數(shù)學(xué)（北京卷）-金卷：2024年高考第二次模擬考試參考解析

2024年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集概念進(jìn)行求解.【詳解】.故選：B2．復(fù)數(shù)，則等于（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】結(jié)合題意可得：，所以.故選：D.3．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線(xiàn)方程直接寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程.【詳解】由雙曲線(xiàn)，得所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是.故選：C.4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的判定方法及函數(shù)在上單調(diào)遞增，逐項(xiàng)求解即可判斷.【詳解】對(duì)A：令，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，又因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：令，定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，定義域?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.5．若直線(xiàn)圓相切，則原點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】原點(diǎn)在圓上，到切線(xiàn)的最大距離等于圓的直徑.【詳解】圓，即，圓心坐標(biāo)，半徑為1，直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)距離等于半徑1，原點(diǎn)在圓上，所以原點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為.故選：B6．在梯形中，，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行得到，在中，由正弦定理求出答案.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，則．故選：B7．據(jù)科學(xué)研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時(shí)間t（分鐘）（在植物學(xué)上t表示從花朵完全綻放時(shí)刻開(kāi)始到完全凋零時(shí)刻為止所需的時(shí)間）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時(shí)間為10分鐘時(shí)的新鮮程度為，則當(dāng)該種玫瑰花新鮮程度為時(shí)，其凋零時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3分鐘 B．30分鐘 C．33分鐘 D．35分鐘【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合待定系數(shù)法，求出的值，再將代入函數(shù)中，即可求解【詳解】由題意得，則，令，即，解得．故選：C．8．若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合基本不等式及不等式性質(zhì)，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.【詳解】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C9．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及極化恒等式，結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.10．公元年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時(shí)提到祖暅的“開(kāi)立圓術(shù)”.祖暅在求球的體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，介于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等.上述原理在中國(guó)被稱(chēng)為“祖暅原理”.打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿(mǎn)足少量個(gè)性化的打印需求，現(xiàn)在用打印技術(shù)打印了一個(gè)“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數(shù)，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個(gè)底面圓半徑為，高為的圓錐的體積近似相等，利用錐體的體積公式可求得該“睡美人城堡”的體積.【詳解】如下圖所示：圓錐的高和底面半徑為，平行于圓錐底面的截面角圓錐的母線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)截面圓圓心為點(diǎn)，且，則，易知，則，即，可得，所以，截面圓圓的半徑為，圓的面積為，又因?yàn)?，根?jù)祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個(gè)底面圓半徑為，高為的圓錐的體積近似相等，所以該“睡美人城堡”的體積約為，故選：D.第II卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】函數(shù)定義域滿(mǎn)足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿(mǎn)足：，解得.故定義域?yàn)?故答案為：12．已知，則.【答案】【分析】分別令和，聯(lián)立方程組求得，再令，求得，即可求得的值.【詳解】由，令，可得，即令，可得，即，聯(lián)立方程組，求得，再令，可得，所以.故答案為：.13．已知，是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，則；若，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【答案】【分析】由拋物線(xiàn)定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；可設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和，求出，得解.【詳解】點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，，解得；設(shè)，，直線(xiàn)斜率必不為0，可設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)整理可得，由韋達(dá)定理可得，，，，，解得，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：2；.14．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所有零點(diǎn)之和為.【答案】4/0.5【分析】先解方程得解和，然后解方程和后可得結(jié)論．【詳解】由得，滿(mǎn)足題意，，也滿(mǎn)足題意，，則由得，由得均滿(mǎn)足題意，由得，由得，均滿(mǎn)足題意，所以有四個(gè)零點(diǎn)：，0，，2，零點(diǎn)的和為．故答案為：4；．15．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿(mǎn)足，下列結(jié)論正確的有（

