數(shù)學(xué)（上海專用）金卷：2024年高考第二次模擬考試參考解析

2024年上海高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關(guān)信息．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知，，，為虛數(shù)單位），且，則．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的模，化簡求解即可．【解答】解：，，，為虛數(shù)單位），且，可得，，解得，，可得．故答案為：【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算，復(fù)數(shù)的乘法，考查計算能力．2．若集合，，則使得成立的所有的值組成的集合是．【分析】依題意可得，首先求出集合，再分類討論分別計算可得．【解答】解：因為，，，，所以；①當(dāng)時，符合題意；②當(dāng)，即解得，即；③當(dāng)，即解得，即；綜上可得．故答案為：．【點評】本題主要考查集合的包含關(guān)系，集合的運算等知識，屬于基礎(chǔ)題．3．已知隨機變量，若，則0.2．【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，得到，再由得答案．【解答】解：隨機變量，正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又，且，．故答案為：0.2．【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．4．若關(guān)于的不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是，．【分析】由絕對值三角不等式求出，再根據(jù)條件求出的范圍．【解答】解：由絕對值三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為不等式的解集為空集，所以，即實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．5．在的展開式中各項的系數(shù)和是．【分析】令，利用賦值法求解即可．【解答】解：令，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．6．曲線在點處的切線方程為．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．【解答】解：由，得．，則曲線在點處的切線方程為．故答案為：．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．7．函數(shù)，則的最大值為．【分析】首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】由于．當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計了某款汽車行駛里程（單位：萬千米）對應(yīng)維修保養(yǎng)費用（單位：萬元）的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如表：行駛里程萬千米1245維修保養(yǎng)費用萬元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回歸直線方程為，則估計該款汽車行駛里程為6萬千米時的維修保養(yǎng)費是3.34．【分析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將代入，即可求解．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，樣本中心點為，回歸直線方程為，，解得，故回歸直線方程為，當(dāng)時，，故估計該款汽車行駛里程為6萬千米時的維修保養(yǎng)費是3.34萬元．故答案為：3.34．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．9．如圖所示，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，其中點為半圓弧的中點，該幾何體的體積為．【分析】在三角形中作于點，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意可知，三角形即為等腰直角三角形，作于點，如下圖所示：則三角形繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐和，由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為，圓錐的高，則圓錐的體積，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為，因此剩余部分所形成的幾何體的體積為．故答案為：．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐和球的體積公式，屬于中檔題．10．平面向量，滿足，，，則與夾角的最大值為．【分析】設(shè)與夾角為，設(shè)，則，求出，再由向量夾角公式可得的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：設(shè)與夾角為，設(shè)，則，，則，，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則有，又由，則，即與夾角的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量夾角的計算，基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．11．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，則的最大值為．【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，利用三角換元求出的最大值，即可得出答案．【解答】解：由題意得設(shè)橢圓，雙曲線，且設(shè)，，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，由①②得，由①②得，在△中，由余弦定理得，③，設(shè)，，當(dāng)即時，取最大值為．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查換元法，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．12．已知等差數(shù)列滿足：，則正整數(shù)的最大值為62．【分析】由題意可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為（不妨設(shè)，首項為，可得，記函數(shù)，可得函數(shù)至少有三個根，，．可知絕對值和為平底型圖像，如下圖所示，故為偶數(shù)，記，要使，所以，，對的點都在平底上即，，，，所以，即，所以，所以，而，所以．故，即，所以正整數(shù)的最大值為62，故答案為62．【點評】此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解，此題是一道難題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分）每題有且僅有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號位置將代表正確選項的小方格涂黑。13．已知平面，，直線，滿足，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意，由空間中線面的位置關(guān)系，即可判斷．【解答】解：由題意，當(dāng)時，平面與平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立，當(dāng)時，直線與直線可能平行，可能相交，還可能異面，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：．【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．已知等比數(shù)列中，，公比，則下列說法正確的是A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列 C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求出，利用等比數(shù)列的定義分別判斷，求出數(shù)列的通項公式即可判斷．【解答】解：等比數(shù)列中，，公比，，即，對于，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；對于，，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故錯誤；對于，，故數(shù)列是首項為9，公比為3的等比數(shù)列，故正確；對于，，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館，建設(shè)高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲．