱軸直線X=-1,

?-2=-1

2a，

2a-b=0,

故④錯(cuò)誤，

故答案為：②④

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(1)BP'=CP,理由見解析

(2)①60。，②AP=2PM,理由見解析

【分析】(1)利用SAS證明ABP'^.ACP,即可得出答案；

(2)①由三角形內(nèi)角和定理知/8+/6=180。-/8尸。=60。，再利用角度之間的轉(zhuǎn)化對(duì)

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，ZP-BP=Z4+Z7=Z5+60°-Z8=60°-Z6+60°-Z8,從而解決問題；

②延長(zhǎng)PM到N,使尸M=ACV,連接BN,CN,得出四邊形PBNC為平行四邊形,則BN//CP

且BN=CP,再利用SAS證明P'BP^.NBP,得PP=PN=2PM.

【詳解】(1)解：BP=CP,

證明：ABC是等邊三角形，

：.AB^AC,Zfi4c=60。，

.?,Z2+Z3=60°

.將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到Ap,

：.AP=AP',NB47y=60°,

.-.Zl+Z2=60°,

：.Z\=Z3,

ABP'^ACP(SAS),

:.BP'=CP；

(2)解：①當(dāng)N3PC=120。時(shí)，

則N8+N6=180°-/BPC=60°,

ABP'^ACP,

.-.Z4=Z5,

.-.ZP,BP=Z4+Z7

=Z5+60°-Z8

=60°-Z6+60°-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°,

故答案為：60°；

②AP=2PM,理由如下：

延長(zhǎng)尸到N,使PM=MN,連接BN,CN,

M為BC的中點(diǎn)，

BM=CM,

二四邊形尸BNC為平行四邊形,

:.BN〃CP旦BN=CP,

:.BN=BP',Z9=Z6,

又：Z8+Z6=60°,

.?.N8+/9=60°,

ZPBN=60°=NPBP,

X-BP=BP,PB=BN,

：.P'BP^,NBP(SAS),

:.PP'=PN=2PM,

又1八4/＞尸'為正三角形，

;.PP=AP,

:.AP=2PM.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造平行四邊形是解

題的關(guān)鍵.

18.(1)2

*

【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積等于半徑為2的扇形的面積的2倍減去正方形的面積及扇

形面積公式計(jì)算即可；

(2)用陰影部分的面積除以正方形的面積即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得，

°cccc90x3x2?c2c

S陰影=2S扇形-SABCD=2x—2=2；

3OU

(2)解：由題意可得，

豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為彳2=：1.

42

【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率、扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是正確求出陰影部分的面積.

Q

19.(l)m=y,k=-l

(2)(7,0),(14,-7)

Q

【分析】(1)根據(jù)判別式的意義求出機(jī)=],得到二次函數(shù)解析式，然后求出二次函數(shù)圖象

與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式可得％的值;

(2)聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可求出所有交點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：二.一元二次方程(1-帆)/+2工-7=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=22-4(l-m)x(-7)=0,

Q

解得："ZU],

二該二次函數(shù)的解析式為y=-jx2+2x-7,

當(dāng)y=尤2+2彳_7=0時(shí)，

解得：再=尤2=7,

???二次函數(shù)J=（l-/n）x2+2x-7與一次函數(shù)y=kx+7的交點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0）,

把（7,0）代入、=米+7得：0=7k+7,

解得：左=-1；

（）由（）知二次函數(shù)的解析式為-；/+

21y=2x-7一次函數(shù)的解析式為y=-x+7,

聯(lián)立—+2x-7

y7解得:

y=-x+l

???二次函數(shù)與一次函數(shù)的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)為（7,0）,（14,-7）.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判斷式的意義，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

20.(1)y之—4y—12=0,再=3,x?=-2

(2)%]=1+y/s,%=1-Vs

【分析】（1）直接代入得關(guān)于y的方程，然后進(jìn)行計(jì)算，即可得到結(jié)果;

（2）設(shè)>=一三把分式方程變形后求解，把解代入設(shè)中求出工的值.

【詳解】（1）解：設(shè)>原方程可變形為：y2-4y-12=0,

因式分解為：（y-6）（y+2）=0,

>=6或產(chǎn)-2,

,,尤~—尤=6或x~—尤=—2,

對(duì)于方程x?-x=6，

解得：%=一2,x2=3,

對(duì)于方程尤?—尤=一2,

移項(xiàng)得：X2-X+2=0,

VA=-7<0,

.??上述方程無解,

?,?原方程的解為：網(wǎng)=-2,x2=3.

故答案為：/-4y-12=0.

2

（2）設(shè)＞二f7,則土v「-4=上1，

x-42xy

原方程變形為：-+y-2=o,

y

去分母，得;/-2y+l=。，

即（＞一1）2=0,

解得，%=%=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，y=l是分式方程,+丫-2=。的根.

y

,2x

?,工j

即：X2-2X-4=0,

解得：再=1+若，x2-1—A/5.

經(jīng)檢驗(yàn)，1±V5是上述分式方程的根.

原方程的解為：玉=1+V^,x2=l—5/5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、分式方程的解法.看懂題例理解換元法是關(guān)鍵.換元