）=1\*GB3①．=2\*GB3②．若，則函數(shù)的最小正周期為=3\*GB3③．關(guān)于方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解=4\*GB3④．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】①②=4\*GB3④【分析】對(duì)①：利用對(duì)稱(chēng)性直接求得；對(duì)②：根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸可得周期表達(dá)式，結(jié)合區(qū)間上單調(diào)求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷；對(duì)③：先判斷出周期，結(jié)合周期越大，的根的個(gè)數(shù)越少，解出在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可判斷.對(duì)=4\*GB3④：由題意分析，建立關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)滿(mǎn)足.對(duì)①：因?yàn)?，所以，故①正確；對(duì)②：由于，所以函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為.又為一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，由正弦圖像和性質(zhì)可知，所以函數(shù)的最小正周期滿(mǎn)足，即.又區(qū)間上單調(diào)，故，即，故，故②正確；對(duì)③：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿(mǎn)足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的個(gè)數(shù)越少.當(dāng)時(shí)，，又，，得.所以在區(qū)間上有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，或，故至多3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故③錯(cuò)誤.對(duì)=4\*GB3④：函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，解得：，且滿(mǎn)足，即，即，故.故=4\*GB3④正確.故選：①②=4\*GB3④三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。16．（本題13分）如圖，四棱錐的體積為1，平面平面，，，，，為鈍角．

(1)證明：；(2)若點(diǎn)E在棱AB上，且，求直線(xiàn)PE與平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，由面面垂直得到線(xiàn)面垂直，結(jié)合棱錐的體積得到棱錐的高，由勾股定理求出，得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出，求出平面法向量，得到線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線(xiàn)為，平面，所以⊥平面，因?yàn)?，，，所以四邊形的面積，因?yàn)樗睦忮F的體積為1，所以，解得，因?yàn)槠矫妫浴?，⊥，因?yàn)?，為鈍角，由勾股定理得，所以，又，，故四邊形為矩形，所以，由勾股定理得，故；

（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，則，解得，故，設(shè)平面的法向量為，，令，得，故，設(shè)直線(xiàn)PE與平面所成角為，所以.

直線(xiàn)PE與平面PBD所成角的正弦值為.17．（本題13分）已知函數(shù)，其中，__________.請(qǐng)從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：①是的一個(gè)零點(diǎn)；②.(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)建立并解方程，可得答案；（2）利用三角函數(shù)恒等式整理函數(shù)解析式，根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）選條件①由題設(shè).所以.因?yàn)椋?所以.所以.選條件②.由題設(shè).，，，，，整理得.因?yàn)?，所?所以.所以.（2）由（1）.令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.又，即時(shí)，.所以的取值范圍是.18．（本題14分）某學(xué)校進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案.方案A：罰球線(xiàn)投籃，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分線(xiàn)外投籃，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙兩位員工參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機(jī)會(huì)，投中與否互不影響.(1)若甲選擇方案A投籃，乙選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；(2)若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問(wèn)：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出，求出X的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列；（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，計(jì)算出兩種情況下的均值，由不等式，得到相應(yīng)的結(jié)論.【詳解】（1）依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得，X的所有可能值為0，2，3，5，，，，，所以X的分布列為：0235（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，則，，若，即，解得；若，即，解得；若，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等；當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.19．（本題15分）已知橢圓的長(zhǎng)軸為線(xiàn)段，短軸為線(xiàn)段，四邊形的面積為4，且的焦距為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且的面積小于，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，解出，，從而得到橢圓方程；（2）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出的高為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，得到的面積，解不等式即可得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，，所以，則的面積，得，又，（由三點(diǎn)不共線(xiàn)可得），所以的取值范圍是．20．（本題15分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若的最小值為1，求a．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)運(yùn)算得即可得解.（2）對(duì)分類(lèi)討論，首先得滿(mǎn)足題意，進(jìn)一步分、以及分類(lèi)討論即可求解.【詳解】（1），所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，即．（2），令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以．所以成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，舍去．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，舍去，綜上，．21．（本題15分）若無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)．且對(duì)于，，都存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)P，并說(shuō)明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P，且，求證：集合為無(wú)限集；(3)若周期數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)數(shù)列不滿(mǎn)足性質(zhì)P；數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)或．【分析】