現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖1所示，（百米），建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖，則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為A． B． C． D．【分析】由條件求的解析式，設(shè)，利用表示梯形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值．【解答】解：將點代入函數(shù)中可得，解得，所以，設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，因為直線經(jīng)過點，，所以，，所以，設(shè)，則點的坐標(biāo)為，由可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以直角梯形的面積，所以，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為．故選：．【點評】本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查運算求解能力，屬于中檔題．16．已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若對任意，，當(dāng)時都有，則稱是“封閉”函數(shù)．已知給定兩個命題：：若是“封閉”函數(shù)，則是“封閉”函數(shù)．：若是“，封閉”函數(shù)，則在區(qū)間，上嚴格減．則下列正確的判斷為A．是真命題，是真命題 B．是假命題，是真命題 C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是假命題【分析】通過定義進行證明若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)，判斷命題，再舉出反例判斷命題．【解答】解：命題：若是“封閉”函數(shù)，即對，都有，對于集合，任意的，，使得，則，而，所以，故一定是“封閉”函數(shù)，當(dāng)時，命題正確；命題：不妨設(shè)，，，當(dāng)，時，，，此時是“，封閉”函數(shù)，但為單調(diào)遞增區(qū)間，命題是假命題．故選：．【點評】本題考查了命題真假的判斷和函數(shù)新定義問題，屬中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（14分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，平面平面．（1）證明：；（2）若為的中點，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成的角的正弦值．【分析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證明平面即可推理作答；（2）由給定的線面角求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面的正弦作答．【解答】證明：（1）如圖，在三棱柱中，取的中點，連接，因為是等邊三角形，則，又平面，平面平面，平面平面，則平面，而平面，于是，又，，平面，因此平面，又平面，則，于是，所以．解：（2）取的中點，連接．由（1）得平面，又，所以是直線與平面所成的角，即，，由（1）知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，0，，，2，，，，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為．【點評】本題主要考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題．18．（14分）挑選空間飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關(guān)：目測、初檢、復(fù)檢、文考（文化考試）、政審．若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過了前兩關(guān)，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5、0.6、0.75，能通過文考關(guān)的概率分別是0.6、0.5、0.4，由于他們平時表現(xiàn)較好，都能通過政審關(guān)，若后三關(guān)之間通過與否沒有影響．（1）求甲被錄取成為空軍飛行員的概率；（2）求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一個人通過復(fù)檢的概率．【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式求解；（2）利用獨立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：設(shè)甲乙丙三位同學(xué)分別通過復(fù)檢為事件，，，甲乙丙同學(xué)通過文考為事件，，，可得（A），（B），（C），（D），（E），，（1）由題意，可得甲被錄取成為空軍飛行員的概率為：（A）（D）；（2）由題意，甲乙丙三位同學(xué)分別通過復(fù)檢，即為事件，，，利用獨立事件的概率計算公式，可得甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一個人通過復(fù)檢的概率為：．【點評】本題主要考查了相互獨立事件的概率的求解，次獨立重復(fù)試驗恰好發(fā)生得概率的求解，屬于中檔題．19．（14分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由正弦定理化簡已知等式可得，又由余弦定理有，可得，又由題意利用三角形的面積公式可求得，從而可得，的值，進而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解三角形的周長的值．【解答】解：（1）由，可得，可得，即，可得，由，可得．（2）因為，由正弦定理有：，可得，又由及余弦定理有：，有，有，可得：，又因為的面積為，可得，所以解得，，由余弦定理可得，可得，可得的周長．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（18分）已知橢圓的離心率為，軸被拋物線截得的線段長與長軸長的比為．（1）求、的方程；（2）設(shè)與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于點、，直線、分別與相交于、．（?。┰O(shè)直線、的斜率分別為、，求的值；（ⅱ）記、的面積分別是、，求的最小值．【分析】（1）解，即可得出軸被拋物線截得的線段長，進而列出方程組，求解即可得出答案；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，根據(jù)韋達定理，即可得出斜率之間的關(guān)系，求出的值；聯(lián)立方程組，表示出各個點的坐標(biāo)．結(jié)合圖象，將三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，即可得出表達式，然后根據(jù)基本不等式即可得出最小值．【解答】解：（1）解，可得，所以，軸被拋物線截得的線段長為．由已知可得，，解得．所以橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由（1）知，．設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，則．又，，所以．聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，則．同理：．設(shè)，，，．聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，則，同理可得，．由圖象知，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，的最小值為．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．（18分）三個互不相同的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有或恒有，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．（1）設(shè)，，試分別判斷、是否是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，請說明理由；（2）求所有的二次函數(shù)（用表示，，使得該函數(shù)是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”；（3）若